三角函数最值的归类求解策略

李东文

三角函数是中学数学教材中一种重要函数，是教学的重点内容，是高考中对将基础知识和基本技能的考查的重要内容之一，而三角函数的最值问题是历年高考的重点.因此，理解和掌握求解三角函数最值问题的方法是十分必要的.求三角函数最值（或值域）问题只要注意所给函数式的特征，就可以确定三角变换目标和解题方向；只要合理变换转化为常见类型，就能找到解决问题的途径.

一、化为最基本的初等三角函数型

例1：求下列函数的最值：

（1）y=sin（x+ ）+sin（x- ）

（2）y=2sin（ +x）+sin（ -x）

略解：（1）将y=sin（x+ ）+sin（x- ）化为：y= sinx，即得：y = ，y =- .

（2）将y=2sin（ +x）sin（ -x）化为：y= cos2x，即得：y = ，y =- .

二、反解型

将三角函数解析式反解得，sin（x）=f（y），cosx=f（y），sin（x+φ）=f（y），cos（x+φ）=f（y）（φ为辅助角），然后利用正余弦函数的有界性，即|f（y）|≤1求解，常见能够反解化为上述类型的函数有：

（1）y= 或y= （c≠0，a：b≠c：d）

（2）y= 或y= （c≠0）

例2：求函数y= （x∈[0，π]）的最大值和最小值.

解：原式化为y= =-1+ ，反解得：sin2x= -2，由|sin2x|≤1得| -2|≤1？圯 ≤y≤3.

∴y =3，y = .

例3：求函数y= 的最值.

解法一：

原式化为：sinx-ycosx=2y-1

？圯 sin（x+φ）=2y-1

？圯sin（x+φ）=

由|sin（x+φ）|≤1得 ≤1？圳0≤y≤ ，

故有y = ，y =0.

解法二：

化为y= ，于是y表示点（-1，-2）与点（cosx，sinx）直线的斜率，用解析法可求（以下略）.

解法三：

用万能公式代换为：（1-y）tan +2tan +（1-3y）=0

∵tan ∈R及y≠1，

∴△=4-4（1-y）（1-3y）≥0？圯4y（4-3y）≥0？圯0≤y≤ ，

因此，y = ；y =0.

三、化为y=asinx+bcosx型

将三角函数式化为y=asinx+bcosx，然后引入辅助角φ化简成一个角的三角函数y= sin（x+φ）再利用基本初等函数的最值求解.

例4：当- ≤x≤ 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（ ）

A.最大值是1，最小值是-1？摇？摇？摇？摇B.最大值是1，最小值是-

C.最大值是2，最小值是-2？摇？摇？摇？摇D.最大值是2，最小值是-1

解：由已知f（x）=2sin（x+ ），因为- ≤x+ ≤ ，故-1≤f（x）≤2，故选D.

例5：函数y=sinx+cosx的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.

解：原式化为：y= sin（x+ ），

当x=2kπ+ （k∈Z）时，y = .

四、化为y=Asin（ωx+φ）+k（或y=Acos（ωx+φ）+k）型

例6：函数y=sin2x-2cos x的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.

解：原式化为：y=sin2x-（1+cos2x）= sin（2x- ）-1

∵|sin（2x- ）|≤1

∴y = -1

例7：函数y=sin（2x- ）cosx的最小值是？摇？摇？摇 ？摇.

解：y=sin（2x- ）cosx= [sin（2x- ）-sin ]= sin（2x- ）-

当sin（2x- ）=-1时，函数有最小值，即：y =- .

五、化为y=pf （x）+qf（x）+r（其中p、q、r为常数）型

将三角函数式做恒等变形，等价转化为形如y=pf （x）+qf（x）+r，再进行变量代换t=f（x）化为二次函数y=pf （x）+qf（x）+r在给定区间上求最值问题，这里t=f（x）sinx（或cosx），|t|≤1，求解时需要注意变量的取值范围即可.

例8：如果|x|≤ ，那么函数f（x）=cos x+sinx的最小值是

（ ）

A. B. C.-1 D.

解：f（x）1-sin x+sinx=-（sinx- ） +

∵|x|≤

∴|sinx|≤ ，则当时sinx=- ，有f（x） =1-（- ） - =

故应选D.

例9：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解：令sinx+cosx=t，|t|≤ ，则有sinxcosx= ，

于是函数式化为：y= t -t- ，解得：y = + .

六、化为能用函数的单调性或均值不等式型

例10：求函数y=sinx+ （x∈（0，π））的最小值.

解法一：

令t=sinx，t∈（0，1），则可证y=t+ 在（0，1）内为单调递减函数，从而引发y=f（t）≥f（1）=3，即y =3.

解法二：

y=sinx+ =（sinx+ ）+

≥2 +sinx=2+sinx

≥2+1=3

当且仅当sinx=1时，有y =3.endprint