浅谈变式教学的不同实施途径

胡定华

摘 要：变式教学是中国数学教育的优良传统，从传统的数学教学至新课程数学改革，变式教学的模式一直是高效教学的典型代表，其为我们高考应试、复习教学带来了简捷、高效、有效的教学方式. 新课标实施以来，在教育方式不断发展和革新的今天，变式教学也在不断地与时俱进，发生自我的改变，本文从变式教学不同实施途径入手，结合案例进行了分析.

关键词：变式教学；途径；原则；目的性；主动性

变式教学是我国数学教育特有的教学模式之一，其以基本问题为载体，对学生进行问题（条件、结论等）变式的推广教学，目的以题根为基准，进行一定幅度的扫描教学，是一种高效、有效的解决知识点疑难的教学模式. 随着新课程的深入，变式教学的地位并未受到改变，依旧是教学模式的重要组成之一，在复习教学中反而地位更为重要，值得教师深入研究.

笔者认为，变式教学模式是数学教学深度和广度挖掘、提高的较好方式，新课程理念下的变式教学也在与时俱进做出改变，不同以往的是落实和开拓学生学习的主动性和建构学习，其本质是对主动探求建构模式的一种抽象归纳. 变式教学深受顾泠沅老师的喜欢，他在《数学学习的心理基础与过程》一书中指出：“变式教学在很长一段时间内依旧是高中数学教学的主体，因为有了变式，才能让学生明白数学形式化概念的内在和外延，才能懂得数学公式、定理之间的内在联系，从现阶段来看，变式教学教师的目的性和学生的主动性是教学的关键，值得教师多学习和研究.” 本文结合顾老的话和变式教学的原则，用案例来谈谈不同的实施途径.

[?] 目的性原则实施

所谓目的性原则，即指在编制变式时，必须紧扣本节内容进行设置，一节课所能研究的数学知识不可能面面俱到，要求教师紧紧围绕本课的核心和重点进行数学知识及其变式的挖掘，有目的地实施教学. 在这一原则下，教师要做的变式基本围绕本课核心知识而设，即有对象的处理. 本节案例选用《函数与方程》题组设计，该节作为新课程改革试验教材中的新增内容，近几年成为高考命题的一个新亮点. 在高中阶段，函数零点问题可以和二次函数根的分布、三次函数的图象或导数的极值等进行“交汇”编制试题，所以其试题综合性较强. 此外，从学生新课的掌握情况来看，很多学生对“方程f（x）=0有实数根?函数y=f（x）的图象与x轴有交点?函数y=f（x）有零点”的理解和进一步应用的目的性尚不清楚，从而不能顺利地进行问题的转化.

案例1 （函数零点的变式教学）求函数f（x）=x3-6x2+9x-10的零点个数.

目的性：从最基本的函数出发，通过学生回顾函数零点的含义和解决函数零点问题时的基本思想方法，择优选择适合的方法，即利用导数研究三次函数的单调性和极值，通过作出函数y=f（x）的草图，观察图象与x轴交点的个数得到函数零点的个数.思路直接，易于接受.

变式1：试讨论函数f（x）=x3-6x2+9x-10-a（a∈R）零点的个数.

目的性：通过引进参数a，继续研究函数零点个数的问题.教师通过变换问题情境，抓住学生的“最近发展区”向其潜在水平引导，通过认知冲突来诱发学生数学思维的积极性，促进思维发展.求解此题，第一种方法学生很容易想到，即研究函数y=f（x）的图象，并通过在作草图时碰到的矛盾，从而引发进一步思考，由于参数的不确定性引起图象的不确定性，从而数形结合，容易分类讨论考查极值点的位置. 结合几何画板，向学生展示了图象的一个动态变化过程.教师通过进一步地分析引导学生：当我们碰到复杂的函数时，往往可以将函数零点问题进一步转化为：F（x）=f（x）-g（x）有零点?f（x）=g（x）有实根?函数y=f（x）与y=g（x）图象有交点. 因此，第二种方法，通过将函数零点问题先转化为方程问题，再将方程问题转化为两个函数图象的交点问题，其中的转化思想要求是比较高的，让学生感受到了函数与方程之间的密切联系.

变式2：x3-6x2+9x-10+7a-a2=0在区间[1，3]上有实数解，求a的取值范围.

目的性：通过引进复杂的参数形式，并将问题改编为方程在给定区间内有实数解的类型，让学生充分理解函数与方程的密切联系，体会其中的转化思想，并再度尝试运用.

变式3（改变参数的位置）：若方程x3-ax2+9x=0在[1，3]上有实数解，求a的取值范围.

目的性：通过改变参数的位置，举一反三，强调方程问题移项整理可以转化为两函数图象交点的问题，尤其是变量能分离时，该方法更是运用得淋漓尽致. 参数分离法是解决参数取值范围问题的重要手段，它将函数存在零点问题合理地转化为函数的值域问题，从而轻快、简洁地解决问题. 最后对变式进行回顾，通过回顾变式题组，总结本题组的重点知识，让学生再次感受函数零点的求解方法和数学思想的运用.

说明：目的性原则下的变式教学主要体现了按层次推进，分散难点，逐步深化，螺旋上升的教学特点. 在教学中从现有发展水平出发，通过逐步训练达到可能达到的新的发展水平，按照这种规律，在新的现有水平基础上，继续培养出第二级新的思维可能达到的发展水平，在此基础上又形成第三级新的思维最近发展区，同时教学又从新的思维潜在水平开始……，这种螺旋式上升的思维发展层次与教学方式，可以优化学生不断积累知识和推动数学思维发展，体现了知识学习的良好目的性.

[?] 主动性原则实施

变式教学从参与性角度来说，需要学生的积极建构和主动参与. 这一原则指的是，教师引导学生认知变式结构和原问题之间的内在知识联系和解决问题经验的差别和类似. 建构主义认为：学生学习缘自其自身知识的积累、学习经验的增加，以此为基础进行的探索的收获是比较大的. 杜威在其教育理论中指出，灌输式的教育只能给予学生25%的知识吸收，主动建构的知识则能达到50%，而通过合作讨论、积极变化（即知识的变式研究学习），则能达到75%. 因此，主动性原则对变式教学的重要性不言而喻.

案例2：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

（2）若b=2，求sinA+sinC的取值范围.

分析：第1问略. 对于第2问，结合正弦定理和余弦定理的应用，作如下解法探析：其一，解三角形是三角函数的一大主要组成部分，其与图象、性质的有机结合，体现了三角函数的统一性. 通过对上述结论的应用，发现角B确定，尽管A，C都不确定，但A+C是定值，C可以随着角A的变化而变化，那么sinA+sinC可以表示成关于角A的函数关系式，从而利用角A的范围求sinA+sinC的取值范围；其二，注意到（2）中有条件“b=2”，对比结论及（1）问的结论，发现利用正弦定理，可以将结论转化为边的关系，同时由余弦定理可以发现它们之间存在一个等量关系，要由这个等量关系来得到取值范围问题，自然而然会想到通过基本不等式得到最值，确定取值范围.

教师：若能够对这个问题中进行拓展，我们至少还可以获得对同类问题的同源解法的探求. 我给出一些变式：

说明：以小组讨论模式的主动性变式尝试，充分激发了学生对知识运用的积激性，这直接导致学生对本案例所指出的三角函数知识整合性的一种提升. 在这一过程中，笔者认为首先要通过示范教会学生一些构造变式的常见方法，构造变式的常见方法有：（1）变换背景构造变式；（2）逆向思考构造变式；（3）一般化构造变式；（4）类比构造变式，等等.

总之，变式教学是我国数学教学特殊的产物，其简捷、高效的特点在数学教学中起着重要作用，从文中案例可以看出变式教学最大的两大功效，认识到它在教学的深度和广度上有着极为重要的覆盖作用，它将学生的基本知识和知识链接、能力进行了有效的整合，提高了课堂教学的有效性. 融会贯通能力的达到必须有一个循序渐进的过程. 从最近的高考试题考查而言，能力立意的考查成为主流，通过变式教学堆积起来的数学知识的熟练运用能力和转换能力是学生一笔宝贵的财富. 但变式教学比较适合复习课教学，集中精力解决知识板块中难度、重点较大的数学专题型知识，使用时教师要关注其适度性，限于篇幅，就变式教学的适度性未能进行展开论述，请读者继续研究.