玩中学，做中思，演中悟

沈学美

摘 要：学习数学唯一正确的方法就是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或者创造出来. 教师的任务是引导学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生. 通过折纸活动引导学生探究椭圆、双曲线及抛物线的定义及其内涵，充分体现了新课标的精神——以学生为主体，吸引学生动手实践、自主探索、合作交流.

关键词：微课；实践；折纸；探究；思；学；悟

2011年，广东省佛山市教育局长胡铁生率先提出了以微视频为中心的新型教学资源———“微课”. 教育部教育管理信息中心开展了第四届全国中小学“教学中的互联网应用”优秀教学案例暨第一届“中国微课大赛”评选活动，活动历经近一年的时间，经过评审组专家严格的初评和终评，遴选出了许多优秀的微课作品，这次评选既是一场教学技能的竞赛，又是一个教师教学经验交流和教学风采展示的舞台. “微课”是指按照新课程标准及教学实践要求，以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学过程中针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的各种教学资源的组合. “微课”有其与生俱来的特性——主题明确、针对性强，从而开创探究式教学的新模式.

[?] 课程实录

笔者在认真观摩了此次微课大赛的一些作品后，将最近本地区的一次公开课——《圆锥曲线概念再探究》改写成了微课，尝试将圆锥曲线启蒙课的概念进行新的探究.

1. 设计背景

人教版教材选修2-1第二章章头图是通过平面去截一个圆锥得出圆锥曲线的定义，笔者认为，这种教学情境首先对空间画图和想象能力要求相当高，师生容易受图形直观、简单而影响，或稍作演示就得结论，学生的印象必然不深刻，没引起做够的重视；其次，教师把原本很生动、有趣的知识探索过程给省略了，取而代之的是把圆锥曲线的概念直接“抛”给学生，这样会让学生觉得索然无味；再者，每小节用书上的定义强套得出圆锥曲线的各个定义，一没有联系性，二没有学生的亲历思考，为了得结论而设置，效果甚微. 考虑到新教材习题中特别增加了一类“操作题”，这就为学生提供了动手操作的素材，为学生体验数学知识的创造过程提供了可能，并能极大地提高学生学习数学的兴趣，培养了学生的动手能力、思考能力和创新能力. 为了利用好这一课本资源，同时降低学生学习圆锥曲线的门槛，这就要求我们在课堂教学中重视学生的动手操作和观察思考层面的训练，从而加深学生对数学概念内在本质的理解，提升课堂教学的功效.

2. 目标解析

（1）通过折纸这种传统游戏，并在教师的引导下学生玩中学——体验，做中思——思考，演中悟——自主生成和品悟出原生态的圆锥曲线的定义，及其形成的基本思想；

（2）利用类似的折纸游戏，用类比的思想让学生感悟新知；

（3）借助实例的辨析、对比，对概念的内涵进行深加工，进一步使学生体会圆锥曲线的核心概念.

3. 条件分析

（1）学生的知识储备：学生已经系统地学习了圆的定义、圆的标准方程等知识.这是类比学习圆锥曲线的基础，因此在教学中应注意运用类比，引导学生自己得出圆锥曲线的定义，理解圆锥曲线的本质.

（2）教学素材的准备：在公开课时教学环节设计了视频、实验、学生动手探索等素材. 实验和动手探索，以确保学生为主体，符合学生的认知规律. 投影和几何画板为的是更加清楚和形象.

（3）教学理念的准备：本次微课虽然时间短暂，但是仍提供大量的时间给学生探索、体验、思考、整合，用尽可能短的时间让学生体会圆锥曲线概念的形成过程. “授之以鱼，不如授之以渔”.

4. 教学过程

本次微课教学过程设计的依据是：个体对数学概念的认识要在不断的思考中加深、内化.因此，整体的设计思路是让学生通过与圆的类比，实质性地经历椭圆概念的发生、发展过程.在不断的类比中，让学生从已有的知识过渡到新的知识，加深对概念的理解，达到螺旋上升的教学效果.具体环节如下：

（1）情境激活，抛砖引玉

数学实验1 请同学们观察课本32页章头图，用一个垂直于圆锥曲线的平面截圆锥，截口曲线是什么？改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？

学生（齐声）：圆、椭圆、抛物线、双曲线.

教师：是啊，相似的条件下，得到的结论不同，那么我们拿起矿泉水瓶一起演示下不同的水面图形.

学生乐此不疲地摆动起来，当然不少学生觉得太简单，没什么可探讨的.

教师：由于我们知识尚不到位，不妨结合答案一起来欣赏2008年高考浙江理数第10题.

（2）问题引领，探究本质

教师：肯定有同学会有这样的疑惑，为什么从电脑作图的结果来看，中间的空白部分恰好是一个椭圆呢？为了解决这个问题，我们不妨研究其中的一条折痕.我们在圆F1上任取一点P1，然后把折痕L加粗显示出来（图7），思考下列问题.

教师：折痕L与线段P1F2之间是什么关系？为什么？

学生：因为沿着折痕L对折后，点P1与点F2重合，故折痕L是线段P1F2的垂直平分线.

教师：线段垂直平分线上的点有什么性质？

学生：到线段两端的距离相等，即PP1=PF2.

教师：你能否求出PF1+PF2的值？这个结果是否是定值呢？

学生：PF1+PF2=PF1+PP1= F1P1，而F1P1是圆F1的半径，是一个常数.

教师：如果我另换一条其他的折痕，这个结果会改变吗？

学生：不变.

教师：如果在折痕L上除点P外任取一点Q，将QF1+QF2的值与PF1+PF2的值进行比较，你有何发现？

学生：由三角形任意两边之和大于第三边可知，QF1+QF2=QF1+QP1>F1P1.

教师：非常好，根据QF1+QF2不是定值可知点Q不在椭圆上，即折痕L与椭圆只有一个交点P，折痕其实是该空白部分椭圆的一条切线，同理，每一条折痕都是该椭圆的切线，这无数条切线包围住椭圆，也就衬托出了椭圆的轮廓，这就是我们用折纸法折出椭圆的原理所在.这节课我们就一起来研究椭圆及其标准方程. （板书课题）

我们已经通过折纸实验，体会到了椭圆的形成过程及原理. 既然点P在椭圆上运动，你能否尝试着概括一下什么是椭圆？

教师：那么，C，D两个同学所代表的这一类图形为什么不够全面呢？我们对比这四个同学的作图痕迹，发现C和D同学在圆F1上取点时，把所取的点都密集在圆F1的一段弧上，不像E和F同学那样在圆F1的四周都取了点. 那么，E和F同学的结果是否就不具有片面性？我们知道，对于取点作图问题，取的点越多，作出来的图象就越精确. 但是要想取遍圆周上所有点，这个工作量太大，我们还是借助借助《几何画板》工具来帮助我们演示作图（图15）.

类比椭圆定义的推导过程，请同学们带着下面一系列问题自主探究：

问题1：折痕与线段P1F1之间是什么关系？

问题2：回忆刚才折纸的过程，思考对于双曲线左支上的任意一点M1（图16）M1F2-M1F1的值是多少？该结果有何特点？

问题3：在左支上另取一点，该结果是否会改变？

问题4：如果在右支上任取一点M2，则M2F2-M2F1的值是多少？该结果有何特点？

问题5：那么对于双曲线上任意一点M，则MF2-MF2结果有何特点？

问题6：类比椭圆的定义，你能否尝试着双概括一下双曲线的定义？

问题7：如果把这个常数记作2a，你能否用一个数学表达式表示出来？

问题8：如果我们把定点F1，F2之间的距离记作2c，则2a和2c的大小关系如何？（注意与椭圆的区别）

教师：通过前面椭圆的学习，我们知道要研究曲线所具有的性质，必须通过研究其方程来得到. 请你类比前面推导椭圆标准方程的过程，尝试着推导双曲线的基本概念（以下过程略）.

（4）触类旁通，活学活用

新课标的教材编写特别注重知识的系统性，对于抛物线的教学引入也可以用折纸的背景. 类比前面椭圆和双曲线的推导过程，该探究过程完全可以放手让学生去独立完成.

数学实验4 将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕L（为了看清楚，可以把直线L画出来）. 这样继续下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线？（具体实施过程不再赘述）

1. 概念感受，切勿惜时

本次微课是一次概念教学课.笔者曾聆听人教版章建跃博士关于概念教学的一个讲座，强调中学数学概念教学应返璞归真，并多次谈到了概念教学要注重理解，“一针见血，不惜时不惜力”. 本微课正渗透着这样的理念，教学设计与制作都是围绕圆锥曲线基本概念推导过程及联系展开，不仅注重教师的“教”，更注重学生的“学”. 通过实验操作、启发引导、多媒体演示、合作探究等方法，由浅入深，层层推进学生对圆锥曲线概念的理解，以期达到螺旋上升的教学效果.

2. 问题探究，感受数学

正如华罗庚大师所说“无处不用数学”，知识来源于实践，数学知识更是如此.对于某些数学概念，若能由学生亲自动手操作，通过观察、分析、比较、归纳，进而行成数学概念，这样可以让学生从中体验获取数学知识的乐趣，养成动手和思考的良好的学习习惯. 因此笔者认为，在平时的课堂教学中若能适当地让学生自主地去动手操作，再经过教师的引导、点拨和提示，能使学生从被动地接受教师灌输的状态中解脱出来，充分发挥学生的积极性、主动性，使所获得的知识更加深刻和牢固，并对学生养成动手能力、独立思考能力等都大有裨益.

3. 渗透思想，创新探究

新课程标准强调让学生经历直观感知、观察发现等思维过程来形成思维能力. 这就要求我们要以学生体验、理解、掌握知识为中心，重视数学概念的构作、数学思维的建立、数学意识的形成，所以，教师应设计好每节课的内容与容量. 本案例延长了概念的探究过程，让学生体验数学发现和创造的历程，培养了他们的创新能力.

本节课笔者主要想渗透探究思想和类比思想，精心设计三个数学实验有明显的联系，学生很自然想到概念的联系和区别，以问题链的形式步步加深概念的印象. 圆锥曲线的概念课形式多样，精彩纷呈，人说“一千个读者就有一千个哈姆莱特”，我们始终在探究怎样的方式能带给学生更大的冲击，更有效的效果，能培养更多的能力. 本微课以问题为载体、以探究为主线，让学生感受了“玩中思、做中学、演中悟”，不失为一种新的尝试.

4. 微课教学，与时俱进

“微课”不同于传统单一资源类型的教学课例、教学设计等，是在其基础上发展起来的一种新型教学资源. 它是为学生“解惑”的微型课，在考前、做作业前，学生都可以在网上精确地搜索不懂的考点、知识点，让自己的疑惑得到解决. 与传统的一节课相比，微课是浓缩的精华，时间短而内容精，要求教师在较短的时间内，将这个知识点讲解透彻. 在讲授过程中，学生可以随时暂停、后退等，也可以很方便地下载保存在终端设备（如笔记本电脑、手机等）上进行移动学习，在课程讲授完成后，学习者还可以借助习题、测试等一系列配套的资料来巩固知识点. 这样既可以学习课堂新知识，又可以不受时间、地点、空间等的限制.如此形式，也非常适合教师的观看、评课、反思和研究. 因此，微课有着传统教学不可比拟的优势.

正因为课程内容的微小，所以人人都可以成为课程的研发者. 正因为课程的使用对象是教师和学生，课程研发的目的是将教学内容、教学目标、教学手段紧密地联系起来，而不是去验证理论、推演理论，所以决定了研发内容一定是教师自己熟悉的、感兴趣的、有能力解决的问题. 让我们都参与到微课教学、趣味创作中去吧！