品五年中考？摇 看一个题型

张兴中

[摘 要] 针对近年来数学中考卷中常出现的以能力立意为目标、以增大思维容量为特色的“新定义”创新题，本文作者结合自己的教学经验，分析了此类题的特点，指出解题策略，阐述了解题方法如何渗透日常教学的一些想法.

[关键词] 新定义；解题策略；教学启示

纵观近五年的中考数学卷，常常出现一道以能力立意为目标、以增大思维容量为特色的“新定义”创新题，这种题目集应用性、探索性和开放性于一体，不失为全方面、多角度考查学生分析问题和解决问题的一种新颖别致的试题.

所谓“新定义”创新试题，是指给出一个考生从未接触的新规定，要求考生现学现用，其目的在于考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质. “给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路.

解这类题的策略是：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理，发现解题方法，然后解决问题.

■ “新定义”题回放

例1 （2008年绍兴中考）定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数.

（1）若特征数是[2，k-2]的一次函数为正比例函数，求k的值.

（2）设点A，B分别为抛物线y=（x+m）（x-2）与x轴、y轴的交点，其中m>0，且△OAB的面积为4，O为原点，求图象过A，B两点的一次函数的特征数.

解答 （1）因为特征数为[2，k-2]的一次函数为y=2x+k-2，所以k-2=0. 所以k=2.

（2）因为抛物线与x轴的交点为A■（-m，0），A■（2，0），与y轴的交点为B（0，-2m），若S■=4，则■·m·2m=4，解得m=2；若S■=4，则■·2·2m=4，解得m=2. 所以当m=2时，满足题设条件. 所以此时抛物线的解析式为y=（x+2）（x-2），它与x轴的交点为（-2，0），（2，0），与y轴的交点为（0，-4）. 所以一次函数的解析式为y=-2x-4或y=2x-4. 所以特征数为[-2，-4]或[2，-4].

评析？摇 此题是在学生已有知识的基础上设计了一个陌生的数学情景，给出了一个“特征数”的新概念. 解答此题的关键是读懂、理解题意，注意将新的信息向已有知识进行转化. 第（1）小题只要把已知的特征数代入关系式，结合所学知识，运用正比例函数的概念，问题就可以解决. 第（2）小题由于所给抛物线的解析式为交点式，所以易知交点坐标，但点A的坐标有两种可能，需分类讨论，难度也随之增大，所以，在解决此类问题的过程中，要有全面的观念，以及对问题的整体把握，同时要注意分类讨论思想的渗透，以及方程思想、数形结合思想、转化思想、函数建模在解题过程中的灵活运用.

例2 （2012年绍兴中考）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

举例：如图1所示，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.

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应用：如图2所示，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=■AB，求∠APB的度数.

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.

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解答？摇 应用：①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC. 因为CD为等边三角形的高，所以AD=BD，∠PCB=30°. 所以∠PBD=∠PBC=30°. 所以PD=■·DB=■AB，与已知PD=■AB矛盾，所以PB≠PC.

②若PA=PC，连结PA，同理可得PA≠PC.

③若PA=PB，由PD=■AB得PD=BD，所以∠APD=45°. 故∠APB=90°.

探究：因为BC=5，AB=3，所以AC=■=■=4.

①若PB=PC，设PA=x，则x 2+3 2=（4-x） 2，解得x=■，即PA=■.

②若PA=PC，则PA=2.

③若PA=PB，在Rt△PAB中不可能.

故PA=2或PA=■.

评析 ？摇此题是在学生已有知识的基础上引入新概念“三角形的准外心”. 解答此题的关键是读懂、理解题意，注意将新的信息结合图形，并联系已学的线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识解决问题.

例3 （2011年绍兴中考）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点. 例如，图3中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点.

（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由.？摇？摇

（2）若和谐点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，求a，b的值.

解答 （1）因为1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），所以点M不是和谐点，点N是和谐点.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

（2）由题意知，当a>0时，由（a+3）×2=3a，解得a=6. 又点P（a，3）在直线y=

-x+b上，代入得b=9；当a<0时，由（-a+3）×2=-3a，解得a=-6，又点P（a，3）在直线y=-x+b上，代入得b=-3.所以a=6，b=9或a=-6，b=-3.？摇

评析？摇 此题首先呈现“和谐点”这一新概念，为促进对定义的理解，在定义后又采用平面直角坐标系中的具体点和图象进行说明，接着以这个定义为整个问题的题眼，逐层深入. 此题既巧妙设置了对分类讨论思想的考查，以面积和周长的形式出现，隐蔽性强，对思维严密性要求高，又在数形结合思想的考查上形成由低级到高级的链条，较好地区分出了学生对数形结合思想的理解和掌握程度，具有较好的效度.

例4 （2012年南京中考）如图4所示，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A，B的滑动角.

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（1）已知∠APB是⊙O上关于A，B的滑动角.

①若AB是⊙O的直径，则∠APB=______；

②若⊙O的半径是1，AB=■，求∠APB的度数.

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A，B两点，∠APB是⊙O1上关于A，B的滑动角，直线PA，PB分别交⊙O2于点M和点N（点M与点A、点N与点B均不重合），连结AN，试探索∠APB与∠MAN和∠ANB之间的数量关系.

解答 （1）①因为AB是⊙O的直径，所以∠APB=90°.

②因为OA=OB=1，AB=■，

所以OA2+OB2=1+1=2=AB2.

所以△AOB是直角三角形.

所以∠AOB=90°.

所以∠APB=■∠AOB=45°，或∠APB=180°-45°=135°.

（2）当P在优弧AB上时，如图5所示，这时∠MAN是△PAN的外角，因而∠APB=∠MAN-∠ANB；当点P在劣弧AB上时，如图6所示，此时∠APB是△PAN的外角，因而∠APB=∠MAN+∠ANB.

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点评？摇 本题以新概念“滑动角”入手，有一种新意，但其知识点就是圆周角与圆心角之间的关系，只是说法不同而已，还用到直径所对的圆周角为直角、股定理等知识；第二问主要看考生能否周全考虑，自己要画出图形来帮助分析，结合图形很容易得到正确结论.

■ 感悟教学

“新定义”题要求学生不仅要从语义上阅读理解每一个句子的含义，还要从深层次上进行挖掘，理解数学新知识的本质，要求学生要有较高的独立自主的学习能力，要培养和提高学生学习数学新知识的能力，教学时可以从以下几个方面着手.

1. 及时总结已学的知识

学习是学生在原有的认知结构的基础上，通过同化和顺应重组知识，完成新知识的过程，而“总结”是把数学知识与技能通过“同化”或“顺应”的机能进行“平衡”认知结构的必要步骤，新的概念、定理和方法并不是空中楼阁，它们的构成元件都是学生已掌握的知识，适时组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用新知识.因此对学生而言，关键要明白学习新知识并不是无从下手，完全可运用已有知识加以解释、理解，从而解决问题. 常用的总结方法有：在概念学习后，以辨析、类比等方式进行小结；对解题过程进行反思，举一反三；从数学知识、数学思想及学习启示三个层面进行课堂小结；布置阅读、练习和实践等不同形式的课外数学活动，让学生撰写学习心得、专题小论文等总结性的文章.

2. 培养独立学习的能力

“新定义”试题包含的新信息要学生自己加工，没有教师的讲解、举例和解说，也没有模仿和练习的过程，因此要顺利解决这类问题必须有较强的独立学习能力. 在平时的学习中，教师要重点培养学生预习的习惯，上新课之前要自己预习，要尽量通过自己的努力独立学习和掌握新的知识，而不是依赖于教师的讲解. 对于比较简单的问题，可以让学生独立完成，使学生体会到运用数学思想方法解决问题的快乐. 对于有一定难度的问题，应该让学生有充足时间独立思考，再进行尝试解决. 对于思维力度较大的问题，应在学生独立思考、小组讨论和全班交流的基础上，通过合作共同解决.

3. 培养阅读理解能力

阅读理解是解“新定义”试题的第一步. 学生在阅读的基础上，通过自己的思考理解新信息，拥有好的阅读能力无疑是解决这类问题的必要条件. 这就要求学生在日常学习中要注重数学基础知识的学习，对题目中的词句能正确理解，在此基础上揭示新知识的本质，明确符合新知识要求的实例和使用条件. 教师在课堂上要根据学生的认知特点，进行例题变式，让学生进行错题剖析并根据要求自主命题、相互考查等多种形式灵活教学，以培养和提高学生运用知识的意识、数学语言表达能力和阅读理解能力，让学生多见识、多做此类题也是一个培养学生阅读理解能力的不错方法.