由正难则反切入

王秋月

人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决.但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲”是突破思维障碍的重要策略.

由正难则反切入的具体途径有：定义、公式、法则的逆用；常量与变量的换位；反客为主；反证法；等等.下面举例说明。

例1设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式11a2+11b2的值为。

思路点拨：直接求解比较困难，可通过构造方程求解。可设a，b为一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根， 运用根与系数关系求解。

答案为7。

例2已知实数a、b、c满足a≠b，且2002（a-b）+2002（b-c）+（c-a）=0，求（c-b）（c-a）1（a-b）2的值.

思路点拨：显然求a、b、c的值或寻求a、b、c的关系是困难的，若令2002=x，则2002=x2，原等式就可变形为关于x的一元二次方程，运用根与系数关系求解.

解： ∵a≠b，

∴可得到关于x的一元二次方程：（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0。

∵（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，

∴方程必有一根为1。

设另一根为2002，则由韦达定理得

2002+1=c-b1a-b，

2002×1=c-a1a-b，

∴原式=c-a1a-b·c-a1a-b=2002（2002+1）=2002+2002。

例3设a、b、c为非零实数，且ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，试问：a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根.

思路点拨：如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的a、b、c的取值即可.

解：设三个二次方程都没有不等实根，则

4b2-4c≤0，

4c2-4ab≤0，

4a2-4bc≤0。

三式相加，得a2+b2+c2-ab-bc-ca≤0。

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0。

又（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0。

∴a=b，b=c，c=a。

这表明，若三个方程都没有不等的实根，则a=b=c，因此当a、b、c为不全相等的非零实数时，三个方程至少有一个方程有不等的实数根。

例4能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.

思路点拨：先假设存在正整数n1，n2，n3，n4满足ninj+2002=m2（i，j=1，2，3，4，m为正整数）.运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立.

解：不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数。

理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1。

若存在正整数n1，n2，n3，满足ninj+2002=m2；i，j=1，2，3，4，m为正整数；因为2002被4除余2，所以ninj被4除应余2或3。

若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则n1n2+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数。

在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原理，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与ninj被4除余2或3的结论矛盾。

综上，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数。

正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式：不通分母通分子；不求局部求整体；不先开方先平方；不用直接挖隐含；不算相等算不等；不求动态求静态；等等.