李美华
【摘要】常微分方程作为一种数学思想方法已融入到数学建模中,广泛应用于自然科学和社会科学.常微分方程的建立主要是利用事物的已知规律,或是事物的部分与整体之间的关系,抑或是对复杂事物内在规律的近似模拟.
【关键词】常微分方程;数学建模;方法
一、引 言
数学建模是把自然现象转化为数学问题并应用数学方法求解最终对现实问题作出解释的过程,其关键是如何把一个现实问题经过观察、抽象、假设、归纳、演绎转化为一个数学问题.导数是函数的变化率问题,由一切事物都处于绝对变化中可知导数也普遍存在,故而把导数与实际问题联系起来建立描述研究对象变化规律的微分方程模型就是一种数学建模方法.
常微分方程建模是利用常微分方程来模拟某些自然现象随时间推移而连续发生的变化的本质.这中间通常涉及对问题的分析假设到常微分方程模型的建立,然后求解,再回归到实际问题,把求得的结果与实际情况对比,以修正或改善模型,使之更准确地描述实际问题,最终达到推广应用的目的.以图表示如下:
二、常微分方程建模方法举例
在诸如化学、力学、物理学等自然科学中,常微分方程模型通常以事物内含的客观规律为基础建立,而在诸如经济学、人口学等社会科学中则在类比假设的基础上建立微分方程模型.下面列举常微分方程建模中三种比较常见的方法.
1.利用事物的已知规律建立微分方程模型
在物理学、力学等领域,很多自然现象所表现出来的规律经过前人大量分析研究已为人们所掌握并应用到实际生活中,如放射性物质衰变规律、牛顿第二定律等,在建模时可直接根据事物内含规律构建微分方程.
例1 (古生物年代推断问题)14C是一种放射性物质,12C是一种非放射性物质.活性生物体因吸纳食物和空气,补偿14C衰减损失量,使得14C和12C始终保持平衡.但生物体一旦死亡,这种平衡就会失去.考古学者通常利用这种特点来推断古生物的死亡年代.1950年巴比伦的一个洞穴里发现了一根刻有Hammurabi王朝字样的木炭,史书上对这一朝代未有记载.经测量其14C衰减速度为4.09个/g•min,新砍伐烧成的木炭中14C衰减速度为6.68个/g•min.已知14C半衰期为5568年,估计该王朝大约存在于多少年前(从1950年算起)?
假设:现代生物体中14C衰减速度与生物体死亡年代14C衰减速度相同
分析 放射性元素衰变规律指出:放射性元素衰变速度与其现存物质质量成正比.此比例系数设为k(通常称为衰变常数,且k>0),14C在t时刻的质量设为x(t),另生物体死亡时间记为t0=0,此时14C含量设为x0,则可列出相应微分方程dxdt=-kx,
x(0)=x0.
此为一阶齐次线性微分方程初值问题.
解得 x(t)=x0e-kt
(1)
故t=lnx(t)x0-k
(2)
t时刻的衰变速度即是x(t)在t时刻的导数,故由(1)求导得
x′(t)=-kx0e-kt=-kx(t).
(3)
所以 x′(0)=-kx0.
(4)
(3)式与(4)式两式相除得x(t)x0=x′(t)x′(0).
(5)
把(5)代入(2)中,则t=lnx′(t)x′(0)-k(其中可由14C半衰期为5568年,代入(1)知比例系数k=ln25568).
所以t=ln4.096.68-ln25568≈3940.
故该王朝大约存在于3900~4000年前(从1950年算起).
放射性元素的衰变规律及其所适用的微分方程模型在一些实际问题中都有所应用,如对Van Meegeren 伪造品的鉴定直到1967年才由Carnegie睲ellon大学的科学家们根据画作所采用原料的放射性特点用微分方程模型计算分析得以基本解决.
动力学基本定律——牛顿第二定律在微分方程建模中也有广泛运用,如美国原子能委员会处理放射性废料的方法一度是装桶后扔到水深300ft的海里,后来工程师们进行了大量破坏性试验,利用牛顿第二定律建立二阶微分方程计算发现,圆桶的极限速度和将它扔到300ft深的海里与海底的碰撞速度的近似值都超过了安全值,继而证实了这种处理方法是不安全的.
2.利用微元分析法建立微分方程模型
微元分析法也称为元抽象法(Method of elementary abstraction)是通过分析微元的动态过程以求得整体的运动规律的方法.通常假设物体是均匀的、连续的.这种方法在微积分学中经常碰到,取物体运动过程中微小部分即微元,通过分析其运动特点列出微分方程,实质是从部分演绎到整体的过程.比如流体混合问题、军事宣传心理学等研究中都有所涉及.
例2 (环境污染问题)某池塘原有清水50000吨(不含有害物质),从某一时刻开始,含有有害物质5%的污水流入该池塘,流入的速度为3吨/分,后又以2吨/分的速度流出池塘.求池塘内有害物质浓度随时间变化的数学模型.
假设:污水流入池塘后与原有清水均匀混合,池塘本身不具备自然净化能力.
分析 从t到t+dt(假设dt非常微小)时间段内,有害物质改变量设为dQ,则dQ=流入的污水中有害物质含量-流出池塘水中有害物质含量.由于dt微小,可以把t到t+dt时间段内池塘中有害物质浓度近似认为不变.
污水流入开始时刻记为t=0,此时池塘有害物质含量记为Q=0,设t时刻有害物质含量为Q(t).于是
dQ=5%×3dt-Q(t)50000+(3-2)t×2dt,
即dQdt=15%-2Q50000+t.
又t=0时,Q=0,
故该数学模型为dQdt+2Q50000+t=15%,
Q(0)=0.
此为一阶非齐次线性微分方程初值问题.
解为:Q(t)=0.05(50000+t)-6.25×1012(50000+t)2.
所以t时刻有害物质的浓度P(t)=0.05-6.25×1012(50000+t)3.
上式即为池塘内有害物质浓度随时间变化的数学表达式.
从上式可以看出,当t→∞时,P(t)→0.05,即若污水长时间流入池塘,则池塘内有害物质浓度将趋近于流入池塘的污水中所含有害物质的浓度,这样对环境的负面影响会越来越大,故而一旦出现污染要及早防治,尽量减小危害.
该模型也可推广到其他液体、气体等流体混合模型问题,这里不再列举.
3.利用模拟近似法建立微分方程模型
生活中的实际问题所隐含的变化规律往往并不清晰,且影响问题本身的因素是多方面的,此时就需要根据实际资料或是大量实验数据,抽取主要因素,提出假设,找出相应规律,再建立相应的微分方程模型.这类方法在实际建模中有广泛应用,且有很多典型模型得到了推广,如logistic模型.
例3 (流言传播问题)流言特别是具有消极作用的流言给人们生活带来较大危害,故而利用数学建模知识建立流言传播的数学模型来描述流言的传播过程,探索制止流言蔓延的举措显得尤为重要.若某一小镇有N个居民,在流言传播之初就有x0个人听说过.试建立已听说流言人数随时间变化的数学模型.
假设:(1)在流言传播期间所考察小镇的总人数N不变,即忽略人员的迁移与死亡等人数变化因素;
(2)该小镇居民划分为已听说流言者和未听说流言者,且t时刻已听说流言者和未听说流言者在总人数中所占比例分别为x(t),1-x(t);
(3)每个听说过流言者单位时间内有效接触(即与未听过者接触并把流言告之)的人数为k,k即为有效接触率.
分析 依假设,每个听过流言者单位时间内可传播流言给k(1-x(t))个未听过者,又因为t时刻听过流言人数为Nx(t),所以单位时间内共有kN(1-x(t))x(t)个未听过流言者被告知,此即为听过流言人数的增加率,故在t到t+Δt时间段内,有:Nx(t+Δt)-x(t)=kN(1-x(t))x(t)Δt.
又因为流言传播开始时刻即t=0时x(0)=x0N,
利用导数定义得dxdt=kx(1-x),
x(0)=x0N.
这实质是logistic模型当环境容纳量k=1时的情形.
其解为x(t)=11+(Nx0-1)e-kt.
由上式易知当x(t)=12即t=k-1ln(Nx0-1)时,dxdt达到最大值,亦即流言传播得最快.此外,t与k成反比,意味着听过流言者有效接触的人数越少,流言传播高潮到来越晚.当t→∞时,x(t)→1,即随着时间的无限增加,小镇上居民都听说了此则流言.故而在流言传播中,t与k都是我们应该注意的因素.
在实际流言传播过程中,比上述情况可能更复杂,如若小镇人口流动量较大,传播方式已不限于口耳相传,现有更多的网络环境下的流言传播模型出现,但上述传统流言传播模型也有它简便实用的价值.
总的来说,随着事物本身变化的复杂性,其模型建立的前提假设也不尽相同,自然其微分方程的建立也会有所不同.如F盬盠anchester根据作战双方军队正规与否建立了三种预测战争结局的模型;传染病模型也根据传染病类型的不同划分了SIS、SIR等种类.
三、结 语
事实上,在把自然现象抽象化为数学问题过程中,微分方程模型的建立往往是多种方法综合应用的结果,且方程也只是在一定程度上对实际问题的一种近似反映,故而需把求得的解与实际情况相对照,不断改进模型,尽可能地达到实际问题的精确性和数学处理的可能性之间的平衡.即便如此,常微分方程理论的出现及其数学思想的应用在实际问题的解决中发挥着重大作用,正如我国数学家秦元勋所说“常微分方程……是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科”.
【参考文献】
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[4]吴赣昌主编