数学高考中恒成立题型的剖析及对策

魏勇

【摘要】近年广东高考数学试题形式多样，解答题的难度区分度逐步拉大，旨在考查学生的知识掌握和运用能力。尤其是改革后的新课标下的高考考查越来越注重学生的综合素质，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。

【关键词】创新意识 恒成立问题 数学思想 数形结合

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）12-0129-02

新课标下的高考数学逐步重视对学生知识掌握和运用的考查，因此，设计新题是选拔人才的必然要求。而且数学作为一门基础学科，解题是它的一个核心环节，解题素养的高低，解题策略的优劣，将会直接反映到数学考试的成绩上，它是评判一个学生数学学习的客观标尺。在当下的高考环境中，不仅再是简单的运用公式加以计算，而是需要学生能够理解课堂中的知识结构，把知识的学习转化为知识的掌握能力，而连续出现的恒成立题型就是一个对学生是否掌握的很好检测。

本文通过对近几年数学高考恒成立题型的分析、研究，选择有效的方法和手段对恒成立题型的信息进行剖析研究，发现高考恒成立题型可以划分成四类：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④直接根据函数的图像。

一、一次函数型

对于比较熟悉的一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于

（1） a>0f（m）>0或（2） a<0f（n）>0亦可合并成f（m）>0f（n）>0

同理，若在[m，n]内恒有f（x）<0，则有f（m）<0f（n）<0

例1：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

解：不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，则f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1

∴x<-1或x>3.

二、二次函数型

若二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，则有a>0△<0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2：关于x的方程9x+（4+a）3x+4=0恒有解，求a的范围。

分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。

解法1（利用韦达定理）：

设3x=t，则t>0.则原方程有解即方程t2+（4+a）t+4=0有正根。

∴△≥0x1+x2=-（4+a）x1·x2=4>0>0 即（4+a）2-16≥0a<-4 ∴ a≥0或a≤-8a<-4

解得a≤-8.

解法2（利用根与系数的分布知识）：

即要求t2+（4+a）t=0有正根。设f（x）= t2+（4+a）t+4.

（1）△=0，即（4+a）2-16=0，∴a=0或a=-8.

a=0时，f（x）=（t+2）2=0，得t=-2<0，不合题意；

a=-8时，f（x）=（t-2）2=0，得t=2>0，符合题意。

∴a=-8.

（2）△>0，即a<-8或a>0时，

∵f（0）=4>0，故只需对称轴- >0，即a<-4.

∴a<-8

綜合可得a≤-8.

三、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例3：已知当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+ 恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x< -a+5

要使上式恒成立，只需 -a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴ -a+5>3即 >a+2

上式等价于a-2≥05a-4≥05a-4>（a-2）2或a-2<05a-4≥0

解得 ≤a<8.

注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

四、直接根据图像判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例4：设f（x）= ，g（x）= x+1-a，若恒有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围。

分析：在同一直角坐标系中作出f（x）及g（x） 的图像

如图所示，f（x）的图像是半圆（x+2）2+y2=4（y≥0）

g（x）的图像是平行的直线系4x-3y+3-3a=0。

要使f（x）≤g（x）恒成立，

则圆心（-2，0）到直线4x-3y+3-3a=0的距离满足d= ≥2

解得a≤-5或a≥ （舍去）

例5：当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图像是抛物线，右边为常见的对数函数的图像，故可以通过图像求解。

解：设y1=（x-1）2，y2=logax，则y1的图像为右图所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），y11，并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

故loga2>1，a>1，∴1

在与时俱进的时代理念下，高考数学的发展势在必然。恒成立题型并不可怕，可怕的是面对恒成立题型我们却无所作为。通过这篇文章，我自己感受到以下几点：

（1）更新教学理念，激发有效课堂，注重通过多种形式与途径在课堂中培养学生的数学思维；

（2）要拓宽视域，研究高考恒成立题型的题型、解法和走势，从中摸索到一些规律性的东西来指导创新数学教学；

（3）要关注生活，将生活引入数学课堂，让数学课堂关注生活问题，通过暗示、诱导、逆向启发等多种手段训练并培养学生运用数学知识解决生活问题的思维与能力。

参考文献：

[1]霍洪亮.不等式恒成立问题的十种解法[J]数理化学习（高中版）2004，（1）：9-11.

[2]胡晓芬.含参数不等式恒成立的解法[J]数学通讯，2005，（20）：12.

[3]李海平，白慧鑫.高考真题汇编详解[M].北京：西藏人民出版社，2012.

[4]蔡晔.高考数学[M].上海：龙门书局，2009.

[5]严军.最新三年全国高考数学（理）试题分类解析命题趋势与应试对策[M].北京：中国少儿出版社，2012.