对“正弦定理”教学的几点理解

张宏海 王晓慧

摘 要：“正弦定理”是课标人教A版高中数学必修五第一章第一节的内容。高中数学新课程标准指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、合作交流等学习方式，这样有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。高中数学课程还应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。

关键词：正弦定理；教学目标定位；教学诊断；效果分析

一、教学内容分析

学生在初中已经学习了直角三角形中的边角关系和三角形全等的判定，本课是在此基础上继续研究任意三角形中的边角关系。教师带领学生从已有知识出发，通过探究得到正弦定理，理解定理的内容并能运用正弦定理解决三角形的两类问题，结合三角形全等的判定，理解在已知边边角的情况下，三角形解的个数不确定的问题。学生在此之前已经学习了三角函数、平面向量、圆等内容，使得对这部分内容的处理有了比较多的工具，课本中按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高”的方式证明了正弦定理。教学过程中，为了发展学生的思维，使之学会思考数学问题，可以再引导学生从向量、作外接圆、三角形面积计算等几个角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。

二、本课的生活背景与教学目标定位

在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展。如：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样测出在海上航行的轮船的航向和航速？在生产、生活实际中也会遇到类似问题。例如：怎样确定楼间距，使得一楼的住户也能得到较为充足的阳光？怎样充分利用废旧钢板来节约成本？这些都是学生非常感兴趣的生活问题，数学无处不在，正如荷兰数学家弗赖登塔尔在他所著的《作为教育任务的数学》一书中所讲：“数学起源于现实，数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。”

教学过程中，让学生经历提出问题、解决问题、初步应用等过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”。数学课程标准将解三角形作为几何度量问题展开，重点在正弦定理的应用，而不必在恒等变换上进行过于繁琐的训练。这就要求在教学中突出几何的作用和数学量化的思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究、再创造过程。基于此，本课的教学目标定位在：

1.能在创设的问题情境中激发学生解决问题的欲望，从已有的知识出发，探究、发现正弦定理，并推证正弦定理。学生会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

2.学生能够在平等的教学氛围中通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，体会观察、猜想、由特殊到一般归纳得出结论的数学方法。

三、教学重点与难点分析

1.教学重点：从知识的角度讲，正弦定理的探索发现及其初步应用；从培养学生的角度讲，重视学生在探究正弦定理的过程中分析问题、解决问题能力的提高；从教师的角度讲，重视数学思想方法的渗透。

2.教学难点：正弦定理的证明。了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。

四、教学诊断分析

学生在初中已经学习了锐角三角函数，在必修四中又研究了任意角的三角函数，所以很容易根据直角三角形中的边角关系，得出直角三角形中的正弦定理，从而引出课题：这一结论在任意三角形中还成立吗？证明这个结论是一个难点，特别是在钝角三角形中，教师通过引导学生如何化未知为已知，可以找到解决问题的途径。运用定理解三角形不难，但是在运用定理的过程中，有一点是学生不容易想到也难以理解的，就是在已知三角形中两边和其中一边的对角时，解的情况不唯一。教师通过引导学生回忆初中所学的三角形全等的判定，理解“边边角”不能判定三角形全等，本节课只需要让学生知道这一点，详细探究在以后完成。

五、教法特点分析

前苏联数学教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学”“数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个发现活动；对于数学教学来说，我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是发现数学真理（自己独立的发现科学上已经发现了的东西），学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的。”在弗赖登塔尔的论述中也指出：“学生通过自己努力得到的结论和创造是数学教育内容的一部分。”新课标也在倡导积极主动、勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，结合本课的教学内容，采用探究发现式教学法，以生活中可能遇到的测量问题来创设问题情境，以问题驱动课堂，使学生的思维始终活跃于解决问题的探究活动中，通过师生之间、学生之间的评价来完善对问题的理解和对定理的应用，创造和谐、愉快、平等的学习氛围，体现学生的主体地位，让学生体验快乐学习。同时，要培养学生学习数学的兴趣并逐步提高他们学习数学的能力。

参考文献：

[1]（前苏联）A·A·斯托利亚尔.数学教育学[M].北京：人民教育出版社，1984.

[2]（荷）弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.