等差、等比数列的综合,数列求和
(★★★★)必做1 在等比数列{a}中,公比q≠1,等差数列{b}满足b=a=3,b=a,b=a.
(1)求数列{a}与{b}的通项公式;
(2)记c=(-1)nbn+a,求数列{c}的前n项和S.
[牛刀小试]
破解思路 第(1)问求两个基本数列的通项,“基本数列(等差、等比数列)、基本量((a,d)和(a,q))、基本公式(通项公式、前n项和公式)、基本思想(方程思想)”是解决这些问题的经典方法. (2)求数列前n项和,{a}是等比数列,数列{c}不是基本数列,可以先分组.观察数列(-1)nbn,发现前后两项合并可以产生常数数列,但最后项数的奇、偶不确定,所以要分类讨论;或者分奇、偶项按符号分别求和.
精妙解法 (1)设等比数列{a}的公比为q,等差数列{b}的公差为d.
由已知得:a=3q,a=3q2,b=3+3d,b=3+12d,
3q=3+3d,
3q2=3+12d ?q=1+d,
q2=1+4d?q=3或q=1(舍去),所以d=2.
所以a=3n,b=2n+1.
(2)由题意得c=(-1)nbn+a=(-1)·(2n+1)+3,
所以S=c+c+…+c=(-3+5)+(-7+9)+…+(-1)n-1(2n-1)+(-1)(2n+1)+3+32+…+3n.
当n为偶数时,得S=n+=+n-;
当n为奇数时,得S=n-1-(2n+1)+=-n-.
(★★★★)必做2 数列{a}的前n项和为S,若a=3,S和S满足等式S=S+n+1.
(1)求S的值;
(2)求证:数列
是等差数列;
(3)若数列{b}满足b=a·2,求数列{b}的前n项和T;
(4)设c=,求证:c+c+···+c>.
破解思路 第(1)问一般难度不大,主要是引导进一步理解题意,同时为后面的求解做一些准备.这里问题中{S}是由S构成的数列,S是数列的项,破除S总是通常意义上的前n项和的定式. 第(2)问是近两年高考数列问题的常见模式,直接给出“脚手架”,只要根据条件,代入证明,不用考虑构造等技巧,通过代数式变形即可. 第(3)问的题型模式非常明显,一般就是“错位相减”的特征,这种方法主要用于求{a·b}型数列的前n项和,其中{a},{b}分别是等差数列和等比数列.前面完成以后,最后一问就水到渠成了.
精妙解法 (1)由已知:S=2S+2=2a+2=8.
(2)因为S=S+n+1,两边同除以n+1,则有-=1. 又=3,所以
是以3为首项,1为公差的等差数列.
(3)由(2)可知,=3+(n-1)=n+2,所以S=n2+2n(n∈N?).
当n=1时,a=3;当n≥2时,a=S-S=2n+1.
检验:当n=1时,亦满足上式,所以a=2n+1(n∈N?).
所以b=a·2,所以b=(2n+1)22n+1,T=b+b+…+b+b.
所以T=3·23+5·25+…+(2n-1)·22n-1+(2n+1)·22n+1 ①,
22T=3·25+5·27+…+(2n-1)·22n+1+(2n+1)·22n+3 ②,
由①-②得:
-3Tn=3·23+2(25+…+22n-1+22n+1)-(2n+1)·22n+3=3·23+2·-(2n+1)·22n+3=+,
所以T=
n+·22n+3-.
(4)由(3)知c==+-·
n,
所以c+c+…+c=·+·n-·
=-+
n>-≥-=.
极速突击 解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件.
等差与等比数列是两类重要的数列模型,它们的综合运用仍然是高考的最大热点所在,高考命题专家既要依据两类数列模型的基本知识和性质命题,又要站在两类数列模型所提炼出的数学思想方法上进行拓展,做到“源于等差、等比数列,多角度考查非等差、等比数列”. 在数列求和问题中,除了公式法是常用的方法外,高考还会重点考查“折项分组法”“错位相减法”“倒序相加法”“裂项相消法”.
(1)公式法
如果一个数列是等差数列或等比数列,就可采用对应的公式,当等比数列的公比是字母时,要注意分类讨论.
(2)拆项分组法
有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,则先分别求和,然后合并. 要熟记公式12+22+…+n2=n·(n+1)(2n+1).
(3)错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
(4)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和.
(5)裂项相消法
利用通项变形,将通项分裂成两项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.
数列与不等式
(★★★★)必做3 已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+anan+1,且a+a=2a+4,其中n∈N?.
(1)求数列{a}的通项公式;
(2)设数列{b}满足b=,是否存在正整数m,n(1 (3)令c=,记数列{c}的前n项和为S,其中n∈N?,证明:≤S<. [牛刀小试] 破解思路 (1)用方程思想找出a,a更明确的关系. (2)因b,b,b成等比数列,则必有b=bb,再根据自然数的性质进行推理,此问对思维能力要求较高. (3)数列问题中的不等式证明的核心仍在数列知识,主要是通过数列求和然后适度放缩达到证明的要求. 精妙解法 (1)因为a=2a+anan+1,即(a+a)(2a-a)=0. 又a>0,所以有2a-a=0,即2a=a. 所以数列{a}是公比为2的等比数列. 由a+a=2a+4得2a+8a=8a+4,解得a=2 . 从而,数列{a}的通项公式为a=2n(n∈N?). (2)b==,若b,b,b成等比数列,则 2=·, 即=,可得=. 所以-2m2+4m+1>0,解不等式得1- 又m∈N?,且m>1,所以m=2,此时n=12 . 故当且仅当m=2,n=12时,可使得b,b,b成等比数列. (3)由已知可得c==· =· + =· + + , 所以S=· +…+ +· - + - + …+ - =· +· - =·1- ·. 又由于 n+1·= n+1· 1+递减,所以0< n+1·≤ 1+1·=. 所以≤·1- ·<,即≤S<. 极速突击 通常情况下,放缩法常常被用于解决数列求和型不等式问题.其求解途径一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和.对于第一种途径,需要该数列的前n项和能直接求出,或者通过变形后求出.求和过程中,一般需用到等差、等比求和公式或者使用分组、裂项、错位相减、倒序相加等方法.然而有的情况,数列是不能直接求和的,因此必须选择第二条途径,即先对数列进行放缩处理,再做求和运算. (★★★★)必做4 设正项数列{a}的前项和是S,若{a}和{}都是等差数列,且公差相等. (1)求{a}的通项公式; (2)若a,a,a恰为等比数列{b}的前三项,记数列c=,数列{c}的前n项和为T,求证:对任意n∈N?,都有T<2. 破解思路 (1)根据基本数列、通项公式可解;(2)由(1)的结果可得c=,数列{c}不是基本数列,一些基本方法也不能使用.数列问题中不等式的证明一般有三种情形:先求和再适当放缩;先放缩再求和;利用函数方法等.在不能直接求和时,可考虑先放缩,<==-,然后通过裂项抵消求和达到证明目的. 精妙解法 设{a}的公差为d,则==n,且a-=0. 又d=,d≠0(若d=0,则a==0),所以d=,a==,a=. (2)由已知b=a=,b=a=,所以b=×3n-1. 因为c=,可得c=. 故当n≥2时,可得<==-, 所以当n≥2时,T=++…+<+ -+ -+…+ -=2-<2. 又因为T=<2,所以对任意n∈N?,Tn<2. (★★★★)必做5 已知函数f(x)=ax--2lnx, f(1)=0, f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,数列{a}满足a= f′ -n2+1,a=4. (1)证明:对一切整数n都有a≥2n+2; (2)试比较+++…+与的大小,并说明你的理由. [牛刀小试] 破解思路 (1)利用导数的几何意义列方程组求出a,b,得出函数f(x)的表达式;由已知条件写出数列{a}的递推关系式;用数学归纳法证明(1)问中的不等式. (2)利用(1)问的结论,对递推公式通过放缩进行化归分析,将a+1的倒数转化为可求和的等比数列,利用放缩所求得的和推导出大小. 精妙解法 (1)因为f(1)=a-b=0?a=b,所以f(x)=ax--2lnx, 所以f′(x)=a+-. 由题意知f′(1)=0,可得a+a-2=0,解得a=1. 所以f′(x)= -12,于是a=f′ -n2+1=a-2na+1. 下面用数学归纳法证明对一切整数n都有a≥2n+2成立. ①当n=1时,a=4≥2×1+2,不等式成立; ②假设当n=k时,不等式a≥2k+2成立,即a-2k≥2成立. 则当n=k+1时,a=a(a-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2. 所以当n=k+1时,不等式也成立. 由①②知?n∈N?时都有a≥2n+2成立. (2)由(1)得a=a(a-2n+2)+1≥a[2(n-1)+2-2n+2]+1=2a+1(?n∈N?,n≥2),
于是a+1≥2(a+1)对?n∈N?,n≥2成立,
所以a+1≥2(a+1),a+1≥2(a+1),…,a+1≥2(a+1)成立.
累乘可得:a+1≥2n-1(a+1),则有≤·成立(?n∈N?,n≥2).
所以+++…+≤
1++
+…+
=1-
<.
放缩的方法有如下两种:
①拆分放缩,纠正偏差. 放缩量的多少直接影响我们能否达到预证目标,那么怎么控制放缩量呢?我们可按照一定的规律和需求,调整“间距”,使放缩的量精细化,即将放大过头的量砍去,缩小过多的量补上.如同做菜一样,把握好火候很重要.不同的菜对火的大小要求不一,炒菜需要大火爆炒,炖汤则需要小火慢炖.
②限项放缩,纠正偏差. 若每一项都放大或缩小一点点,累积起来就会扩大或缩小很多,这将导致放缩结果出现偏差.若适度减少放缩的项,保留更多的项不被放缩,则可以纠正偏差,逐步逼近预证目标.
数列与解析几何
(★★★★)必做6 已知函数f(x)=xk+b(其中k,b∈R且k,b为常数)的图象经过点A(4,2),B(16,4). P,P,P,…,P,…是函数f(x)图象上的点,Q,Q,Q,…,Q,…是x正半轴上的点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设O为坐标原点,△OQP,△QQP,…,△QQP,…是一系列正三角形 ,记它们的边长是a,a,a,…,a,…,求数列{a}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,数列{b}满足b=,记{b}的前n项和为S,证明:S<.
[牛刀小试] 破解思路 综合性问题必须化整为零、分而治之. (1)利用待定系数法直接求解. (2)数列与解析几何的综合问题,往往是数列递推,需要数形结合剥除几何的外衣,回归数列的本质. 可以先求出a,a,a,找出数列规律,重要的是在特殊项的求解过程中理解一般项关系的推导方法,从而确定递推关系. (3)由通项形式大致可以确定解题方向是“错位相减”,求和后放缩证明.
精妙解法 (1)2=4k+b,
4=16k+b?b=0,k=?f(x)=.
(2)由
y=,
y=x?x=?a=.
由
y=,
y=(
x-S) ?x--S=0,于是可解得x=.
将x代入a=2(x-S)=+,由此原问题转化为
“已知
a
-2=且a=,求a”.
又
a
-2=,两式相减可得:
a
-2-
a
-2=a,整理得:(a+a)
a
-a
-=0.
又因为a>0,所以a-a=,从而数列{a}是以为首项、为公差的等差数列,即a=.
(3)b==·=·,3S=+++…+,
所以S=+++…+,
两式相减得:S=1++++
…+-=-=2-,
整理得S=-<.
极速突击 数列与解析几何的综合,往往从探究数列递推关系开始,探究历程往往是“探寻递推公式→演变成通项公式→①数列前n项和的研究;②通项公式的延续拓展”,所以找到突破口的关键是要探究点与点的关系,挖掘数列的递推关系.