2013年高考数学必做解答题——概率统计

章少川

随机事件的概率

（★★★★）必做1 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

（1）求n的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问n值可通过“等概率性”直接求解. 第（2）问第①小题基本事件数为有限个，属于古典概型问题，可分为第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球两种情况来求概率. 第②小题中x，y两个数都在连续的区间内取，基本事件数为无限个，属于“测度”为面积的几何概型问题.

精妙解法 （1）由题意可得==，解得n=2.

（2）①由于是不放回抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球. 所以P（A）===.

②记“x2+y2>（a-b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立.

（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）

0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，

而事件B构成的区域B={（x，y）

x2+y2>4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）==1-.

误点警示 古典概型中的基本事件数一般通过分类求解，要注意“有放回与无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别；利用几何概型求概率时，要注意寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，更要注意准确判定“测度”是面积型还是长度型.

（★★★★）必做2 某人居住在城镇的A处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如图1（例如A→C→D算两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）.请你为其选择一条由A至B的线路，使途中发生堵车的概率最小.

[E][F][B][A][C][D][][][][][][][]

图1

[牛刀小试]

精妙解法 由A至B的线路有三种选择：A→C→D→B，A→C→F→B，A→E→F→B. 按线路A→C→D→B来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件. 故途中发生堵车的概率为：1-

1-·1-

1-

=. 同理，按线路A→C→F→B来走，途中发生堵车的概率为：1-

1-1-

1-

=；按线路A→E→F→B来走，途中发生堵车的概率为：1-1-

1-

·1-

=. 由于>>，故选择A→C→F→B的线路，途中发生堵车的概率最小.

（★★★★★）必做3 从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.

（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；

（2）若抽取后不放回，求抽完红球所需次数不少于4次的概率.

[牛刀小试]

破解思路 本题是典型的古典概型摸球问题.基本事件数的求解一定要注意“有放回与无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别. 第（1）问是3次独立重复试验中事件发生2次的概率问题；而“三种颜色抽全”的有序排列共有A=6种，要防止误错为组合数来求解. 第（2）问是含“不少于”“至多”“至少”型题目，要理清各种可能的结果再求解，有时用间接法处理更为简洁.

精妙解法 （1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为，得黑球的概率为.

所以恰2次为红色球的概率为P=C

2·=，抽全三种颜色的概率P=

×

×·A=.

（2）抽完红球所需的次数不少于4次有以下两种情况：

第一种，抽完红球所需的次数为4次时，P=·=.

第二种，抽完红球所需的次数为5次时，P==.

所以抽完红球所需的次数不少于4次的概率为：P=P+P=+=.

离散型随机变量的分布列、期望与方差

（★★★★★）必做4 市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各轮次通过与否相互独立.

（1）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）对于（1）中的ξ，设“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率.

[牛刀小试]

破解思路 本例以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列与数学期望.第（1）问较基础，随机数分类较好把握，概率求解考查独立事件的概率.可用恰当字母表示题中有关事件，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和，再利用乘法公式计算概率. 第（2）问联系三角函数的性质，有一定的综合性，但实际不难，属于古典概型问题.

精妙解法 （1）ξ可能取值为1，2，3.

记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B.

P（ξ=1）=P（）=1-=；

P（ξ=2）=P（A）=P（A）P（）=×

1-=；

P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=×=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&1＼&2＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&]

ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=.

（2）当ξ=1时， f（x）=3sinπ=3sin

x+=3cosx， f（x）为偶函数；

当ξ=2时， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3sinx， f（x）为奇函数；

当ξ=3时， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3cosx， f（x）为偶函数. 所以事件D发生的概率是.

极速突击 求离散型随机变量ξ的分布列、均值和方差的一般步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取值的全部值；②求出ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求出Eξ；⑤由方差的定义求Dξ.

（★★★★★）必做5 形状如图2所示的三个游戏盘中（图①是正方形，M，N分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心；图③是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏.

[M][N][O][P][①][②][③][图2]

（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

（2）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望.

[牛刀小试]

破解思路 解决本题的关键首先要理解好题意，将其归结为“测度”为面积的几何概型；另外一定要认真审题.

精妙解法 （1）“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件A1，A2，A3 .

由题意知，A1，A2，A3互相独立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，

所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=××=.

（2）一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3.

由分析可得P（ξ=3）=P（A1A2A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）P（）P（）=××+ ××=；

P（ξ=1）=1-=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&1＼&2＼&P＼&＼&＼&]

数学期望Eξ=1×+3×=.

（★★★★★）必做6 甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱子，乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定：所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（a，b，x，y∈N?）.

（1）当x=y=3，a=3，b=2时，求甲获胜的概率；

（2）当x+y=6，a=b=3时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分，求甲得分的数学期望达到最大时的x，y值；

（3）当x=a，y=b时，这个游戏规则公平吗？请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 本题由课本例题改造.第（1）问是常规的古典概型的求解，甲获胜的基本事件是甲、乙同红或同黑. 第（2）问联系最值问题，列出关系后，注意到x，y的整数条件，不可用均值不等式求解，应通过消元转化为一元函数求解.第（3）问如何理解“游戏规则公平”性并转化为概率大小问题求解是难点，可用作差法比较，本题还涉及分类讨论的思想.

精妙解法 （1）由题意可得，甲、乙都取红球的概率P1=×=，甲、乙都取黑球的概率P2=×=.

所以甲获胜的概率P=P1+P2=+=.

（2）令ξ表示甲所得的分数，则ξ的取值为0，1，3.

P（ξ=1）==；

P（ξ=3）==；

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-=.

得ξ的分布列如下：

[ξ＼&0＼&1＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&]

于是Eξ=0×+1×+3×=.

又x，y∈N?且x+y=6，所以1≤x≤5，且Eξ=，

故当x=5，y=1时，Eξ的最大值为.

（3）法1：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有C·C=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，则

P（A）==，P（B）==，

所以P（A）-P（B）=-=.

当x=y时，P（A）=P（B），甲、乙获胜的概率相等，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，P（A）>P（B），甲获胜的概率大于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平.

法2：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有C·C=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，则

P（A）==， 所以P（A）-=-=.

当x=y时，P（A）=，甲获胜的概率恰为，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，P（A）>，甲获胜的概率超过，这个游戏规则不公平.

法3：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有C·C=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记乙获胜为事件B，则

P（B）==，所以P（B）-=-=-.

当x=y时，P（B）=，乙获胜的概率恰为，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，P（B）<，乙获胜的概率小于，这个游戏规则不公平.

本考点主要考查离散型随机变量及其分布列，考查离散型随机变量的均值（数学期望 ）与方差，但抽样方法、样本数字特征、频率直方图、计数原理等都可融入这类试题中，因此试题的综合性较强.试题一般以实际问题为背景，读懂题目，理解实际问题中蕴涵的数学意义是解题的关键，准确规范表达也是十分重要的.

抽样方法与总体分布的估计

（★★★★★）必做7 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.

参考公式： 方差s2=[（x1-） 2+（x2-）2+…+（xn-）2]，其中=.

[甲][乙][5 x 0 8 1 1 y][ 8 9 7 6][ 6 2 9 1 1 6] [图3]

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问结合茎叶图利用平均数和中位数这两个概念可求出x和y的值. 第（2）问考查方差的计算公式. 对于第（3）问，先求得两个班中90分以上的学生数，注意“至少”条件的要求，概率求解可用“列举法”，也可用“间接法”.

精妙解法 （1）因为甲班学生的平均分是85，

所以=85，解得x=5.

因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y=3.

（2）甲班7位学生成绩的方差为

s2=[（-6）2+（-7）2+（-5）2+02+02+72+112]=40.

（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B；

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）.

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）.

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则P（M）=.

所以甲班至少有一名学生的概率为.

极速突击 求解统计问题要善于形（直方图、茎叶图等）数（平均数、方差）结合；要注意频数、频率、概率，众数、中位数等概念的区分，还应明白概率统计是应用数学，常与其他数学知识相结合突出其应用性，尽管考题不难，仍要在阅读理解上多下文章.

（★★★★）必做8 某校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图4是按成绩分组得到的频率分布直方图的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3∶2∶1.

[] [O] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][成绩][图4]

（1）请完成频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.

[牛刀小试]

破解思路 （1）由各组的频数之比可求出各组相应的频数，进而求出频率，完成直方图即可. （2）利用分层抽样的概念解题. （3）先求基本事件总的个数，再求满足条件的基本事件的个数，即可得到相应概率.

精妙解法 （1）由题意知第1、2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35. 故第3、4、5组的频数之和为：100-5-35=60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如图5.

[O] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][][成绩][图5]

（2）由第3、4、5组共60人，用分层抽样抽取6人. 故第3、4、5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人.

（3）由（2）知共有6人（记为A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4组有2人（记为B1，B2）. 有题意可知：抽取两人作为一组共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共15种等可能的情况，而满足题意的情况有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为=.

（★★★★★）必做9 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.

[分数（分数段）＼&频数（人数）＼&频率＼&[60，70）＼&9＼&x＼&[70，80）＼&y＼&0.38＼&[80，90）＼&16＼&0.32＼&[90，100）＼&z＼&s＼&合 计＼&p＼&1＼&]

（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；

（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序. 已知高一（二）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②记高一（二）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望.

[牛刀小试]

破解思路 本题是一道概率与统计相结合的好题.第（1）小题首先要读懂表格的意义，利用概念求频数、频率、概率等. 第（2）小题第①问是关键，它是“有序”的排列问题，应把“甲不在第一位、乙不在最后一位”分类为“甲在最后一位与不在最后一位”两种情况来考虑，才不会重漏.第②问进入前三名的人数应在频数为[90，100）中寻求，可根据第①问的思路分类求分布列.

精妙解法 （1）由题意， p==50，x==0.18，y=50×0.38=19，z=50-9-16-19=6，s==0.12 .

（2）由（1）知，参加决赛的选手共6人.

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，则P（A）==另解：P（A）=1-

=

，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为.

②随机变量X的可能取值为0，1，2，

则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==.

所以，随机变量X的分布列为：

[X＼&0＼&1＼&2＼&P＼&＼&＼&＼&]

因为EX=0×+1×+2×=1，所以随机变量X的数学期望为1.

本考点以实际问题为背景，考查频率分布直方图、茎叶图和用样本的数字特征估计总体的数字特征.要读懂表格的意义，利用概念求频数、频率、概率等，进而作出直方图；要弄清茎叶图中“茎”和“叶”分别代表什么；要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.

回归分析与独立性检验

（★★★★★）必做10 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

[频月收入

（单位百元）＼&频数＼&赞成人数＼&[15，25）＼&5＼&4＼&[25，35）＼&10＼&8＼&[35，45）＼&15＼&12＼&[45，55）＼&10＼&5＼&[55，65）＼&5＼&2＼&[65，75）＼&5＼&1＼&]

（1）由以上统计数据完成下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

[＼&月收入不低于55百元的人数＼&月收入低于55百元的人数＼&合计＼&赞成＼&a=＼&c=＼&＼&不赞成＼&b=＼&d=＼&＼&合计＼&＼&＼&＼&]

（2）若在[15，25），[25，35）被调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.

附：K2=.[P（K2≥k）＼&0.15＼&0.10＼&0.05＼&0.01＼&k＼&2.072＼&2.706＼&3.841＼&6.635＼&]

[牛刀小试]

破解思路 本题背景为当今热点问题.第（1）问考查独立性检验的方法，应先从频数分布表准确求得两组不同类变量值，代入公式计算K2，并与临界表的数进行比较判断. 第（2）问考查离散型随机量的分布列，难点在分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件解决，因为抽取是“无序”的，可通过组合数的运算完成此小题.

精妙解法 （1）2×2列联表如下：

[＼&月收入不低于55百元的人数＼&月收入低于55百元的人数＼&合计＼&赞成＼&a=3＼&c=29＼&32＼&不赞成＼&b=7＼&d=11＼&18＼&合计＼&10＼&40＼&50＼&]

K2==6.27<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.

（2）ξ所有可能取值有0，1，2，3，

P（ξ=0）=·=×=，

P（ξ=1）=·+·=×+×=，

P（ξ=2）=·+·=×+×=，

P（ξ=3）=·=×=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&0＼&1＼&2＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&＼&]

本部分内容是新课标数学的新增内容，主要考查线性回归分析和独立性检验的统计方法.

一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验.在画出散点图并确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程；由部分数据得到的回归直线，再对两个变量间的线性相关关系进行估计.

独立性检验的基本思想类似于反证明法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，则在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理.