2013年高考数学必做解答题——立体几何

空间的平行关系

（★★★）必做1 如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2，在线段PD上是否存在一点E，使得MN//平面ACE？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.

[A][B][M][C][D][N][P][图1]

[牛刀小试]

破解思路 欲找一个平面，使直线与这个平面平行，要用到直线与平面平行的判定定理；另外，从做几何题的经验来看，给出“中点”的条件，解题时往往会用到（或借助到）另外相关的中点；对于在不确定的条件下（如这里的菱形就是不确定的），我们应该避免使用解析法（建立空间直角坐标系）做题.

[A][B][M][C][D][N][P][E][图2]

精妙解法 如图，取PD的中点E， 连结NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE[=][∥]AD.又在菱形ABCD中，CM[=][∥]AD，所以NE [=][∥]MC，即MCEN是平行四边形，所以NM∥EC. 又EC?平面ACE，NM?平面ACE，所以MN∥平面ACE. 所以在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=PD=.

极速突击 本题属于数学开放性问题中的存在性问题，存在性问题的一般处理方法都是先假设结论成立，由此及条件进行推证，若能推证，则假设为真；若导出矛盾，则假设不真.

（★★★★）必做2 在长方体ABCD-ABCD中，O为底面正方形的中心，过A，C，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图3所示的几何体ABCD-ACD，求证：DO∥平面ABC.

[D1][C1][A1][D][O][A][B][C] [图3]

[牛刀小试] 破解思路 解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，或转化为证两个平面平行.

精妙解法 法1：取AC中点P，连结DP，OB，PB，则DP [=][∥]OB，所以四边形OBPD为平行四边形，所以DO∥PB，且DO?平面ABC，PB?平面ABC，所以DO∥平面ABC.

法2：连结AC，AD，DC，易知点O在AC上. 根据长方体的性质得四边形ABCD、四边形ADCB均为平行四边形，所以AD∥BC，AB∥DC. 又AD?平面ACB，BC?平面ACB，所以AD∥平面ACB，同理DC∥平面ABC. 又DC∩AD=D，所以根据面面平行的判定定理知平面ACD∥平面ABC. 因为DO?平面ACD，所以DO∥平面ABC.

极速突击 立体几何中的平行主要是直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行，在这三个平行中，直线与平面平行是基础，也是考试的重点，除了解析法外，通法是寻找直线在平面内的平行线（直线与平面平行的判定定理）.

证明线面平行，有以下几种方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.

证明面面平行，有以下几种方法：①利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再推导出矛盾；②利用判定定理“一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行”；③利用“垂直于同一直线的两个平面平行”，即“a⊥α，a⊥β，则α∥β”；④利用“平行于同一个平面的两个平面平行”，即“α∥β，α∥γ?β∥γ”.

空间的垂直关系

（★★★★）必做3 如图6，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径为9.

[图6][A][E][D][O][C][B]

（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；

（2）求二面角D-BC-E的平面角的正切值.

[牛刀小试]

破解思路 要判断平面与平面垂直，通法（也是主要方法）是判断平面内的一条直线垂直于另一个平面. 在高考中，解答题的第（1）小题的结论往往对第（2）小题有启发或利用的价值. 该题给出的是一个确定的几何体，因此，建立空间直角坐标系使用向量法（解析法）也是可行的方法，难度在于如何建立空间直角坐标系.

精妙解法 （1）因为AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，所以AE⊥CD.

在正方形ABCD中，CD⊥AD，因为AD∩AE=A，所以CD⊥平面ADE. 因为CD?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE.

（2）法1：因为CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，所以CD⊥DE.

[A][E][D][O][C][B][F][G][图7]

所以CE为圆O的直径，即CE=9. 设正方形ABCD的边长为a，在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2.

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9，

由81-a2=a2-9，解得a=3.

所以DE==6.

过点E作EF⊥AD于F，作FG∥AB交BC于点G，连结GE.

由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，所以EF⊥AB. 因为AD∩AB=A，

所以EF⊥平面ABCD. 因为BC?平面ABCD，所以BC⊥EF. 因为BC⊥FG，EF∩FG=F，所以BC⊥平面EFG. 因为EG?平面EFG，所以BC⊥EG. 所以∠FGE是二面角D-BC-E的平面角.

在Rt△ADE中，AD=3，AE=3，DE=6，因为AD·EF=AE·DE，所以EF===.

在Rt△EFG中，FG=AB=3，所以tan∠EGF==. 故二面角D-BC-E的平面角的正切值为.

法2：因为CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，所以CD⊥DE，所以CE为圆O的直径，即CE=9.

设正方形ABCD的边长为a，在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2；

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9，由81-a2=a2-9，解得a=3.

所以DE==6.

以D为坐标原点，分别以ED，CD所在的直线为x轴、y轴建立如图8所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（-6，0，0），C（0，-3，0），A（-6，0，3），B（-6，-3，3）.

[图8][A][E][D][O][C][B][y][z][x]

设平面ABCD的法向量为n1=（x1，y1，z1），则n1·

=0，

n1·

=0，即6x1-3z1=0，

-3

y1=0.取x1=1，则n1=（1，0，2）是平面ABCD的一个法向量.

设平面BCE的法向量为n2=（x2，y2，z2），根据已知可得n2·

=0，

n2·

=0，即-3

y2+3z2=0，

6x2-3

y2=0.取x=，则n2=（，2，2）是平面BCE的一个法向量.

因为cos〈n1，n2〉===，所以sin〈n1，n2〉=. 所以tan〈n1，n2〉=. 故二面角D-BC-E的平面角的正切值为.

极速突击 面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题来加以解决.当然，也可用向量法解决，只要能证明两平面的法向量相互垂直，便能得到面面垂直.

求二面角可采用两种方法求解：一是“几何法”，可按照“一找、二证、三算”的步骤进行；二是“向量法”，先建立空间直角坐标系，求解两个半平面的法向量，再求这两个法向量夹角的余弦值，然后判断所求二面角是钝角还是锐角，最后进行符号的选择.

误点警示 “二面角的平面角”与“两个半平面的法向量所成角”并不一定相等，它们可能相等也可能互补，应注意甄别.

（★★★★）必做4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.

（1）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；

（3）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

[图9][D][O][B][A][C][P]

[牛刀小试]

破解思路 要判断直线与平面垂直，通法是寻找平面内两条相交的直线与已知直线垂直；证明线段相等的基本方法是寻找含有这两条线段的两个三角形全等，如果这两条线段在同一个三角形中，则证明这个三角形是等腰三角形；证明线段或点的存在性问题是高考的热点之一，解析法是通法，但不局限于此，也可考虑使用特殊点或线段的方法，或者依靠反证法，如本题.

精妙解法 （1）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 因为AC⊥PD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD.

（2）已知AC⊥BD， 因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因为PO?平面PAC，所以 BD⊥PO.

[图10][D][O][B][A][C][P][M]

因为底面ABCD是菱形，所以 BO=DO. 所以PB=PD.

（3）不存在. 下面用反证法说明.

假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.

在菱形ABCD中，BC∥AD，

因为AD?平面PAD，BC?平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

因为BM?平面PBC，BC?平面PBC，

BC∩BM=B，所以平面PBC∥平面PAD.

而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.

极速突击 证线线垂直，一方面我们可以利用三垂线定理及其逆定理，另一方面可以利用线面垂直、线线垂直进行互相转化. 在立体几何中，采用反证法证明一个结论的例子不多，但我们要学会使用，尤其对于那些探问形式的试题或者否定命题形式的问题.这里诱导我们想到反证法的一个基础是“BC∥平面PAD”，这个条件是显然的.

解决涉及空间垂直的题目时，我们须熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的相互转化关系，即线线垂直?线面垂直?面面垂直.其中，线线垂直是判定线面垂直的基础，也是通法；线面垂直是判定面面垂直的基础，亦是通法.

空间的夹角和距离

（★★★★）必做5 如图11，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°.

（1）若异面直线AB与BC所成的角为60°，求棱柱的高h；

（2）设D是BB的中点，DC与平面ABC所成的角为θ，当棱柱的高h变化时，求sinθ的最大值.

[A][B][D][C][C1][A1][B1][图11]

[牛刀小试]

破解思路 求解或使用异面直线的夹角，用定义方法（平行移动一条或两条直线相交产生夹角）是通法，但如果建立空间坐标系比较方便时，使用向量的方法也是通法. 第（2）题，显然是要建立函数关系式，这样，解析法是首选方法.

精妙解法 以A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，h），B（1，0，h），C（0，1，h）.

（1）因为异面直线AB与BC所成的角为60°，所以cos60°=，

即=，得=，解得h=1.

（2）由D是BB的中点，可得D1，0，

，于是=-1，1，

.

设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），于是由n⊥，n⊥，可得

n

·=0，

n

·=0， 即x-hz=0，

y=0， 可取n=（h，0，1），

于是sinθ=

cos〈，n〉

===.

由此，可令f（h）==，

因为h2++9≥2+9，当且仅当h2=，即h2=时，等号成立.

所以可知f（h）≤==，

故当h2=时，sinθ的最大值为.

极速突击 这个试题如果从几何来看有运动变化的背景（高h发生变化），而要求的目标是sinθ最大值时的状态情况，在这几何背景下，h与sinθ很难发生直接的（函数）关系，如何寻找这种事实上存在的函数关系呢？空间直角坐标系与向量是我们可以利用的最好的工具.

误点警示 在高考试题中，几何（包括解析几何、立体几何）里求最值等问题一般是用代数中最常见的方法求，可不要走得太远哦.

（★★★★）必做6 如图12，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1.

（1）证明：EM⊥BF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

[图12][A][B][C][O][M][F][E]

[牛刀小试]

破解思路 该几何体里的点和线段都是确定的，而且存在两两垂直的直线，所以首先考虑使用解析法（向量法）.

精妙解法 （1）易知AM=3，BM=.

如图13，以A为坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC，AE所在的直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由已知条件得A（0，0，0），M（0，3，0），E（0，0，3），B（，3，0），F（0，4，1）.

因为=（0，-3，3），=（-，1，1）.

由·=（0，-3，3）·（-，1，1）=0，

得⊥，所以EM⊥BF.

（2）由（1）知=（-，-3，3），=（-，1，1）.

设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），

由n·=0，n·=0可得-

x-3y+3z=0，

-

x+y+z=0.

令x=得y=1，z=2，所以n=（，1，2）.

由已知EA⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量为=（0，0，3）.

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

则cosθ=

cos〈n，〉

==，

所以平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.

极速突击 立体几何中的计算问题（空间角与距离）若用几何法来处理，则必须体现“一作、二证、三算”这一固定格式.