2013年高考数学必做解答题——解析几何

廖如舟

利用函数思想破解解析几何问题

（★★★★★）必做1 定义离心率e=的椭圆为“黄金椭圆”，已知F（-1，0），F（1，0）分别为椭圆Ω的左、右焦点，过F的直线与椭圆交于A，B两点，且+=2 .

（1）求证：椭圆Ω为“黄金椭圆”；

（2）求△ABF面积的最大值.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问即证椭圆Ω的e=，可以直接利用题目中的关系得到，但是有一定的运算量，若知道极坐标方程，则可迅速解决.同时这也是圆锥曲线中的一个定点定值问题，即+是一个定值. 第（2）问将面积用函数表示出来，利用处理函数最值的方法进一步求解.

精妙解法 法1：（1）设椭圆Ω的方程为+=1（a>b>0），c=1，且设A（x，y），B（x，y）.

所以

AF=ex+a，

BF=ex+a，代入+=2得a（x+x+2a2）=2[xx+a2（x+x）+a4]（*）.

当AB⊥x轴时，x=x=-1，代入（*）得（a2-1）（a2-a-1）=0，故a=.

当AB不垂直x轴时，由b2x2+a2y2=a2b2与直线y=k（x+1）联立得：

（a2k2+b2）x2+2a2k2x+a2k2-a2b2=0，从而x+x=，xx=，代入（*）得（k2+1）（a2-1）（a2-a-1）=0，故a=.

综上：a=，从而e==，即椭圆Ω为“黄金椭圆”.

法2：椭圆的极坐标方程为ρ=（P为焦准距）（以F为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，用椭圆的第二定义即可推出），设A（ρ，θ），B（ρ，θ+π）.

则ρ=，ρ=，故+=，所以eP=1，故a2-a-1=0，得a=，从而e=，即椭圆Ω为“黄金椭圆”.

（2）设直线AB：x=my-1，与椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2联立得（a2+b2m2）y2-2b2my+b2-a2b2=0.

S=·2c

y

-y=

y

-y==.

设f（t）=（t≥0），而f ′（t）=<0，故f（t）=f（0）=，所以S的最大值为=2.

极速突击 此类题目是过焦点的弦与椭圆相交的问题，焦点弦本身具有很多性质，同学们在学习时要多加积累，注重用基本方法进行计算，最值问题转化为函数问题的研究，从而使问题得以突破.

误点警示 （1）有的同学容易在第（1）问的解答中，采用特殊位置求解，作为解答题，本题更需一般化；（2）对于最值问题的处理，手段单一，运算不过关极易导致错误；（3）极坐标参数方式虽是选修模块的内容，但笔者认为这是在圆锥曲线中必须补充的一块零界性内容，用它可以更好地处理有关线段长度和角度结合的问题.

（★★★★★）必做2 已知椭圆C：+=1，过点P

，

-而不过点Q

，1的动直线l交椭圆C于A，B两点.

（1）求∠AQB；

（2）记△QAB的面积为S，证明：S<3.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问中，设出A，B两点的坐标，利用向量，的数量积求出其夹角，即为∠AQB，但是要注意直线l的斜率不存在的情况. 第（2）问中，结合分类讨论的思想，将△QAB的面积用函数表示出来，可以结合函数导数、不等式、放缩法等处理最值或者取值范围问题.

精妙解法 （1）若直线l的斜率不存在，则l：x=，易得A，B两点的坐标为

，

±，∠AQB=90°.

若直线l的斜率存在，设它的方程为y=kx+b，因为点P在直线l上，所以 -=k+b，故b=-（k+1）.

联立直线l和椭圆C的方程，消去y，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0.

设A（x，y），B（x，y），则x+x= -，xx=，

y+y=k（x+x）+2b=-+2b=，

y·y=（kx+b）（kx+b）=k2xx+kb·（x+x）+b2

=k2·+kb·

-+b2=.

由=（x-，y-1），=（x-，y-1），

得·=（x-，y-1）·（x-，y-1）

=（x-）（x-）+（y-1）（y-1）

=xx-（x+x）+2+yy-（y+y）+1

=-·

-+2+-+1

=[3b2+2k2+2b（2k-1）-1]

=

（

k+1）2+2k2-

（

k+1）·（

2k-1）-1=0.

所以⊥，显然A，Q，B三点互不相同，所以∠AQB=90°.

因此，∠AQB=90°.

（2）由（1）知∠AQB=90°，所以△QAB是直角三角形.

如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为S=2<3.

如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为y=m（x-）+1，代入椭圆C的方程，消去y，得（2m2+1）x2-4m（m-1）x+2（m-1）2-4=0.

由已知可得

QA

=·=·.

同理可得

QB

=·=·.

于是，△QAB的面积为

S=

QA

·

QB

=····

=4··（m2+1）

= 4·（m2+1）·

= 4·.

令=cosθ，=sinθ，则S=4·.

注意到

cosθ

+sinθ=·

sin（θ+φ）

≤=，2+sin2θ≥2，且等号不能同时取得，所以S<4·=3. 得证.

对于解析几何中的最值和范围问题，一般可用建立目标函数的方法解决之.若能把所求参数表示成某一个变量的函数，则问题就可归为求这个函数的最值（或值域）.

解析几何中的定值问题，所涉及的量“照理”应是一个变量，即这个量应随某一个量的变化而变化，若它真的是一个定值，则它“恰巧”与这个量的变化无关；所以我们只须“装腔作势”地把它表示成关于这个变量的函数，化简以后必可得这个函数为常数，从而问题也得到解决.

利用方程思想破解解析几何问题

（★★★★★）必做3 已知曲线C是以原点O为中心，F，F为左、右焦点的椭圆，曲线C是以O为顶点、F为焦点的抛物线，A是曲线C和曲线C的交点且∠AFF为钝角，若

AF=，

AF=.

（1）求曲线C和C所在的椭圆和抛物线的方程.

（2）过F作一条与x轴不垂直的直线l，与曲线C交于点B，E，与曲线C交于点C，D，若G为CD的中点，H为BE的中点，那么是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 根据椭圆和抛物线的定义结合图象得到曲线方程，注意∠AFF为钝角这个条件.对于解析几何中的探索性问题，我们可以用特殊位置尝试是否为定值，以及该定值为多少，以确定证明的方向，将线段的长度用弦长公式表示出来，注意式子中分子、分母的“齐次”性，以便方程联立，将韦达定理代入化简.

精妙解法 （1）由

AF+

AF=+=6，即有2a=6，解得a=3.

设A（x，y），F（-c，0），F（c，0），则有

AF=，即（x+c）2+y2=

2①.

同理，由

AF=，得（x-c）2+y2=

2②.

则由①-②可得：xc=③，而由抛物线的定义可知：

AF=x+c=④.

由③④可解得x=1，

c=或

x=，

c=1， 但∠AFF是钝角，故

x=，

c=1.

所以所求的椭圆方程为+=1，抛物线方程为y2=4x.

（2）设B（x，y），E（x，y），C（x，y），D（x，y），直线方程为y=k（x-1）且k≠0.

由y=k（x-1），

+

=1消去x整理可得：（9k2+8）y2+16ky-64k2=0，

所以，由韦达定理可得：y+y= -，yy=.

由y=k（x-1），

y2=4x消去x整理可得：ky2-4y-4k=0，

所以，由韦达定理可得：y+y=，y3y4=-4.

=====3， 故=3，即定值为3.

另解：由已知可得

GF =

CF -CG =（

x+1）

-=

，

且

HF =

BF

-BE =

3-

x -=

·.

将以上各值代入得==3.

（★★★★★）必做4 已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，·=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足△ABP为正三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 解析几何是用代数的方法解决几何问题，处处体现函数方程思想，本题第（1）问直接利用相应关系求解即可. 在处理△ABP为正三角形时，注意转化与化归，将“角度”与“长度”有效结合，建立方程求解，利用方程的解的个数来反映直线的条数. 同时直线与方程联立，将韦达定理与“长度”方程有效结合起来是解决本题的关键，但是注意别忽视斜率不存在的情况. 另外，在练习时也可以将“等边三角形”变为“等腰三角形”.

精妙解法 （1）设椭圆C的方程为：+=1（a>b>0），则a2-b2=1①.

因为当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是1

，和1，

-，

所以·=1，

·1，-

=1-，则1-=，即a2=6b4 ②.

由①②消去a，得6b4-b2-1=0，所以b2=或b2=-（舍去）.

当b2=时，a2=. 因此，椭圆C的方程为+2y2=1.

（2）设存在满足条件的直线l.

①当直线l垂直于x轴时，由（1）的解答可知AB==，焦点F到右准线的距离为d=-c=，此时不满足d=AB. 因此，当直线l垂直于x轴时不满足.

②当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）.

联立y=k（x-1），

+2y2=1?（6k2+2）x2-12k2x+6k2-3=0.

设A，B两点的坐标分别为（x，y）和（x，y），则x+x=，xx=.

由此可得AB=

x

-x=

==.

又设AB的中点为M，则x==.

当△ABP为正三角形时，直线MP的斜率为k=-，因为x=，

所以MP=

x

-x=·

-

=·.

当△ABP为正三角形时，MP=AB，即·=·，解得k2=1，k=±1.

因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

对定值问题的解题步骤可归纳为：一选，二求，三定值.具体操作程序如下：一选，选择参变量.需要证明为定值的量“照理”应该是变量，它应该随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（有时可选择两个参变量，然后由其他辅助条件消去其中一个）.二求，求出目标函数或目标方程，把需要证明为定值的量表示成关于上述参变量的函数或方程.三定值：化简函数解析式或求解相关方程得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无关，故求出的函数必为常数函数，所以只需对上述函数的解析式进行必要的化简即可得到定值，如必做3.

利用不等式知识破解解析几何问题

（★★★★）必做5 已知直线l：x-my-=0，椭圆C：+y2=1（m>1）.

（1）是否存在实数m，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且AB=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆内，求m的取值范围.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问利用弦长公式建立方程求m.第（2）问原点O在以线段AB为直径的圆内转化为代数关系式·<0，由此求m的取值范围.

精妙解法 （1）联立l：x-my-=0与C：+y2=1（m>1）整理得：

2y2+my+-1=0，Δ=m2-4×2·

-1=8-m2>0，所以1

y

-y==，解得：m2=3或m2=4.

又1

（2）原点O在以线段AB为直径的圆内等价于·<0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2<0. 由（1）知1

my

+

my

+=m2yy+（y+y）+，所以x1x2+y1y2=（m2+1）

-

+-

+<0. 故m2<4，由（1）知：1

（★★★★★）必做6 已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F，F的距离之和为定值，且cos∠FPF的最小值为-.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上且=λ，求实数λ的取值范围.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问利用椭圆中的焦点三角形的边角关系，利用余弦定理，建立不等式求解. 第（2）问由向量之间的联系，找到对应点坐标之间的关系，得出λ与k的等量关系，由k的取值范围，建立不等式求出λ的取值范围.

精妙解法 （1）双曲线的焦点的坐标为F（-，0），F（，0），则有

F

F=2，设

PF+

PF=2a.

在△F1PF2中，可得cos∠FPF=

=-1.

由cos∠FPF有最小值，故4a2-20>0，而

PF

PF≤2=a2.

故有cos∠FPF≥-1= -，解得a2=9.

故点P的轨迹是以F，F为焦点，长轴长为6的椭圆，a2=9，c=，b2=4，故椭圆方程为+=1.

（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+3，M（x，y），N（x，y），

则由y=kx+3，

4x2+9y2=36消去y可得：（9k2+4）x2+54kx+45=0.

由Δ=b2-4ac=（54k）2-4×45（9k2+4）>0，解得：k2 >.

又x+x=，xx=，=λ，则有

x=λ

x，

y-3=λ（

y-3），

所以x+x=（λ+1）x，xx=λx，即xx=·

2=，整理可得：=+9.

因为k2>，所以0<<，所以9<+9<.

所以9<<，即<λ<5且λ≠1.

而当直线的斜率不存在时，λ=或λ=5.

综上所述，λ∈

，1∪（1，5].

极速突击 解决此类问题的关键在于找到题目中存在的不等关系求出取值范围，一般根据方程联立有解得Δ≥0，以及题目中给定的条件. 在解析几何中，几何的关系是最为直接的，要善于发现其中的联系.同时要真正掌握变量消参的思想，使得在变量较多的情况下，清晰转化.

圆与圆锥曲线的综合

（★★★★★）必做7 如图1，已知椭圆C：+y2=1（a>1）的右焦点为F（c，0）（c>1），点P是圆O：x2+y2=1上任意一点（点P在第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于Q，R两点.

[O][P][R][F][x][y][Q][图1]

（1）证明：PQ+FQ=a；

（2）若椭圆离心率为，求线段QR长度的最大值.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问利用直线QR为圆的切线，则OP⊥QR结合焦半径公式证明PQ+FQ=a. 第（2）问是圆锥曲线中的线段最值问题，利用不等式解决.

精妙解法 （1）设Q（x，y）（x>0），得

FQ

=a-ex，由PQ是圆x2+y2=1的切线，

可得

PQ

==，注意到+y=1，

所以PQ===ex，所以

PQ

+

FQ

=a.

（2）由题意，e==，所以a=2.

设直线QR的方程为y=kx+m，因为点P在第一象限，所以k<0，m>0.由直线QR与圆O相切，所以=1，所以m2=k2+1.

由y=kx+m，

+y2=1 消y可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0. 设Q（x，y），R（x，y），则x+x=-.

由（1）知，PR=ex，所以QR=e

x

+x=-

=4·=4·.

因为m2+3k2≥2mk，所以QR≤4·=2 .

当且仅当m=-k时，QR取最大值2，此时直线QR的方程为y=k（x-）.

另解：由（1）同理可求

PR

+

FR

=a=2，则QR+QF+FR=4，

QR≤QF+FR，2QR≤QR+QF+FR=4，所以QR≤2，

当且仅当直线QR过焦点F时等号成立，从而QR=2.

（★★★★★）必做8 设椭圆E：+=1（a>b>0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 对于第（2）问，可以先通过特殊情况（切线斜率不存在时）将圆的方程解出，此时可得切线与圆的交点分别为（r，r），（r，-r），即为A，B两点，然后迅速解出r2=，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：切线与椭圆有两个交点A，B，使⊥. 这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”.这种做法的优势在于“早早明确了目标”.

精妙解法 （1）因为椭圆E：+=1（a>b>0）过M（2，），N（，1）两点，所以

+

=1，

+

=1，解得

=，

=，所以a2=8，

b2=4，椭圆E的方程为+=1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x，y），B（x，y），且⊥. 设该圆的切线方程为y=kx+m，联立可得y=kx+m，

+

=1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则x+x= -，xx=.

Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

yy=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km·（x1+x2）+m2=k2·-+m2=.

要使⊥，需使x1x2+yy=0，即+=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，

3m2≥8，所以m2≥，即m≥或m≤-.

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===，r=，所求的圆为x2+y2=，此时圆的切线y=kx+m都满足⊥.

而当切线的斜率不存在时，切线x=±与椭圆+=1的两个交点为

，

±或

-，

±，满足⊥.

综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥.

所以（x-x）2=（x+x）2-4xx=

-2-4·=，所以AB==.

当k≠0时，由此可得AB=，因为4k2++4≥8，所以0<≤，所以<

1+≤12，

所以

当k=0时，AB=.

当切线的斜率不存在时，切线与椭圆的两个交点为

，

±或

-，±

，所以此时AB=.

综上，AB的取值范围为≤AB≤2，即AB∈

，

2.

极速突击 本题属于探究型问题，主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数的关系. 此题充分说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是“代数方法（坐标）研究几何问题的载体”！两者在高考中是有明确体现的，用“圆”来考“数形结合”，椭圆来考“方程运算”.