第七类：解析几何

圆锥曲线的基本性质

（★★★★）必做1 给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”. 若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为.

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N.

①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；

②求证：

MN

为定值.

[牛刀小试]

精妙解法 （1）因为c=，a=，所以b=1， 所以椭圆的方程为+y2=1，准圆的方程为x2+y2=4 .

（2）①因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2）， 设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，

所以y=kx+2，

+y2=1，消去y 得到（1+3k2）x2+12kx+9=0.

因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以Δ=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1.

所以l1，l2的方程为y=x+2，y=-x+2.

②a. 当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=或x=-，

当l1的方程为x=时，此时l1与准圆交于点（，1），（，-1），

此时经过点（，1）（或（，-1））且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），即l2为y=1（或y=-1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1的方程为x=-时，直线l1，l2垂直.

b. 当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=4，

设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x0）+y0，

则y=tx+（y0-tx0），

+y2=1，消去y得到x2+3（tx+（y0-tx0））2-3=0，

即（1+3t2）x2+6t（y0-tx0）x+3（y0-tx0）2 -3=0，

Δ=[6t（y0-tx0）]2-4·（1+3t2）[3（y0-tx0）2-3]=0，

化简得（3-x）t2+2x0y0t+1-y=0.

因为x+y=4，所以有（3-x）t2+2x0y0t+（x-3）=0，

设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，

所以t1，t2满足上述方程（3-x）t2+2x0y0t+（x-3）=0，

所以t1·t2=-1，即l1，l2垂直.

综上知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直.

所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以

MN

=4.