线性代数应用重要性前提下的数学建模应用

贺江华 张玉忠

【摘要】掌握线性代数应用重要性前提下的数学建模应用的精髓和要点，可以激发学生的兴趣，培养学生观察、分析以及推理能力，培养学生的逻辑思维能力，进一步增强学生的创新能力，进而促进学生整体素质的提高，为国家培养出更多的实用型人才.

【关键词】线性代数；数学建模；逻辑；素质オ

线性代数是高等数学教学中极为重要的基础课之一，如何更好地指导学生顺利入门，掌握线性代数应用重要性前提下的数学建模应用的精髓和要点，并善于将数学建模应用于线性代数的学习中，使学生可以通过学习提高数学素养，已成为目前教学改革的主要方向.

一、数学建模引入数学线性代数教学的现实意义

数学知识已直接应用于工程技术、经济文化、医药卫生、环境保护等领域，几乎渗透到各个领域和学科之中.数学建模是一个培养学生用数学符号和数学语言把实际问题表述为数学模型，进而解决数学实际问题的第一步，并贯穿于解决问题的全过程之中.它将抽象的实际问题进行简化，然后假设明确变量与参数，多问题作出数值的解，进而形成明确的数学框架，为学生深入分析实际问题奠定了基础.

数学建模的实例具有深层次的背景.将数学建模引入线性代数教学是解决目前高等数学教学存在问题的有效途径.在线性代数应用重要性前提下进行的数学建模应用，可以激发学生学习数学的兴趣，调动学生运用数学知识分析、解决实际问题的主观能动性，使学生真正认识线性代数的实用价值.同时，在线性代数应用重要性前提下进行的数学建模应用也更新了教师的教学观念，使教师逐渐形成以学生为主体、以解决问题为线索的新的教学模式，达到了传统教学无法达到的效果.

二、数学建模在线性代数中应用实例

（一）动物数量的按年龄段预测问题

某一养殖场养殖的某种动物所能存活的最大年龄为30岁，我们把这种动物的生长周期分成三个年龄组：0～10岁为第一组；11～20岁为第二组；21～30岁为第三组.

这种动物从第二年龄组起开始繁育后代，经过长时间的数据统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3，第一组和第二组能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1[]4与1[]2.假设该养殖场现有三个年龄段的动物各100只，问：20年后，该养殖场三个年龄段的动物各有多少头？因为某一时间周期第二和第三年龄组是由上一时间周期上一年龄组存活下来的动物，所以有：

因此有：

由此得出：20年后，该养殖场的动物总数为16625只，其中第一年龄组的动物有14375只；第二年龄组的动物有1375只；第三年龄组的动物有875只.20年间，动物总增长13625（16625-3000=13625）只.

（二）企业投入产出分析模型

某一城市有一个发电站、一个煤矿以及一条铁路.开采价值为1元的煤，厂方要支付0.24元的电费及0.24元的运输费.生产价值1元的电力，厂家要支付0.75元的煤费，0.1元的电费及0.1元的运输费.创收1元的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到金额为5万元的订单，发电厂接到金额为2.5万元的订单，外界对地方铁路没有需求.请问:这三个企业在7天之内总产值多少才能满足自身发展需要?

建立模型：设X1为煤矿7天的总产值，X2为电厂7天的总产值，X3为铁路7天的总产值，则：

矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组可化为X-AX=Y，即：（E-A）X=Y.计算求解，按上式解方程组可得产出向量X.

三、结论与反思

线性代数应用重要性前提下的数学建模应用，可以激发学生的兴趣，培养学生观察、分析以及推理能力，使学生养成良好的分析与解决问题的习惯，为日后的工作奠定基础.因此，在教学中教师应当合理地渗入建模思想，培养学生的逻辑思维能力，进一步增强学生的创新能力，进而促进学生整体素质的提高，为国家培养出更多的实用型人才.

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［1］王树禾.数学模型基础［M］.北京：中国科学技术大学出版社，2009.

［2］王秀琴.数学建模方法融入线性代数教学［J］.工程数学学报，2010(5).

［3］桂改花.数学建模思想在线性代数教学中的应用［J］.科技创新，2009(3).