极限与连续的数学问题 及技校极限与连续数学概念分层教学

冯军

引 言

目前，大多数技校学生的数学基础较差，学习数学的兴趣与积极性不高，甚至出现厌学现象.如果技校的数学教学不改变方法，仍然采用“千人一面、千篇一律”的教学方式，就会使得学生更加害怕数学学习，导致技校教师难以完成数学教学任务.因此，数学教学中亟需新的合理的教学方法.采用分层教学法能够根据学生的特点与基础水平，做到因材施教.本文分析了极限与连续中的“3x+1问题”，对分层教学在极限与连续教学中的运用方法进行探究.

1.极限与连续概述

极限概念是高等数学的理论基础，函数在某一点处的极限概念、函数在某一点处的可导概念、导数的几何意义、函数的连续性概念以及右连续、左连续等均是数学中极限与连续所涉及的基本概念.极限的推导与求法有很多，通常使用的五种求极限的方法是：（1）采用极限四则运算法求极限；（2）采用等价无穷小量求极限；（3）采用无穷小量的性质求极限；（4）采用罗比达法则求极限；（5）采用两个重要极限求极限.

2.“3x+1问题”和量的极限性

数学中的“3x+1问题”又称之为西拉古斯猜想，是在上世纪中期被提出来的，角谷静夫将其引入日本后被称之为角谷猜想，在学术上还有其他的名称，例如哈斯算法问题、乌拉姆问题、克拉玆问题等.任取一个正整数后，如果是奇数，就乘以三再加一；如果是偶数，就把它除以二，这种变换就是“3x+1问题”.经过这种法则变换可以取得一个新的正整数，反复进行法则变换可以取得一个新的正整数列，或迟或早该正整数列将会归为4→2→1的循环中，最终得到1.同余逻辑路径法证明了此猜想能够成立.“3x+1问题”的运算法则蕴含着事物量关系的可分性与衍生性，揭示出无限可展的世界是按照逻辑路径展开的.“3x+1问题”蕴含着中国古代哲学中的“九九归一”“万变不离其宗”等思想.事物不是无限可分的，而是有限可分的，回归与衍生是对立统一的路径，模糊性发生在一定的边界极限，事物从粒性转变为波动性，有着存在却不确定的性质，例如，无穷连分数可以认识却无法操作.在实用领域往往将不确定性看成确定性，即将极限当有限，例如微积分就是常将无穷小作为0来进行处理.

3.技校数学极限与连续概念分层教学

在实际的技校教学中，讲授极限与连续概念时可采用分层次教学法，做到因材施教，以不同层次学生的认知水平差异为依据来确定不同的教学目标，进行分层施教与测试评价.并且在教学中注重建立一套促使各层次学生不断递进的机制，从而充分地开发学生潜能.极限与连续概念分层教学应当把握好以下几个环节.第一，客观地划分学生的学习认知水平层次，可以采用开座谈会或个别谈话等方式对学生的学习水平进行全面摸底，并结合学习成绩将学生分为獳，B，C三个层次.獳层和B层的学生基础知识相对比较扎实，通常能够从学过的知识中找到与新概念相关的联系，并能够比较出两者之间的不同，进而建立新的概念体系.獵层的学生对新概念的有关知识的理解不够全面、透彻，常常受错误经验的干扰而产生错误的概念理解.第二，分层教学的实施，为了更好地把握极限与连续的概念，可以将概念教学分为概念领会、概念运用、概念构建步骤进行.

(1)极限与连续概念的领会

在概念领会阶段，可以设置以下几个问题：函数在某一点处的极限概念，函数在某一点处的可导概念，导数的几何意义，函数的连续性概念以及右连续、左连续，可导与连续的关系等.这一阶段的内容一般比较直观，设计的问题和提供的资料均不会太复杂，除了处于獵层的个别同学在理解上出现些问题外，其余同学全部能够掌握这部分内容，通过对问题的思考进而掌握极限与连续概念的本质.

（2）极限与连续概念的运用

在概念运用阶段，教学应当以不同层次学生的概念领会程度为基础，培养学生的类化能力.在实际的教学中可以设置如下不同层次的问题：

①已知f(x)=x2玸in1[]x,x<0,

1-玞os玿,x>0,

求﹍im玿→0f(x).

这道题目是分段函数在分段点求极限的问题，因为函数在分段点两侧有不同的表达式，所以需要考虑左、右极限.

②研究函数f(x)=1-1[]玡瑇[]1+1[]玡瑇,x≠0,

1,x=0

在x=0处的连续性.

这道题目是指数函数求极限的问题，指数函数在x=0时等于1，所以考虑x≠0时的极限问题.在实际教学中应当以极限与连续的概念领会为基础，增强学生的类化能力.因为不同认知水平的同学的类化能力有着较大的差异，所以应当设计不同的题目与问题对不同层次的学生进行不同的教学指导与要求.

（3）极限与连续的概念体系构建

在概念体系的构建阶段，可以设置以下问题：怎样理解极限的概念，及其在微分学研究中的作用；怎样理解函数极限与单侧极限的概念；怎样利用函数的连续性判别与分类函数的间断点；怎样理解函数的三类间断点等.极限与连续的概念体系构建是此部分教学中的最高层次，要求同学具有将自身已有的认知结构中的有关概念与新概念建立联结的能力.

4.结束语

综上所述，极限与连续问题中的西拉古斯猜想是成立的，其蕴含的哲理为：世界是无限可展的、有界无限的，不是无限可分的而是有限可分的.在技校的极限与连续的实际教学中，教师应当深刻理解极限与连续问题的内涵，并运用分层教学法引导学生更好地掌握与运用极限与连续的相关概念，鼓励学生努力向高层次发展.