针对高等数学概念理论教学的探讨

郝 琳 朱亚红 赵志辉

【摘要】针对高等数学基本概念、基本理论的教学，从揭示本原意义、问题驱动、归纳比较、借助软件以及介绍数学史五个方面展开探讨.

【关键词】基本概念;基本理论;问题驱动;归纳比较;玀atlab;数学史

高等数学课程是一个复杂的演绎逻辑系统，演绎逻辑的出发点就是基本概念；以基本概念为基础，运用正确的逻辑演绎方法得到的一系列理论成果就是基本理论；在逻辑演绎发展的过程中产生了一些基本方法，主要有证明、运算和应用.加强基本概念、基本理论的教学是高等数学教学中的永恒主题.笔者结合多年的高等数学教学体会，针对高等数学的概念理论教学展开以下几点探讨.

1.揭示基本概念、基本理论的本原意义

我们看到的高等数学的概念和理论，往往具有高度的抽象性,呈现出冰冷美丽的一面.但是在每一种数学概念和理论的背后，都蕴含着许多丰富多彩的数学科学的源泉，燃烧着数学家们火热的思考.作为教师，一个重要的任务就是帮助学生发现隐藏在“冰冷美丽”后面的“火热思考”，努力揭示基本概念、基本理论的本原意义.

例如，微积分的创立是为了处理17世纪四种类型的科学问题：（1）物体在任意时刻的速度和加速度.（2）曲线的切线——光学在17世纪得到了飞速发展，设计透镜时要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度，而这与曲线的法线或者说切线有着密切的关系.（3）函数的最值——随着军事的发展，研究炮弹能获得最大射程的发射角成为迫切需要解决的问题；同时天文学中行星离开太阳的最远和最近的距离也是17世纪很受关注的问题.（4）曲线的长度——行星在已知时期内移动的距离则需要计算曲线的长度.有了这些本原意义，再学习微积分的相关概念会自然很多，也不会再有“帽子里蹦出的兔子”的感觉了.

2.以问题驱动的形式组织教学

著名的数学家康托曾经说过：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.”把数学被发现时的本真问题加以提炼、加工，呈现给学生，以问题驱动的形式组织教学.这样可以吸引学生主动思考，加深对概念的理解.例如讲授“方向导数与梯度”时，以高山流水为背景，设计了如下问题：

①如何刻画函数沿任一方向的变化率？——引出方向导数的概念.

②偏导数存在可以得到哪些方向的方向导数存在？——理清方向导数与偏导数的关系.

③在什么条件下任一方向的方向导数存在？——引出方向导数的计算公式.

④可微是方向导数存在的充分条件，是否必要条件？——理清可微与方向导数存在的关系.

⑤如何寻找方向导数最大的方向？——引出梯度的概念.

通过以上设计，层层设问，将活泼的数学思想从形式的海洋中提炼出来，从而激发学生强烈的求知欲，加深对概念的理解.

3.作好相似、相近或相关概念的归纳比较

归纳比较可以启发学生发现不同对象的相似性质，明确区别与联系，更好地掌握和运用知识.在教学中注意展示它们之间的内在联系和相互区别.

例如，微积分以函数作为研究对象，而研究的主要方法是分析增量Δ玿和Δ珁的关系，可以说，增量分析是微积分的核心内容.以增量分析为线索，可以串联微积分中的诸多基本概念和定理.连续是自变量增量趋于0时因变量增量的极限；导数是因变量增量与自变量增量之比的极限；微分中值定理给出了自变量增量和因变量增量之间的关系；┡！莱公式则利用函数增量给出了积分的计算表达式.再例如，多元函数和一元函数相关概念的比较，等等.

做好归纳比较可以让学生从比较中学习，从比较中加深理解，从而从整体上把握所学到的诸多概念.

4.利用玀atlab软件，展示数学的基本概念和基本理论

利用玀atlab软件，展示数学的基本概念和基本理论，使抽象的知识变得简单易懂、直观生动.例如重要极限┆﹍im玿→0玸in玿[]x=1，首先利用玀atlab软件作出函数y=玸in玿[]x的图像（如图1所示），可以看出当自变量x趋于0时，函数与1无限接近，进而猜测﹍im玿→0玸in玿[]x=1，为严格的证明提供了方向.

5.在教学中适当介绍数学家、数学史

在教学中可以介绍有关数学概念和符号发展历程的数学史知识.例如积分符号，符号大师莱布尼茨于1675年以“omn”表示积分，而omn为omnia（意即所有、全部）之缩写，但是这个符号不够精练，其后他又改写为拉长的字母“s”——∫，是sum（和）的首位字母，这个符号一直沿用至今.通过这样的讲解，不仅可以加深学生对积分概念的理解，而且对积分的感觉也亲切了很多.

教学中同时还可以介绍数学家的名言、珍闻轶事.数学定理大都以数学家来命名，讲授数学知识的同时，介绍数学家的名言、珍闻轶事，可以拉近学生与数学的距离，以比较放松的心态对待数学学习，同时学到一些课本上学不到的知识.例如，自学成才的英国数学家格林的故事，以及在艰苦的环境下仍然坚持科学研究的挪威数学家阿贝尔的故事都对培养学生良好的心理素质和坚强的意志力很有帮助.

学生是学习的主体，如何激发他们学习的积极性与潜能，是一个老师的主要任务.如果能使学生被数学所吸引，那么他（她）一定是一位出色的数学老师.这应该是所有数学老师所努力达到的目标.

【参考文献】オ

［1］同济大学数学系.高等数学（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学［J］.高等数学研究，2004（5）：8-10.