新课程标准下合情推理能力的培养

姚文全

【摘要】新课程实施纲要指出：新课程应着重培养学生的创新精神和实践能力，合情推理能力的培养正是实现这一目标的重要手段.在教学实践中，通过创设问题情境，引导学生细心观察；数形转换结合，激发学生思维；在归纳或类比的过程中，加深知识理解和能力迁移，强化合情推理的意识，提升思维能力，从而培养学生的创新精神和实践能力.

【关键词】变式训练；数形结合；归纳猜想；类比联想オ

一、合情推理

合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、直观感知、类比联想、归纳猜想等手段进行的一种推理.主要形式包括归纳推理、类比推理和统计推理，其中归纳推理和类比推理是两种应用最广泛的特殊的合情推理.

二、培养学生合情推理的意义和步骤

数学建构主义认为：知识并非是主体对客体的被动的镜面式的反映，而是一个主动的建构过程.学习者通过不断对各种信息进行加工、转换，形成假设，所以合情推理是数学建构主体思维的关键步骤，也是必不可少的思维方法.合情推理是演绎推理的前奏，演绎推理是合情推理的升华，作为数学逻辑思维的重要组成部分，在教学过程中要特别注重采用适当的途径强化合情推理的意识，培养学生合情推理的能力.

三、培养学生合情推理能力的途径

(一)创设问题情境，培养学生的观察能力，激发合情推理意识

美国著名数学教育家波利亚曾指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，就应当让猜测、合情推理占有适当的位置.”因此在教学中要从知识发生的过程设计合情推理的问题情境，留给学生足够的推理与猜想的时间，让学生通过合作交流或独立探究自主发现规律，从而获取新知，充分展示学生的思维过程，有利于学生理性思维的提高.

(二)强化变式训练，培养合情推理能力

变式训练主要是通过对已有问题的推广引申，达到知识迁移、能力提升的目的，变式训练是培养合情推理能力的重要渠道.

典例1 （直线与圆的位置关系的变式训练设计）

问题：自点A(-1,4)作圆（x-3)2+(y-4)2=1的切线L，求切线L的方程.

课堂上学生对这个问题的解答，思维活跃，方法多样，此时要能注意抓住这良好契机，适时引导学生深入思考：①若圆的位置不动，点的位置改变；②若圆的位置改变，点的位置不变；③若圆的位置、大小和点的位置改变.试作出合情推理，能得到什么结论？

变式1：若圆的方程为单位圆x2+y2=1，求经过圆上任一点P(x0,y0)的切线方程.

变式2：若圆的方程为x2+y2=1，求经过圆外任一点㏄(x0,獃0)的切线方程.

变式3：若圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上任一点P(x0,y0)的切线方程.

变式训练可以有效发散学生思维，激发学生作出合情推理的热情，从而形成合情推理的能力.

(三)特殊值引导，带动合情推理

合情推理中的归纳推理，指的是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般性的推理，即由部分到整体，由个别到一般的推理.在探寻求解某些问题的过程中，特殊值起到引领的作用.

(四)数形结合，有助于养成合情推理的习惯

数形转化就是通过数与形的相互转化来解决数学问题，数形结合兼有数的严谨与形的直观，利用数形转化可使复杂问题简单化、抽象问题直观化，通过数形相互转换，得到问题的多解、巧解.“他山之石可以攻玉”，可以激活学生思维、产生直觉判断，从而引导学生主动联想，大胆假设推理，形成合情推理的能力，养成合情推理的习惯.

典例2 若Ax+By+C=0,试求函数f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2+(x-c)2+(y-d)2的最值.

本题表面看是函数类型题，若是利用函数的思路求解，显得繁杂冗长.这时若引导学生通过数形转换，从代数解法联想到几何解法，把这个问题转化为直线Ax+By+C=0上的点到两点（a,b）及(c,d)距离之和的最值问题，只需在直角坐标平面上即可通过对称画图得到正确答案.

(五)由此及彼，求同存异，类比联想，培养合情推理能力

合情推理中的类比推理，指的是在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.

典例3 利用圆的性质类比得出球的性质.

圆的性质[]球的性质

圆的周长C=2π玆[]球的表面积S=4π玆2

圆的面积S=π玆2[]球的体积V=4[]3π玆3

与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长[]与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大

综上，在教学的过程中，既要引导学生学会细心观察、大胆猜测，作出合情推理，又要能加以严格证明，强化推理训练.让学生的思维能够自由拓展，猜测数学的规律，提高数学素养.オ

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.数学课程标准.北京：北京师范大学出版社.

［2］柯梅.自主 合作 探究.福建中学数学,2003(3).

［3］殷伟康.新课程理念下的合情推理教学.中学数学教学参考,2007(3).