从初中数学变式训练中激发学生思维能力

王慧灵

摘 要：简述了初中数学变式训练的含义和原则，具体分析了初中数学变式训练的实践，指出了初中数学变式训练是从哪几个方面激发学生的思维能力的。

关键词：数学教学；变式训练；思维训练

在全面推进素质教育的过程中，一项重要内容就是激发学生的思维能力。从不同的角度对数学习题进行变式训练，可帮助学生开阔思路，培养并发展学生的思维，因此，有必要通过对初中数学变式训练以激发学生思维能力进行必要的探究。

一、初中数学变式训练的含义和原则

1.初中数学变式训练的含义

变式训练，即以知识点教学的相关标准作为依据，针对教材中的思维模式、典型问题等的具体范式，对问题情境进行变更或者将思维角度进行转换，迁移、转化事物的外在非本质属性，不断提高学生的思维能力与数学技能。初中数学教学创新的方式有很多，变式训练是其中一种重要方式。通过一题多解、一题多问、一题多变、一题多得、多题一解等方式，引导学生从多个角度、站在多个方位对问题进行思考，只有这样，学生的解题思路才能得到拓展。只有这样才能完成对课本知识的梳理，构建完整的知识网络体系。变式的本质就是一种创新，变式是有目的性的，从问题的本质特征出发，根据学生认知心理发展规律，从学生知识需求的角度出发进行变式训练。变式训练的主线应是思维训练，通过对问题情境进行变更或将思维角度进行适当改变，可有效提高学生的应变能力，鼓励学生寻找解决问题的不同方法。通过多种途径，例如多问、多思、多用等方式，提高学生思维的深刻性与探

索性。

2.初中数学变式训练的原则

（1）可参与性原则

初中课堂教学应注重“以人为本”，引导学生全员参与。变式训练过程中更应注重这一点。在数学知识、基本技能、思维能力、学习兴趣等各个方面，学生之间存在很大的差异，教师在教学过程中应认识到这种差异，充分考虑学生的实际情况，兼顾学习能力不同的学生。在变式训练题目的选择、编写过程中应认识到学生数学水平的差异性，切忌采用“一刀切”的变式训练方式，应选择有梯度、有层次的变式题目，进行分层教学，尽可能满足大部分学生的需要，保证学生全员参与。

初中阶段的学生一般认为数学学习十分艰苦，在学习过程中不断失败，丧失了学习信心，更没有意志力克服学习过程中的困难。教师应关注学生学习过程中的体验，帮助学生树立克服苦难的自信心和意志力。因而教师在设计变式训练的过程中，应设计“阶梯式”的问题串，让尽可能多的学生参与，使得学生在学习过程中不仅可获得成功的体验，而且还能有机会面临挑战，增强克服困难的信心和意志力。

（2）目的性原则

在变式训练的过程中，切忌让学生感觉单调乏味。通过变式训练，应使学生认识到自己学习中的不足之处，引导学生寻求解决问题的方法，因而变式训练是有目的的。不仅要对学生的不足之处进行弥补，还要帮助学生深刻理解与把握所学的知识内容，提高分析与解决问题的能力，从整体上提高其思维能力。对课本的典型例题进行变式训练，可帮助学生进一步升华数学知识，归纳解题方法，提高解题能力与数学素养。

（3）层次性原则

在初中数学中，许多知识点都是相互融合、相互贯通的。一个典型的问题可能包含了几个知识点，并且具有很大的跨越性，同一个问题可能有许多不同的解决方法。在设计变式训练时一定要遵循层次性原则，在组编变式题目时一定要把握梯度。数学的核心是问题，设计过难或过简单的问题都容易使学生丧失学习兴趣。

因而，在整编变式题目的过程中，一定要遵循循序渐进的原则，考虑到学生的思维习惯，环环相扣，前一个问题应为下一个问题做铺垫，引导学生逐步解决问题，获得解题的乐趣，提高思维能力与解题信心。

（4）针对性原则

引导学生学会数学概念，利用定理、公式解决简单的数学问题不是初中数学教学的目的，初中数学教学的目的是培养具有较强思维能力的创造力、较高数学素质的人才，要求学生能够熟练运用所学知识，在解答问题的过程中能够有针对性地选用最合适的知识点和巧妙的解题技巧。这就要求教师在设计变式训练时选取有针对性的习题，切忌盲目选题、选题过难或过易。否则，很难激发学生的学习信心，或使学生盲目自信，影响教学工作的开展。教师应该把握教学重点，根据学生的薄弱知识点、易忽视的重要知识点，结合班级的具体实际，选择难易适中的变式题目进行变式训练，引导学生将知识内化，进一步提高思维能力。

（5）发展性原则

初中阶段的数学课程是面向全体学生的，学生的需求是多样化的，因此变式训练应满足学生需求。在数学教学过程中应用题海战术，要求学生进行大量的习题练习，这样虽强化了数学学科的地位，却忽视了数学课程的教育功能。为满足时代发展的需要，数学教学过程中的变式训练应遵循发展性原则，强调发展学生的能力，使得学生通过学习数学思想方法不断发展数学应用能力，从

整体上提高思维能力。

二、初中数学变式训练的实践

在初中数学教学过程中，变式训练的开展与深化应是一项长期的工作，形式也是多种多样的。在不同的教学阶段，教学内容不同，教师也应根据不同的教学对象采取不同的变式训练的内容与方法，教师应有目的性、有针对性地实施变式训练。

1.一题多解

一题多解，即站在不同的角度对同一个问题中的已知条件和隐含条件进行分析，从多角度、多途径寻找解决问题的方法，拓宽解题思路，综合应用不同的知识，比较分析多种解法，并从中挑选出最佳解法，对解题规律进行总结，提高分析问题的能力，增强思维的发散性与创造性。

一题多解，从实质上来说是解题或者对定理、公式的变式进行证明，运用不同的论证方式对条件与结论的必然的本质联系进行反映。采用一题多解的变式教学方式，引导学生站在不同的角度和方位对同一材料进行思考，寻求解决问题的答案，从而拓展解题思路，多方向发展思维，增强思维的发散性。

2.一题多问

对同一问题，向学生提出多个问题，使学生不单单会解决一个问题，更能了解这一类问题的解决方法。对一个问题中所隐含的条件进行思考，提出多个问题，进而发展创造性思维。

例如，在学习全等三角形的判定的章节时，可这样设计题目：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，进而引导学生思考如何设计与处理这三个条件，使得这两个三角形全等。

通过思考和讨论，学生给出了以下方法：（1）这个角是这两边的夹角；（2）这个角的对边恰好是两边中的小边；（3）这个角的对边恰好是两边中的大边；（4）若三角形的两边相等，即三角形为等腰三角形；（5）这个角是直角；（6）这个角是钝角；（7）这两个三角形都是锐角三角形或这两个三角形都是钝角三角形；（8）这个角是

这两个三角形的公共角，其所对的边为其中一条已知边；（9）这两边中有一边是三角形的公共边，另一边是已知角的对边。在以上九个条件中任何一个条件下，两个三角形全等。

通过这样的训练，学生可以大胆进行想象，培养思维的流畅性，从而提高了学习能力和思维能力。

3.一题多变

通过一题多变，可拓展学生思维的深广性。思维的深刻性，即在思维活动中，能够抓住问题的本质特征及其变化规律，在分析问题时表现出一定的深度，将问题高度概括、抽象，提高逻辑推理能力。在初中数学的教学过程中，运用一些变式训练，学生能够对概念的本质属性有更准确的把握，增强数学思维的深刻性。

一题多变，即保持问题的实质不变，通过变式对问题的条件或者结论进行一定的变形，上升问题的梯度，使其渐次上升。在不断演化问题的条件与结论的过程中，解决问题相关的知识、原理和方法一直在发生动态变化，在不同的方向和层次上，学生的思维活动可逐步展开。一题多变的变式训练常用的有两种方法：一种是转变问题，化封闭式为开放式，另一种是纵横延伸问题的条件或结论。通过引申、演变、拓展某一道典型习题，学生的探索能力与应变能力可得到很大提升，思维的发散性、深刻性、广阔性进一步被激发。学生能够站在不同的角度上对问题进行观察和思考，思维过程的深广性大大提高，综合素质得到提升。

一些典型例题，教师如果能够把握机会对其进行适当变式，引导学生对例题进行引申和拓展，可进一步激发学生的学习兴趣，提高学生的探究能力，将学生从题海战术中解脱出来。初中教师在数学教学过程中，应注意到对这方面的研究，才能不断发展学生的思维能力。

例如下题，甲、乙两站距离720 km。一列慢车从甲站开出，每小时行驶96 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶144 km，两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？（1）对条件进行变式，甲乙两车同时从A地出发，甲的速度是96 km/h，乙的速度是144 km/h，甲乙两车背向而行，几个小时以后相距1600 km？（2）对条件进行变式，甲乙两站之间相距720 km。慢车的速度是96km/h，快车的速度是144 km/h，两车同时开出，同向行驶，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？（3）对结论进行变式，甲乙两站相距720 km，慢、快两车分别从甲乙两站同时相向而行，3小时相遇，快车每小时比慢车多行驶48 km，求慢车速度。（4）对背景进行变式，甲乙两队合作完成720个零件，甲队的速度是每小时144个，乙队的速度是每小时96个，甲队先做25 min后乙队加入合做，问：甲、乙两队合做几小时完成任务？

通过进行适当的变式训练，帮助学生进一步巩固了知识，解题思路和视野得到开阔，收到了触类旁通的效果，学生的应变能力得到提高，思维的深度和广度得到极大锻炼，探究能力与解题能力得到提高。

4.一题多得

通过一题多得，可培养学生思维的独创性。一题多解，即分散命题角度，在培养学生思维能力的过程中，一个重要方面就是分散解法。加深对题目的讨论、猜想和探索，有利于打破思维定式，培养学生探索创新精神与发散思维能力。例如一些开放性探索试题，条件或结论并不明确，需要人去设定条件，探索结论。这些新颖的题目扩大了学生的知识面。教师应根据习题的特征，引导学生进行探索、猜想，发展创造性思维。

例如，△ACM和△CBN为等边三角形，求证：AN=BM。（如下图）该题涉及了许多重要定理，对该题进行适当变形，可提高学生的探索能力与创新素质。变式1：设CM、CN分别交AN、BM交AN、BM于点P、Q，试证明题中是否还有其他的相等边、特殊角。变式2：在其他条件不变的情况下，△ACM和△BCN若在AB两旁，

AN=BM是否成立？变式3：在其他条件不变的情况下，A、B、C三点不在一条直线上时，AN=BM是否成立？

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通过这样的变式训练，发展了学生的变异思维，培养了学生的创新能力。

5.多题一解

通过多题一解，学生思维的收敛性可大大提高。任何一个思维的创造过程，都离不开发散思维与收敛思维的完美结合。因此可以说，创造性思维的一项重要通过组成部分就是收敛性思维，

在教学过程中有必要培养学生的收敛性思维，而通过多题一解，

可有效发展学生的收敛性思维。在初中数学中，存在许多不同类型的习题，有许多不同的研究对象，但是许多问题有着相同的实质，如果能够归类分析这些题型不同实质相同、题型相近实质相同的问题，抓住问题的本质特征，把握此类问题共有的规律，方能触类旁通，达到举一反三的目的，使学生摆脱题海束缚。

一些数学问题，解决方法、运用的原理等都有一定的相似之处，有些题目甚至运用了相同的题设条件，只是改变了结论的表现形式。因此，有必要进行多题一解的变式训练，使学生意识到可利用同一核心知识解决许多不同问题。只有彻底挖掘题目的内涵与外延，灵活运用知识点，才可增强学生思维的活跃性。

三、从初中数学变式训练中激发学生思维能力

1.培养学生正确概括的思维能力

站在培养学生思维能力的角度上来看，比数学概念的定义本身更重要的是帮助学生从思维上形成数学概念，并了解其内涵和外延。在学生形成概念的过程中，通过变式训练，可鼓励学生积极参与概念的形成过程，引导学生进行探索发现，从而有所创新。对于数学概念的学习，许多学生感觉枯燥乏味，提不起兴趣，甚至上课昏昏欲睡。进行变式训练，给学生提供了由简及难、生动形象的数学变式，可使学生获得感性认识。在进行讨论时，学生可充分进行交流，学习的自由度增大，学生有了较多的机会展现自我，处于无压力的状态下，学生的学习兴趣可被有效激发，学习积极性被充分调动。

多样化的变式不仅可以激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性，而且可有效提高学生的观察、分析和概括能力，从而使思维能力得到极大锻炼。通过变式训练，举一反三，学生由表面的学习不断深入，进行更深层次的探索，从简单到复杂，完成掌握知识与能力的一个循序渐进的过程，从而获得知识，概括、分析与解决问题的能力得到提高。

2.培养学生多向变通的思维能力

获取固定的知识、规则、原理不是变式训练的主要目的，变式训练更注重的是培养学生的思考、解决问题的能力，发展学生多向变通的思维能力。初中数学有很多定理和公式，通过变式训练，学生可对定理和公式中的概念以及其中的联系有更加深刻的认知和把握，提高多向变通的思维能力。发展数学思维，主要依赖对定理和公式的掌握和应用，再通过定理、公式进行推理、论证与演算。人们通过概括概念之间的本质联系，总结出了数学定理和公式，而仅仅依靠对这些联系进行机械的理解，并不能做到对定理和公式的熟练掌握与灵活应用，要想熟练掌握数学定理，还需要一定的多向变通的思维能力。将变式训练应用于定理和公式的教学中，可深刻阐述定理和公式之间的联系，使学生对定理、公式成立所需的条件有进一步认识，便于学生辨析定理、公式的应用条件。通过变式训练，可有效防止学生对定理和公式的过于机械化、形式化地背诵与套用，引导学生变通思考问题的角度，对定理、公式和概念进行更加灵活的应用。

3.提高学生思维的探索性与深刻性

学生在数学学习过程中可能遇到许多不同的问题。变式训练的目的不是教会学生解决一个问题，而是教会学生解决一类问题。既可避免题海战术，又可帮助学生开拓解题思路，培养学生的探索精神，取得事半功倍的学习效果。伽利略说过，“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的。”因而初中数学的课堂教学过程中也要进行一定的创新和改变，在原有题目的基础上引申出更多的新问题，这些新问题可与原题目相关、相似或相反，从而将习题的教育功能挖掘得更加透彻。在变式训练的思考过程中，学生进行归纳，培养了思维的探索性和独立性，在变式训练的交流过程中，学生的认知策略有了很大程度的提高。

举例来说，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。根据这个问题，教师可巧妙设计变式训练，激发学生的思维兴趣。变式1：将矩形各边中点顺次连接可得到什么图形？变式2：将菱形各边中点顺次连接可得到什么图形？变式3：将正方形各边中点顺次连接可得到什么图形？通过这些变式训练，教师可引导学生概括出四边形的对角线的特征是影响组成图形形状的本质。

4.引导学生掌握数学思维方法

初中数学课时较紧，教学内容有着较广的覆盖范围。数学教学的重要任务就是指导学生完成对知识板块的学习，整合梳理各个章节知识点。教师应该将典型例题作为源问题，巧妙进行变式训练，使学生对同类型的题目有所了解，并对相关题目的解题思路进行归纳总结，帮助学生走出解题误区，从单一的知识点拓展为多方面、多个知识点的考查，提高课堂效果。

通过变式训练，帮助学生对相似知识点进行归纳总结，不仅仅会加重初中生的认知负荷，还能够引导学生从多个角度对知识点进行理解和回顾。在设计变式题型的过程中教师可引入一些典型的数学思想方法，并引导学生在学习过程中反复运用。只有这样，才能帮助学生巩固知识基础，将知识进一步内化，发展数学类比思维能力。通过变式训练，原本抽象的概念、原理不再晦涩难懂，变得更加具体形象，有助于学生将所学知识及理论进一步内化，加深理解。立足于同一数学思维基础，教师应该培养学生进一步规范解题的思维过程程序，总结归纳数学问题的通性，寻找同类型题目的不同之处，不同题目的相同之处。在数学教学中，变式训练的应用价值相当高，有助于拓展学生的数学思维。同时，这也为我们的数学教学工作提供了一个方向，那就是不断对教学模式进行创新，对教学思路进行改进。只有这样才能不断发展初中生的数学思维能力。

在数学教学过程中，对习题进行变式训练是激发学生思维能力的一条重要途径。在变式训练的具体教学实践中，可利用多种方法，例如一题多解、一题多问、一题多变、一题多得、多题一解等，培养学生正确概括的思维能力、多向变通的思维能力，提高学生思维的探索性与深刻性，引导学生掌握数学思维方法，不断激发学生的思维能力。

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编辑 段丽君