数学建模思想融入中学概率教学研究

摘 要：根据新课改的修订，数学建模思想的融入成为中学概率教学研究的重要方法，也是提升学生素质教育的重要环节.文章在此基础上提出数学建模思想融入中学概率教学的研究，对于融入的案例及过程，提供了“全概率公式”这个教学案例，这对于培养学生的数学应用能力和创新思维具有重要意义.

关键词：数学建模；中学概率教学；全概率公式

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2025）03-0065-04

收稿日期：2024-10-25

作者简介：汪勇，硕士，从事数学教学研究；

陈哲，硕士，从事数学教学研究.

概率作为中学数学的重要组成部分，以及中高考中的重要考点，对于培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力具有重要意义.然而，传统的教学方法往往侧重于理论知识的传授，学生在面对实际问题时往往会感到无从下手.数学建模思想的融入为解决这一问题提供了新的途径.

1 数学建模思想

1.1 数学建模的定义

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养^[1].此外，数学建模是一个具体的活动过程，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.

1.2 数学建模思想的内涵

数学建模思想是一种运用数学语言和方法来描述、分析和解决实际问题的思维方式和指导理念.其核心在于将实际问题抽象为数学结构，通过建立数学模型来模拟和预测现实世界中的现象和过程.数学建模思想更加强调抽象化、量化、逻辑推理等多方面，并且有助于培养人们的问题解决能力、逻辑思维能力和创新能力，使人们能够更好地理解和应对现实世界中的各种挑战.

1.3 数学建模思想的作用

数学建模思想为数学建模提供了方向和方法，指导其如何从实际问题中提取关键信息，选择合适的数学工具，建立有效的模型，并对结果进行解释和应用.

2 研究意义

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》表明，在数学教学中可以用学科思维特征为指引来培养学生.由此可见，在中学概率教学中融入数学建模思想是非常重要的.

数学建模对于提高学生的综合素质具有非常大的用处.首先，可以锻炼学生的抽象概括能力，即学生在实际问题中对有效信息进行抽象概括，并且用自己的语言进行表达.其次，学生可以在学习过程中锻炼丰富的想象力与分析问题的能力.数学建模不仅能够树立学生的创新精神，还可以进一步培养学生的创新能力.最后，还可以培养学生团队合作能力以及彼此之间的沟通协调能力，提高学生的语言组织和表达能力，使其温故知新，更好地掌握学科的基础理论知识.

3 知识逻辑

高中阶段全概率公式的知识逻辑主要包括以下几个方面：

首先，需要理解基本的概率概念，如随机事件、样本空间、概率的定义和性质等.在此基础上，引入条件概率的概念，即已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率.

然后，通过具体的问题情境引出全概率公式.全概率公式的核心思想是将一个复杂的事件分解为多个互斥的简单事件，并利用条件概率和这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率.

具体来说，假设事件B要发生，而导致B发生的原因有多个互斥的事件A₁，A₂，…，A_n.则事件B发生的概率就可以表示为P（B）=∑n/i=1P（A_i）P（B|A_i）.

在实际应用中，关键在于正确确定导致目标事件发生的各个事件，并准确计算出每个事件的概率以及在该事件发生条件下目标事件发生的条件概率.

总之，高中全概率公式的知识逻辑是从基础概率概念出发，逐步引入条件概率，最终导出全概率公式，并通过实际应用加深理解.

4 数学建模思想融入全概率公式的教学设计

4.1 课题信息

课题名称 全概率公式.

课题时长 1课时.

教材分析 选自人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布列》，本节课主要学习全概率公式.

4.2 教学目标

（1）理解全概率公式的形式并掌握全概率公式解决问题;

（2）通过对全概率公式的理解，发掘学生自身分析解决问题的潜能;

（3）探究全概率公式解决实际问题的步骤，提高学生探索观察的能力.

4.3 核心素养

（1）数学抽象：从生活实际情境中抽象出全概率公式的概念；

（2）逻辑推理：从特殊到一般；

（3）数学运算：能够运用全概率公式计算概率；

（4）数学建模：将问题转化为数学概率模型，培养学生搭建模型的能力.

4.4 教学重难点和教学方法

教学重点：运用全概率公式计算概率；

教学难点：理解全概率公式；

教学方法：讲授法、合作探究法、练习法.

4.5 教学过程

4.5.1 回顾旧知

师：法国数学家拉普拉斯说过：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题.”在上节课的学习过程中，我们已经学习了什么是条件概率，即在“已知事件B发生”的附加条件下，求A发生的概率，记作P（A|B），于是有P（A|B）=P（AB）/P（B）.

在条件概率的学习延伸中，我们又学习了概率的加法和乘法公式.本节课在此基础上，我们再来看一个复杂概率的求解问题.

4.5.2 问题引入

例1 某班级去书店买书，需要买10本一捆的书，他的买书方法是从10本中随机抽出3本，若这3本书都是全新的，他才买下这一捆．假定含有4本破损的捆数占30%，而其余捆中各有1本破损书籍，求该班级没有购买的概率．

解析 设取到的是含有4本破损的捆为事件A₁，取到的是含有1本破损的捆为事件A₂，该班没有购买图书为事件B，则B=A₁B+A₂B，且A₁B与A₂B互斥，P（A₁）=0.3，P（A₂）=0.7，P（B|A₁）=1-1/6=5/6，P（B|A₂）=1-7/10=3/10，利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（B）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）

=0.3×5/6+0.7×3/10=23/50.

例2 假设一个袋子里有a个红球，b个黑球.每次都从袋子里随机拿出一个球，但不放回去.显然第一次拿到红球的概率为a/a+b，那第二次拿到红球的概率是多少？这该怎样计算呢？

这个事件可以用按初次拿到（红球或黑球）（即用R_i表示事件“第i次拿到红球”；B_i表示事件“第i次拿到黑球”，i=1，2.）的结果表示为这两个互斥事件的并，用R₂表示，即R₂=R₁R₂∪B₁R₂.利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（R₂）=P（R₁R₂）+P（B₁R₂）

=P（R₁）P（R₂|R₁）+P（B₁）P（R₂|B₁）

=a/a+b×a-1/a+b-1+b/a+b×a/a+b-1

=a/a+b.

师：通过上面两个例子我们可以发现，它们的解题过程都是先将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，然后用概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率^[2].

4.5.3 概念深化

全概率公式：一般地，设A₁，A₂，…，A_n是一组两两互斥的事件，A₁∪A₂∪…∪A_n=Ω，且P（A_i）gt;0，i=1，2，…，n.则对任意的事件BΩ，有P（B）=∑n/i=1P（A_i）P（B|A_i）.

4.5.4 活动探究

师：同学们，看老师今天带来的这个箱子，箱子里总共有30个球，其中有18个黑球，有12个红球.每个人都有两次抽奖的机会，抽完第一次的球拿出来后，继续抽第二次，当同学们第二次抽出来的为红球即为中奖.有没有同学想要第一个上来抽奖？

师：中了奖的同学请举手，同学们看看有多少人中奖了.既然有的同学中奖了有的同学没有中奖，同学们能算出中奖的概率吗？

经过同学们的思考与讨论，得到A₁=｛第一次抽出黑球｝=0.6，A₂=｛第一次抽出红球｝=0.4，B={第二次抽出红球｝.当大部分同学提出了等量关系与解题方法时，教师再根据题目列出等量关系式：

P（A₁）=0.6，P（A₂）=0.4，A₁∪A₂=Ω且A₁，A₂互斥.

所以P（A₁）=6/10，P（A₂）=4/10，P（B|A₁）=5/9，P（B|A₂）=6/9.

因为B=BA₁+BA₂，所以P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）=6/10×5/9+4/10×6/9=0.6

4.5.5 例题巩固

例题 某工厂有4条流水线生产同一种产品，这4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，它们的产品不合格率依次为0.05，0.04，0.03和0.02.现在从出厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？

解析 A_i={任取一件，恰好抽到不合格品}，B_i={任取一件，恰好抽到第i条流水线的产品}（i=1，2，3，4，），由全概率公式得

P（A）=∑4/i=1P（B_i）P（A|B_i）=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.03+0.35×0.02=0.031 5.

所以恰好抽到不合格品的概率是3.15%.

4.6 设计意图

教师通过呈现实际生活中的问题抽象出全概率公式，让学生感受数学建模的应用价值，鼓励学生积极思考并踊跃发言，展示自身的解题思维过程；并且通过活动探究，引导学生将实际问题转化为数学语言和符号，建立全概率公式所需的事件集合和概率分布，亲身体会建模的过程.此过程不仅培养了学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象能力，还培养了数学建模的核心素养.

在概率课程中融入数学建模思想，构建出全概率模型，教师应选择适当的问题引导学生并对其进行分析，构建数学模型，发现问题并解决问题，最后求解模型与验证.当然，此过程也可以进行拓展与创新，教师可以给出一些变化的条件或类似的实际情境，让学生自己尝试建立全概率模型并求解，培养他们的创新思维和应用能力.

4.7 课堂小结

教师引导学生对本节课进行总结.总结本节课学习的重点知识，建模过程中用到的数学知识、方法和技巧，以及遇到的困难和解决方法，等等.

4.8 课后练习

镇上有A，B两家银行，小明分别去两家银行存钱.小明第一天随机在某一家银行存钱，如果小明第一天在A银行存钱，则第二天在A银行存钱的概率为0.6；如果小明第一天在B银行存钱，则第二天在A银行存钱的概率为0.8.求小明第二天在B银行存钱的概率是多少？

5 教学策略

5.1 改编数学教材习题

在中学课本中，教师可通过对教材习题的改编，结合数学建模的思想，将枯燥的数学习题结合实际情况进行重新编撰，从而达到提高学生学习数学的能力，激发学生数学学习兴趣的作用.另外，改编的习题要符合学生的认知水平，还要能够很好地体现数学建模的完整过程.

5.2 从实际问题出发

数学来源于生活并应用于现实生活，用建立数学模型的方法我们可以解决生活中的许多问题，比如面积问题、中奖概率问题、盈利问题等.教师结合与生活息息相关的实际问题进行教学，并加以引导，学生学习数学的能力不仅可以大大地提高，而且还能够增强其运用数学知识解决实际问题的能力.

5.3 教师专业知识的发展

其一，教师要不断探索，与社会一起进步，逐步地发掘生活中有关数学建模的问题，提出数学建模思想.在数学教学过程中不能只专注于基本概念与理论知识的传授，还要学会“授之以渔”.其二，教师要学会多实践，不能只是嘴上说说而不去实践探索.只有教师自己对于各种数学建模类型的题目熟练掌握，才能在教学中更好地传授学生建模知识，帮助学生更好地树立数学建模思想.

6 学习策略

6.1 培养阅读能力与表达能力

有很多原因会导致学生在学习数学方面感到吃力，阅读能力薄弱就是其中一个.这就需要学生在学习生活中多读多练，在做数学题时多观察题干要求，把题干中的条件与条件串联起来，分析各种变量之间的数量关系，将数学问题的表达转化为具体的数学思想.强大的阅读能力会帮助学生更好地掌握数学知识.另外，还需要增强学生的表达能力，通过语言阐述自己的解题思路，合理地在表达中运用专业术语.

6.2 构建知识网络

在中学数学学习中，学生的数据分析能力还不够优秀，在寻求实际应用题中的数量关系时会感到困难.要想提升数据分析能力，最好的方式就是提取出问题的基本框架和本质关系，建立框架图，再解决问题.

7 结束语

尽管数学课程标准中明确地提出了在中学课程教学中要做到学与用的相互结合，还要提高探究活动学习的频率和数学建模思想.但是在实际学习数学时，学生也能够明显地感受到这些要求并没有得到很好的重视.因此，本文在研究中学概率教学中融入数学建模思想时，一直秉持着科学性以及合理性的要求，通过查阅资料文献帮助教师更好地在数学教学中融入数学建模思想，并以学生为学习的主体、教师为主要引导者来开展教学活动.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］" 沈健.突出素养本位聚焦学科育人：以“全概率公式”的教学为例[J].数学通讯，2024（01）：1-3，7.

［责任编辑：李慧娇］