渗透数学文化 提升核心素养

摘 要：本文以高中“简单几何体的体积”教学为例，通过分析教材，融入数学文化，将“祖暅原理”的数学方法贯穿始终，渗透了极限的思想，尊重学生的主体性，提升学生的核心素养，对教育教学具有借鉴意义.

关键词：数学文化；核心素养；简单几何体的体积；教学设计

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2025）03-0029-03

收稿日期：2024-10-25

作者简介：刘春琳，硕士研究生，从事中学数学教学研究；

郭亚丹，硕士，副教授，从事中学数学教学研究.

基金项目：六盘水师范学院2023年度联合培养研究生专项科研基金项目“数学文化促进学生数学核心素养发展的教学研究”（项目编号：LPSSYLPY202312）.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，在优化课程结构的同时，注重数学文化的渗透，并多次提到将数学文化融入课程内容，课标明确说明“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动”^[1].数学文化是核心素养的重要载体，对培养学生的数学核心素养具有促进作用.渗透数学文化、提升学生核心素养，如今依旧是数学教育领域研究的热点，其中王嵘^[2]将数学文化的内容分为四个方面，包括数学与数学、数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术等；李铁安^[3]指出，应“将数学文化的史学形态转化为教学形态”.数学文化的内容多种多样，表现形式也五花八门，应将数学文化渗透在教学过程中.

在“简单几何体的表面积与体积”这一节中，人教版教材在“探究与发现”中加入了祖暅原理，柱体和锥体的体积公式均可以由祖暅原理推出.而在教育实习与实践中发现，多数教师在教学中并未对教材中加入的数学文化相关内容加以利用，而是直接给出体积公式，再以“题海战术”巩固，这不利于学生数学核心素养的提升.本文以“简单几何体的体积”一课为例进行教学设计，渗透数学文化提升学生数学核心素养.

1 数学文化素材选取

刘徽的发现及研究^[4]：著名数学家刘徽在给《九章算术》写注时发现了一个错误，书里认为，在正方形里内切一个圆，则它们的面积比为S_圆∶S_正方形=πr²∶4r²=π∶4；在正方体里内切一个圆柱，体积比为V_圆柱∶V_正方体=π∶4；在圆柱体中内切一个球，它们的体积比也为V_球∶V_圆柱=π∶4，取π=3，球的直径为d，以此推出球与其外切正方体的体积之比V_球∶V_正方体=9∶16，得到V_球=9/16d³.刘徽用“截面法”证明了球的体积是其外切圆柱体积的四分之三是错误的，推翻了《九章算术》中球的体积公式，并创造了“牟合方盖”（在正方体内，作两个方向不同的内切圆柱，那这两个圆柱的公共部分即称之为“牟合方盖”），在古代“牟”为相同的意思，“盖”是雨伞的意思，所以“牟合方盖”指的就是把两个方形的雨伞合在一起.刘徽推出球的体积与其外切牟合方盖体积比为V_球∶V_牟=π∶4，但是最终没有推出牟合方盖的体积.

祖暅的研究：在两百多年后，祖冲之与他的儿子祖暅继续沿用刘徽的思想，将“牟合方盖”平均分成八份，再取这八份的其中一份进行研究.在他们的努力探索下，最终提出了体积的计算原理，即“祖暅原理”——“幂势既同，则积不容异”，这段话用现代语言可以翻译为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

2 教学设计

2．1 教学目标

（1）掌握简单空间几何体的体积公式.

（2）会应用体积公式求体积.

2．2 教学重难点

教学重点：会运用“祖暅原理”进行推导相关的体积公式，会利用体积公式求几何体的体积.

教学难点：台体和球体积公式的推导.

2．3 教学过程

环节1 史料引入，激发学生兴趣.

教师：发放导学案，播放视频.

学生：认真观看视频，完成导学案中的问题.

教师：是谁发现了《九章算术》中球的体积公式是错误的？又是如何发现的呢？

学生：刘徽发现了错误，用“截面法”证明了球的体积是其外切圆柱体积的四分之三是错误的，从而推翻《九章算术》中球的体积公式.

教师：看PPT上的几何体，是怎么来的？它叫什么名字？名字有何含义？

学生：此几何体是“牟合方盖”，它是在正方体内，作两个方向不同的内切圆柱，取这两个圆柱的公共部分得来，古代“牟”为相同的意思，“盖”是雨伞的意思，所以“牟合方盖”指的就是把两个方形的雨伞合在一起.

教师：刘徽推出球的体积与其外切“牟合方盖”的体积比为V_球∶V_牟=π∶4，可惜的是，最终并没有推出“牟合方盖”的体积.在两百年后，祖氏父子沿用了刘徽的思想方法，开始继续研究球的体积，在5世纪末，祖暅提出了体积的计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是我们所熟知的著名的“祖暅原理”.在了解了我国古代数学家在数学上的辉煌成就后，你有什么感想？

教师根据学生的回答给予肯定，鼓励学生勇于质疑，大胆想象，积极探索，敢于创新.

环节2 利用祖暅原理推导柱体、锥体与台体体积公式.

问题1 在之前我们研究了空间几何体的表面积，那如何求它们的体积呢？

师生活动 共同回顾已学习的几何体体积，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等特殊几何体.

利用以往所学总结以及“祖暅原理”，分析得到“若两个棱柱的底面积是相等的、高也是相等的，则它们的体积应该也是相等的”，如图1，假设柱体的底面积为S，高为h，即V_柱体=Sh.

问题2 尝试将三棱柱分割为三个三棱锥，能否证明三个三棱锥的体积相等？

师生活动 用“祖暅原理”证明问题2，类似地，总结三棱锥、圆锥的体积，则“若两个锥体底面积相等、高也相等，则它们的体积也相等”，如图2，若锥体的底面积为S，高为h，参考三棱锥与圆锥的体积，即V_锥体=1/3Sh.

图2 锥体体积推导示意图巩固练习1 半径为R的半圆，用其围成一个圆锥，圆锥的体积为？

问题3 如何得到台体的体积？

师生活动 共同探讨得出结论“台体是通过锥体得来，可以用锥体的体积公式推导台体的体积公式”，如图3.

学生活动：通过计算推导得出台体的体积公式，假设台体的下底面面积为S，上底面面积为S′，高为h，即V_台体=1/3（S+SS′+S′）h.

巩固练习2 若圆台母线长为l，上下底面半径分别为R，r，求圆台的体积.

环节3 探究特殊几何体——球的体积与表面积.

问题4 如图4，我们在一个底面直径为2R、高等于R的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底面为底面，以圆柱的下底面圆心为顶点的圆锥，所得的几何体如图所示，探究其与一个半径为R的半球的体积关系.

师生活动 探究得到二者在等高处的水平截面面积都是相等的，根据“祖暅原理”，二者的体积相等，此时，图4所示的半径为R的半球与图示几何体的体积相等，即V_球=2（V_柱体-V_锥体）=4/3πR³.

问题5 得到了球的体积，能否求出球的表面积呢？

师生活动 合作探究，设想一个半径为R的球，过球心将球平均分成两份、四份、八份、一直到n份.当n足够大时，可以将每一份看成一个近似的“准锥体”，如图5；当这些“准锥体”足够小，底面无限接近于平面，就可以把它们近似地看成锥体.此时，“准锥体”的高将会无限接近于球的半径R，所有的“准锥体”的底面积的和与球的表面积将会无限接近，而且所有“准锥体”的体积的和就无限趋近于球的体积，最终得出球的表面积S_表与体积V_球的关系为V_球=1/3RS_表，即S_表=4πR².

探索 关于球的体积与表面积的推导，是否还存在其他方法，请感兴趣的同学课后查阅资料进行探究.

环节4 布置作业.（布置以祖暅原理为背景的数学题，考查学生对祖暅原理的应用情况）

3 结束语

在数学课堂中渗透数学文化不仅能够激发学生的学习兴趣，更能让学生在探索中学到知识，提升数学核心素养.在推导柱体、锥体、台体的体积公式时，将“祖暅原理”所蕴含的方法教给学生，起到引导的作用，再由学生自主完成对公式的一一推导.本节课不仅让学生学会了数学的思想、方法，更培养了其推理、抽象和运算等多方面的数学素养，还在公式的运用中体现数学与现实生活的联系，带领学生体会了数学的美.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]．北京：人民教育出版社，2020．

［2］ 王嵘.数学文化融入中学教科书的内容与方法[J].数学教育学报，2022，31（01）：19-23.

［3］ 李铁安.文化意义下的数学及其教育意蕴[J].数学教育学报，2008（06）：16-20.

［4］ 张伟.祖暅原理的由来及证明[J].重庆教育学院学报，2010，23（03）：113-115.

［责任编辑：李慧娇］