“一题一课”助力高效复习

摘 要：“一题一课”是对一个题干进行多层次全方位的挖掘，这种课型要求教师具有较高的编题变式的能力.本节教学设计给出一个抽象函数题干，经过对一道题干深度挖掘后，最后“留白”让学生自主探索，帮助学生构建完整知识体系和培养高阶思维.

关键词：一题一课；抽象函数；课堂留白

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2025）03-0002-03

收稿日期：2024-10-25

作者简介：尹晓融，二级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

函数是贯穿整个高中数学的一条主线，其抽象性让学生在学习时感到困难，尤其是抽象函数.抽象函数的性质通常是利用符号运算或代数方法来推导和证明的，教师讲了不少抽象函数的题目，但学生遇到新题甚至旧题重做时，还是畏惧不知从何下手.究其原因，首先，学生没有掌握对于函数的一般处理方法，没有内化教师的讲解，所以他们的思维水平仍然停留在原有层次；其次，教师是遇到一题讲一题，学生接收到的知识是碎片化的，没有形成完整体系.为了系统地帮助学生学好抽象函数的基本性质，下面以“抽象函数的基本性质复习微专题”为例，探究如何通过“一题一课”模式进行教学.

1 一题一课

波利亚曾说：“一个专心的、认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面.使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”在复习课教学中，我们可以深挖一道典型试题，通过拾级而上的设计和适时适度的引导，不断地把学生的思维引向深入^[1].

“一题一课”模式就是对一道题或一个材料进行深入研究，认真琢磨其本质，通过纵横联系，将孤立问题“串”起来；通过课外拓展，让学生思维“飞”起来^[2].从学生的具体情况出发，科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，使得一节课的教学任务可以达成多维目标的过程^[3].

2 课堂留白

数学课堂留白，指数学教师在课堂教学的某些环节中，有意留出一定的时间和空间让学生自主思考、感悟，为学生构建属于自己的数学认知结构，从事数学探究活动，表达对数学的理解提供机会.现在的课堂中，教师“一言堂”“满堂灌”的情况不在少数，从头讲到尾的情况居多，不给学生思考喘息的时间，导致一些学生前面还没有听懂，教师已经讲到了后面，落下的越来越多.课堂中适当地留白，给学生消化的时间，保证大部分学生能及时跟上教师进度，同时对有点难度的问题，能让学生充分地深度思考，更易产生思维火花，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率.

3 教学案例

本节课是在高一学生学完函数的单调性和奇偶性两大性质后进行的，故暂不涉及周期性和对称性拓展.

题目 已知函数y=f（x），x∈R，且对x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当xgt;0时，f（x）gt;0.

（1）求f（0）的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；

（3）证明：当xlt;0时，f（x）lt;0；

（4）判断函数f（x）的单调性并证明；

（5）若f（-1）=-2，求f（x）在［-2，1］上的值域；求在［-2，3/2］上的值域；

（6）你能把题干中的f（x+y）=f（x）+f（y）稍微变一变，看有什么发现吗？

本题题干简洁，综合考查了抽象函数单调性、奇偶性、求值，同时考查了分类讨论、数形结合、割补等思想方法，对学生的推理能力、创造能力要求较高，难度较大.在高考复习阶段，笔者以本题为载体，通过设计层次性、开放性、拓展性的问题，引导学生学会解题，发展其核心素养.

教师：抽象函数是没有具体表达式或具体值的一类函数，平时同学们遇到它们时常感到害怕，无从下手，今天我们就一起来研究抽象函数的性质，看看它们到底有什么神秘之处，请同学们先来思考这道例题.

学生1：对于第（1）问，可以令x=y=0，得f（0）=0.

学生2：还可以令y=0，得f（x）=f（x）+f（0），故f（0）=0.

教师：我们这两位同学求函数值用的是——（放慢语气，留给学生回答）赋值法，我们常用的赋值有0，±1.

学生3：对于第（2）问，由于定义域为R，故对于x∈R，都有-x∈R.

令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）.由（1），得f（x）+f（-x）=0.即f（-x）=-f（x）.故f（x）为奇函数.

教师：很好！这位同学的证明可以说是滴水不漏，找奇偶性先考虑了定义域，再寻找f（-x）与f（x）之间的关系，这里它也是赋值法，巧用了第（1）问的f（0）=0.

学生4：第（3）问中，题干中已经有xgt;0时，f（x）gt;0，所以设xlt;0，此时-xgt;0，则f（-x）gt;0.

由f（x）在R上为奇函数，得f（-x）=-f（x）.

所以f（x）=-f（-x）.即当xlt;0时，f（x）lt;0.

教师：这位同学回答得非常棒！这也是一道证明题，要证什么就设什么，再往已知上靠，进而基于第（2）问奇函数的基础使用函数性质证明.接下来的第（4）问有部分同学在变形判定符号时遇到了困难，我请三位做出来的同学先来展示讲解一下.

学生5：我用的是拆项变形.

任取x₁，x₂∈R，且x₁lt;x₂，

f（x₁）-f（x₂）=f［（x₁-x₂）+x₂］-f（x₂）

=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）

=f（x₁-x₂）.

因为x₁lt;x₂，所以x₁-x₂lt;0.由（3）当xlt;0时，f（x）lt;0.所以f（x₁-x₂）lt;0.即f（x₁）lt;f（x₂）.即f（x）在R上为增函数.

学生6：我用的是奇函数性质变形处理.

任取x₁，x₂∈R，且x₁lt;x₂，

f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）.

下同学生5.

学生7：我是由题干中的式子直接变形的.

由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（x+y）-f（y）=f（x）.任取x₁，x₂∈R，且x₁lt;x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）.下同学生5.

教师：这三位同学已经把我的台词说完了！我们再一起来总结一下，本小问考查单调性证明，常规步骤后，难点在于变形判定符号，这里给出了三种解法，解法1的变形是通过拆项；解法2的变形是通过奇偶性把减法变成加法，正好对应题干中的条件；解法3的出发点是直接将题干中的式子移项变形，找到一般规律，最终化为单个式子后根据第（3）问的结论判定符号.如果没有第（3）问的证明，在设定了x₁lt;x₂后遇到f（x₁-x₂）的符号判定该如何处理？

学生8：可以把前面设定的x₁lt;x₂改成x₁gt;x₂，再由题干中xgt;0，f（x）gt;0来判定符号.

教师：很聪明！接下来还有两问，请大家思考.

学生9：第（5）问因为f（x）在R上为奇函数，所以f（1）=-f（-1）=2.令x=y=-1，则f（-2）=f（-1）+f（-1）=-4.因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）在［-2，1］上的值域为［f（-2），f（1）］.即［-4，2］.

教师：完成得很好！把-2拆成两个-1相加.那［-2，3/2］上的值域又该如何处理呢？

学生10：令x=y=1/2，则2=f（1）=f（1/2+1/2）=f（1/2）+f（1/2）.则f（1/2）=1.

所以f（1/2+1）=f（1/2）+f（1）=1+2=3.

因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）在［-2，3/2］上的值域为［f（-2），f（3/2）］.即［-4，3］.

学生11：我猜测这道题的f（x）是一次函数，我用f（x）=2x，带进去求得的结果跟他们俩一样.

教师：你的眼光非常好！你是怎么得到一定是一次函数而且f（x）=2x的呢？

学生11：我就用学过的几个函数模型往里面套，发现一次函数正好符合，设f（x）=kx+b，由题干f（x+y）=f（x）+f（y）得到b=0，再代入数据得到k=2.

教师：答案是正确的，但作为解答题我们这样作答是不严谨的，甚至有同学感觉是碰巧的，客观题我们可以这样快速得到答案，解答题这样做不妥.

这道题的模型的确是一次函数，我们还有其他的基本初等函数，能不能仿照题目中的f（x+y）=f（x）+f（y），写出表示其他你所熟悉的基本初等函数的抽象函数表达式？

学生12：我们组给出的是指数函数模型，f（x+y）=f（x）·f（y），

教师：你们是怎么想到的呢？

学生12：两个同底指数式只能相乘，所以我们先写出a^x·a^y=a^x+y，再将f（x）=a^x代入，所以得到f（x）·f（y）=f（x+y），反过来就是上面的式子.

学生13：我们组的方法跟他们一样，不过我们用的是对数函数模型，根据对数的加法运算法则，log_a（xy）=log_ax+log_ay，所以我们得到的式子是f（xy）=f（x）+f（y）.

学生14：我们组得到是f（xy）=f（x）·f（y），这是一个幂函数模型，比如我们取f（x）=x^α，那么f（x）·f（y）=x^α·y^α=（xy）^α=f（xy）.

教师：刚才我们涉及的运算都是加法和乘法，减法和除法是不是也是由加法乘法得来的呢？这样我们又可以得到更多的式子，当然它们跟前面的模型还是一样的.

4 结束语

本节课从常见的抽象函数f（x+y）=f（x）+f（y）出发，全面考查分类讨论、类比、归纳等思想方法，对学生的抽象思维能力、推理能力、创造能力有较高要求，难度较大.在本节课中，笔者通过设计层次性、拓展性、开放性的问题，引导学生学会解题，发展其核心素养.教学过程一直注重“放手等待”，给学生提供思考的“空白时间带”，则可以调动学生思维的主动性与积极性.在教师提问后没有立即让学生回答，而是等待学生思考，以便其清晰完整地表达出自己的观点；在其他同学有新的思路时，不让学生直接展示，而是提出方向先给其他学生时间思考，想不出来再进行点拨，最后进行展示.学生经过探究学习后形成的观点要及时分享，教师才能更恰当地实施评价与指导.最后的留白设置让学生自主探寻更多的抽象函数模型，在探寻一般规律的过程中，类比具体函数的性质特征，帮助学生实现思维上的突破，学生的思维再次得到巩固和发展，同时帮助学生克服心理上的恐惧，找到对抽象函数学习的信心.

参考文献：

[1] 滕好波.开展“一题一课”提升复习质量：以一道中考压轴题为例[J].中学数学教学参考，2023（18）：31-33.

[2] 陈秋月.一题一课攻克难点：以一道高考题为例[J].高中数学教与学，2021（12）：31-32，43.

[3] 张文海.“一题一课”：让高三数学复习走向素养落实[J].数学通报，2020，59（07）：30-34.

［责任编辑：李慧娇］