化隐为明：数学解题中隐含条件的发掘

摘要：解题教学是初中数学教学的重要部分，有利于提升学生解题能力，巩固数学知识，实现学生数学核心素养的培养.在解题过程中，遇到隐藏条件的题目，如果学生无法发掘隐藏条件，就难以有效解答问题.因此，在数学解题教学中，教师需要让学生发掘题目中的隐含条件，拓展学生数学思维，寻找问题解答方法.本文中对数学解题中隐含条件的发掘进行探究.

关键词：初中数学解题;隐含条件;有效策略

在初中数学中，课程知识内容不仅在数量上发生了很大变化，同时在难度的层面也有很大的变化，不仅仅需要学生掌握数学知识，同时需要学生具有较强的思维能力以及抽象能力.在初中数学解题中，学生很容易忽视题目隐含条件的发掘.因此，在教学中，教师要充分利用典型数学题目，引导学生发掘其中的隐含条件，有效解决数学问题，锻炼学生解题能力，促进学生全面发展.

1 利用数学概念，发掘隐含条件

初中数学课堂教学中，数学概念是重要的知识内容，是学生综合素养培养的基础，有利于学生解题能力的培养.在数学概念中，会涉及到一些限制性或者界定性质的条件，为概念的应用奠定基础.根据数学概念相应的条件和要求，在一些数学问题的解答中，特定的条件与要求是不可忽视的解题条件.如根式、平方等概念，在数学问题的解答中，结合题目中相关信息，有效发掘隐含条件，帮助学生有效解题[1].

例1 已知|x+2|与（y－1）2互为相反数，求（x+y）2 022的值.

分析：此题主要考查学生对代数知识的理解，题目中的条件比较简单，为了有效解答问题，需要分析题目中涉及到的数学概念，即绝对值、相反数以及平方式.根据题目中的条件“|x+2|与（y－1）2互为相反数”，同时对代数形式进行分析，可以得出，两个代数式均是非负数.结合对数学概念的理解分析进行推算，发掘题目中的隐含条件，即“两个数是非负数且互为相反数”，唯一的情况就是二者为零，即|x+2|=0且（y－1）2=0，求解得出x=－2，y=1.通过隐含条件的发掘，将x，y代入（x+y）2 022中，快速解答题目，即（x+y）2 022=（－2+1）2 022=1.

例2 关于x的方程x2+（k－2）x+（k2+3k+5）=0存在两个实数根x1，x2，求x21+x22的最大值.

分析：此题主要考查学生对一元二次方程的理解以及解题方法的掌握.为了帮助学生寻找解题思路，需引导学生找出题目中的隐含条件，厘清已知与隐含条件的联系，结合韦达定理，有效解答问题.由x21+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（2－k）2－2（k2+3k+5），得x21+x22=-（k+5）2+19，

在此式的基础上，学生利用一元二次函数与方程的知识，解答问题，得出的结果是不正确的.通过对题目的进一步分析，根据已知条件发掘出一元二次方程有两个实数根的隐含条件即Δ≥0，之后通过简化推算，得出参数k的取值范围为-4≤k≤-43，再结合x21+x22的表达式，得到当k=-4时，x21+x22取最大值18.完成题目的解答.

2 有效分析代数公式，发掘隐含条件

数学学科围绕“数”开展教学，如代数、有理数以及无理数等，代数知识是中学阶段的重要内容，也是数学考试中的热点内容，学生在学习代数知识环节有一定的难度.在数学问题中，有关代数的题目类型比较多，有些问题需要学生发掘和分析其中的隐含条件.因此，在日常的练习中，对于代数公式应用的问题，需要训练学生发掘和利用其中的隐含条件，有效解答数学问题[2].

例3 已知（a2+b2）2－3（a2+b2）－10=0，其中a，b为实数，试求a2+b2的值.

分析：本题考查一元二次方程的解法，以及化归转化思想.根据题目中的题干内容，可以发现题干信息比较简单，通过字母和符号呈现题意.在解题过程中，若忽略隐含条件，则会造成解题错误.如有的学生在解题时，可能会直接利用换元法，即设a2+b2=y，根据题干可以将方程转化为y2－3y－10=0，通过因式分解可以得出y=5，或y=－2，但是，这样的解题过程是不完善的，结果也不准确.因为根据实数性质可知，a2+b2是非负数.根据这个隐含条件，排除a2+b2=-2，得出a2+b2=5.

3 有效分析图形元素，发掘隐含条件

数与形是数学知识构成的重要形式，在数学知识中，不仅是“数”的问题中有隐含条件，在“形”的问题中同样也有隐含条件.在一些图形元素的问题中，题目中的已知条件可能不是解题的关键条件，而在图形中蕴藏着解题的关键点.因此，在解题教学中，教师需要指导学生发掘并利用图形元素中的隐含条件，寻找条件与问题的关系，有效解决数学问题.

例4 如图1，四边形ABCD是正方形，内部包含四个全等的直角三角形以及正方形EFGH，且AH=12，EF=4，求解AB的值.

分析：此题是平面几何中较为简单的题目.在解题中，需要学生根据图形元素进行分析，找出相应的隐含条件，即AH=BG=12，EF=HG=4.根据这些隐含条件，学生才能快速解决问题.对于本题目，可利用三角形全等知识，得出AH=BG=12，利用正方形性质，可得出EF=HG=4，HB=16.在直角三角形AHB中，利用勾股定理求解AB的值，即AB=AH2+BH2=122+162=20.

对于平面几何问题，需要有效利用数形结合思想，将数与形进行转化，结合隐含条件的发掘与利用，简化问题解答过程，有效解决图形类问题.

4 结合关键词句分析，发掘隐含条件

在初中数学解题中，需要学生认真审题，找出题干中的关键词句，通过关键词的分析，发掘题目中的隐含条件，从而顺利解答问题.如语义冲突内容等，是学生需要把握的重要内容，以提高学生解题能力[3].

例5 已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，7），与x轴相交后，得到的线段长度为3，且其对称轴是直线x=1，求二次函数的解析式.

分析：通过对题目的分析，可以找出其中的已知条件，即“截取x轴上长度为3的线段”“对称轴是直线x=1”.根据二次函数的性质，有效利用已知条件对题目进行分析，得出函数图象与x轴的交点坐标是-12，0，52，0.利用此隐含条件，可设二次函数解析式y=ax－52x+12，将点（-1，7）代入函数解析式，可以得出a=4.

所以y=4x-52x+12，即y=4x2-8x-5，顺利得出函数解析式.

5 结合结构特点，发掘隐含条件

在初中数学解题中，发现不少数学问题的已知条件是通过一定的关系呈现的，这些关系具有其自身的结构特点，通常在结构特征中隐含一些条件.在解题中，需要分析结构特点，找出其中的隐藏关系，以顺利完成问题的解答.

例6 已知方程（x2+5x+4）2+（x2+5x+4）－8=0，则x2+5x+4=.

分析：在求解此题时，需要学生阅读和分析题干信息，若从整体上观察，可以看出求解部分的式子结构与条件中的部分内容一致，结构中都是一元二次形式.因此，在解题过程中，指导学生采取整体代换的方式，对问题进行简化求解，将（x2+5x+4）看作整体t，那么题目条件可以转化成t2+t－8=0.同时，需要结合（x2+5x+4）≥-94的隐含条件，引导学生快速简化，完成问题解答.

初中数学解题中，隐含条件是重要的解题信息，确保数学问题解答的准确性与高效性.作为初中数学教师，应当结合典型例题，帮助学生掌握发掘隐含条件的方法，利用隐含条件解题.在具体教学中，结合数学概念、数学公式、图形元素以及题目关键词句等，发掘隐含条件，简化解题过程，提高解题有效性.

参考文献：

[1]王志军.发掘隐含条件 助力数学解题——初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].数理化解题研究，2021（32）：6-7.

[2]朱颖.探讨初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].数理化解题研究，2021（2）：7-8.

[3]杨冬花.关于初中数学解题教学中隐含条件的应用研究[J].数学大世界（下旬），2019（3）：73.