数学解题时应重视题中隐含的条件

李巧云

【摘要】隐含条件就是隐含于题目中的比较隐蔽的而解题又需要的条件.由于它具有一定的隐蔽性，不易发现.因此常被学生所忽视，从而造成解题过程中容易出现错误.在初中数学教学中，教师应重视分析题中隐含的条件.

【关键词】数学；解题；隐含条件

常常容易被我们所忽视的隐含条件，主要表现在以下几个方面：

一、由分式的值为零，求未知数的值时，应注意分子的值为零但分母的值不能为零

例1若分式x2-4x-5x2-5x的值为零，求x的值.

本题看上去没有条件限制，但却隐含着本题成立时必须具备的两个条件，其一是分子的值等于零；其二是分母的值不能等于零.而且这两个条件应同时具备，缺一不可.

解依题意得x2-4x-5=0x2-5≠0解方程组得x=-1.

二、分母有理化时，要注意分母的有理化因式不能为零

例2化简a-ba+b.

题目似乎相当简单，只要分子，分母同乘分母的有理化因式（a-b）即可.但要知道，当a>0，b>0且a=b时，分母的有理化因式（a-b）=0.这就使得这种解法与分式的基本性质相矛盾.显然这种解法是错误的.其正确的解法应是：

解a-ba+b=（a+b）（a-b）a+b=a-b.

三、在二次根式的化简中，一定要记住被开方数大于或等于0

例3已知m≠0，n≠0且|m|=-m，化简mn3.

此题虽有一些条件，但这些条件却是残缺不全的.因此，解题前需认真分析，考察m，n的取值的范围，然后在所取值的范围内化简该式.

解∵m≠0且|m|=-m，∴m<0.

∵mn3≥0且n≠0，∴n<0，

∴mn3=|n|mn=-nmn.

四、把二次根号外的因式移到根号内，移进根号内的因式一定是非负数

例4把根号外的因式移到根号内：（x-1）-1x-1.

学生做此题时，一般会忽略一个条件，从二次根式的定义来看，被开方数一定是非负数.因此：-1x-1≥0，所以x-1<0.根号外的因式（x-1）是负数，把负数移进根号时，一定要把负号留在根号外.正确的解法如下：

解（x-1）-1x-1=-（x-1）2-1x-1=-1-x.

五、解方程时，不能把方程两边含有未知数的相同因式约去

例5解方程x（x-1）=x.

若方程两边同除以x，则x=0时，这一解法显然违背了方程的性质，并会造成漏根.其正确的解法应是：

解移项得x（x-1）-x=0，∴x（x-2）=0，

∴x=0或x-2=0，∴x1=0或x2=2.

六、要切记一元二次方程（或二次函数）的二次项系数不能为零，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数不能为零

例6已知方程（m-1）x2-2（m-1）x+1=0有两个相等的实数根，求m的值.

方程有两个相等的实数根，其意有二：一是方程关于x的一元二次方程（即二次项系数不能为零）；二是此方程的判别式Δ=0.

解依题意得m-1≠0-2（m-1）2-4（m-1）×1=0

解这个方程组得m=3.

例7已知函数y=（m+1）xm2+m+1为反比例函数，那么此函数的两个分支分别在哪个象限内？

函数为反比例函数，其意有二：一是自变量x的次数为-1；二是比例系数m+1≠0即m≠-1.

解依题意得m2+m-1=-1m+1≠0

解这个方程组得m=0，

故反比例函数的解析式为y=1x，

此函数图像的两个分支分别在第一、第三象限内.

七、当涉及一元二次方程根的问题时，必须牢记判别式Δ≥0这个前提

例8已知关于x的方程x2-（2m-1）x+m2=2的两个根x1、x2的平方和是方程x2-12x+35=0的两个根的积，求m的值.

解这类题目时，我们往往疏忽了Δ≥0这个前提，从而造成错误.因此在解这类题目时，切记Δ≥0这个前提.

解原方程x2-（2m-1）x+m2=2，

可化为x2-（2m-1）x+m2-2=0，

∴x1+x2=2m-1，x1·x2=m2-2，

∵方程x2-12x+35=0的两个根的积是35，

∴x12+x22=35，∴（x1+x2）-2x1x2=35，

∴（2m-1）2-2（m2-2）=35，

整理得m2-2m-15=0，

解这个方程得m=-3或m=5，

Δ=[-（2m-1）]2-4（m2-2）=-4m+9.

当m=-3时，Δ=-4（-3）+9=21>0；

当m=5时，Δ=-4×5+9=-11<0，故m=-3.

此外，行程、工程、增产率等问题中的各量均为正数，并且要符合实际情况.分式方程中的分母不能为零，偶次根式中的被开方数为非负数，非正数次幂中的底数不能为零等等.这些题目本身都包含着隐含条件.

为此，解含有未知数（或字母）的数学问题时，必须仔细审题，认真寻找知识间的内在联系，熟练掌握知识间的相互关系，认真分析所含未知数（或字母）在结论成立时所需的附加条件.这样就能避免由于隐含条件的存在而造成解题的错误.