基于DOK理论的数学建模思想在初中数学教学中的渗透

摘要：深度学习是智能化时代教育教学改革的热点，美国教育评价专家韦伯提出了“知识深度（Depth of Knowledge）”的DOK理论.初中阶段，学生从绝对值的非负性开始，其实就已经对“最值”有了模糊的概念.随着知识的深度和广度不断延拓，学生对于线段最值问题的求解往往是能听懂，但很难独立形成完整的解题思路.本文中以DOK理论为基础，以几何最值问题教学为例，根据学生的认知发展规律，由浅入深，一题多变，突破最值问题教学难点，培养学生发散性思维以及举一反三的应用能力，提升学生数学建模等核心素养.

关键词：DOK理论；线段最值问题；一题多变；核心素养

课堂是一场永无止境的“寻宝游戏”，以“学为中心”的教育理念基本成为了教学一线的共识，我们从学生的需要出发，以现实问题为媒介，打开新视角，构筑大模型，来一场既有深度又有广度的质的飞跃.几何最值问题往往会涉及到点动、线动、面动，是教学的一大难点.本文中基于DOK理论，根据初中生的认知规律，从复杂的题目中抽出基本模型，循序渐进，制定分阶段的DOK学习目标，帮助学生更好地掌握线段最值问题的解题思路和方法.

1 DOK理论

美国诺曼·韦伯博士依据布卢姆《教育目标分类学》中的认知领域理论构建了“知识深度等级”（Depth Of Knowledge，DOK），即培养学生知识高阶思维的DOK教学系统.DOK是培养学生实践能力、创新能力的知识深度等级体系，它根据知识需要的思维复杂程度进行分层，按其复杂程度由浅入深分为四个等级：

DOK1（Recall and Reproduction）：回忆和重现

DOK2（Skill and Concepts）：技能和概念

DOK3（Strategies Thinking）：策略性思维和推理

DOK4（Extended Thinking）：拓展性思考.

四个等级是相互独立、各自平等、同等重要的，它不仅适应不同学生的认知发展需求，同时为学生创新素养的培养提供了清晰的路径［1］.

知识深度等级模型如图1所示.

2 DOK理论下将军饮马问题的教学设计

问题概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.问如何行走才能使总的路程最短［2］.

DOK1：关联实际，分类分析

建立模型一（两点在河的异侧）：如图2，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如图3，连接AB，与线段l交于点M，在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.

建立模型二（两点在河的同侧）：如图4，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如图5，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB′的长.从基础模型入手，让学生动手操作，初步了解将军饮马问题的模型和基本思路.

DOK2：模型分析，初阶运用

（1）与三角形综合

例1 如图6，等边三角形ABC的边BC上的高为6，AD是BC边上的中线，M是线段AD上的一个动点，E是AC的中点，则EM+CM的最小值为.

分析：如图7，连接BE交AD于点M，则BE就是EM+CM的最小值.通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD，即可得出结论.

解析：连接BE，与AD交于点M.由AB=AC，AD是BC边上的中线，可知点B，C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，则BE就是EM+CM的最小值.易得EM+CM的最小值为6.

等边三角形是轴对称图形，通过把模型二与等边三角形融合，引导学生思考如何转化线段最值问题，并总结“两定一动”最值问题解题步骤.

（2）与特殊四边形综合

例2 如图8，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3.若E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为.

分析：如图9，过点E作EH⊥BC于点H.利用相似三角形的性质求出FH，EF.因为EF是定值2，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，当点A，F，C共线时，即可解决问题.

解析：如图9，过点E作EH⊥BC于点H.根据题意，易得到EF=2.

过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F.易证四边形ABHE是矩形，四边形EFC′C是平行四边形.易知AF+EC+EF＝AF+FC′+EF≥AC′+2＝4+2＝6［3］.

有了等边三角形的综合铺垫，进一步拓展题目背景，学生能发现其中的共同点，培养学生举一反三的思维能力.在教学过程中，“两定一动”中找哪一个点的对称点能够更加便捷地解决问题，需要不断地引导学生探索，从而提升运用知识的能力.

（3）与坐标系综合

例3［4］ 已知点A（1，1），B（3，5），在x轴上的点C，使得AC+BC最小，则点C的横坐标为.

分析：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则AC+BC的最小值等于A′B的长，利用待定系数法求得直线A′B的解析式，即可得到点C的坐标.

解析：如图10，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC+BC的最小值等于A′B的长，设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），把A′（1，-1），B（3，5）代入可得k=3，b=-4，所以y=3x-4.当y=0时，x=43，即点C的横坐标.

从几何图形到在坐标系中融合函数图象，蕴含了数形结合思想，考查学生的综合应用能力.此时可以放权让学生进行小组讨论，提炼分享，归纳方法，总结技巧.

DOK3：灵活运用，思维提升

例4 间接转化将军饮马：如图11，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且BE＝2，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为.

分析：如图12，连接BD，DE，点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值.

解析：易知△BEQ周长的最小值为12.

DOK4：模型拓展，一题多变

建立模型三：如图13，将军同部队行驶至P处，有哨兵发现前方为两河AB，BC的交汇处，先到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问哨兵在AB，BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.

数学建模：在直线AB，BC上分别找点M，N，使得△PMN周长最小.

方法：如图14，分别作点P关于直线AB，BC的对称点P′，P″，连接P′P″，与直线AB，BC的交点即为所求点M，N，最短距离为线段P′P″的长.

建立模型四：如图15，已知点P在直线AB，BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M，N，求PM+PN的最小值.

方法：如图16，作点P关于直线AB的对称点P′，过点P′作P′N⊥BC，垂足为N，P′N与AB相交于点M，则PM+PN的

最小值为线段P′N的长.

建立模型五：如图17，一条宽度相同的河流两侧有A，B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？

方法：如图18，将点A向下平移MN个单位长度得到点A′，连接A′B，交直线n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为M，点M和点N即为所求，最短距离为A′B+MN.

3 关于最值问题教学的三点思考

3.1 解读风向标，确定新方向

《中小学教师培训课程指导标准》等文件对我们的教育教学工作提出了明确要求，激发学生学习内驱力，培养学科核心素养，是我们需要不断践行的使命.线段最值问题与实际生活密切相关，例如通过将军饮马问题的呈现，学生知道“我为什么要求线段的最值，解决了什么样的问题”，抽象的问题具象化，需要有大量的背景铺垫，一题多变，带领学生共同探究，感悟数学源于生活又高于生活.

3.2 创设大任务，落地新尝试

大任务是一个和学习目标紧密相连的、贯穿学习过程始终的、具体的驱动性问题或活动.线段最值问题作为中考的一大难点，无论是选填压轴，还是与函数、圆、四边形综合，对学生来说都有不小的困难.我们在教学过程中，需要循序渐进地设计例题和变式，利用心理学中的“登门槛效应”逐步提升对学生的阶段性要求，完成各阶段的DOK学习目标，有意识地引导学生从复杂的图形中抽象出数学模型，分解提炼，得出结论.

3.3 找准测量尺，素养见成效

素养的提升是通过任务的完成情况来实现的，最值问题的教学中，通常会涉及到动点问题，衍生出的点动、线动、面动，我们需要在动态过程中找到不变的量，确定题目类型以及对应的解题方法.将动态问题转化为静态问题，再进行深层次的解题研究，思路会更加清晰.为了让学习效果更加可视化，可以采取建立量规式量表的形式，构建一把测量尺，让学生自评，教师点评，完成“教—学—评”一体的完整闭环.

参考文献：

[1]李瑞霞.运用DOK理论开展深度学习的课堂教学[J].北京教育（普教版），2021（6）：75-76.

[2]陈娟.巧构“将军饮马”模型求动点最值问题[J].中学生数学，2023（12）：39-42.

[3]李志东.动态中分析，静态中求解——例谈线段最值问题及求解策略[J].数学大世界（下旬），2022（12）：47-49.

[4]张建华.线段和最值问题的分类赏析——以2022年中考题为例[J].初中数学教与学，2022（23）：30-33.