概率应用题解法探究

摘要：采用列举法求解随机事件概率问题是近几年各地统考和中考的热点题型，也是初中数学的重要知识点，该类问题对于学生的思维要求比较高，而在用列举法处理这类问题时，关键是根据题目寻找解决问题的规律和途径，找到解题的突破口，然后与分类讨论、归纳推理相结合，利用直接列举法和树状图列举法找到试验的所有结果，这是解决问题的核心.文章结合各地的统考题中出现的有关这类综合问题求解策略进行探究.

关键词：初中数学；列举法；解题策略

概率问题是初中数学的重要内容，在最近几年的中考中逐渐成为热点题型，而其中的列举法是解决概率问题的重要方法.要使用列举法求概率，首先要搞清楚题目中的试验给出的总结果是否有限，且各种试验结果的发生是否等可能，这是采用列举法求解概率的两个必要条件，只有同时满足这两个条件，才可以使用列举法进行求解.同时，在利用列举法、树状图法或列表法求解概率问题时，要注意列举了其中一部分试验结果之后，善于寻找和发现问题的规律，从而寻找试验总结果数目，力争使试验结果做到不重复，也不遗漏，有的时候如果一一列举，试验的总结果数目比较多，此时我们可以采用逆向思维，考虑事件的反面情况，这样可以减少运算量，提高解题效率.

例1 （2024·江苏南通初三检测）2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”.为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛.数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表.

请根据以上信息，完成下列问题.

（1）随机抽取的学生为人，统计表1中的n=，统计图1中B等级对应扇形的圆心角为度；

（2）该比赛服务组有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学负责跳绳发放工作，试求恰好选中“1男1女”的概率.

思路分析：本题主要考查统计表和扇形统计图，以及列表法求解概率问题.

对于第（1）问，利用给出的统计表中的频数和扇形统计图中的百分比，列式求出抽取的学生人数，结合总人数即可得n的值；然后根据B等级的频数、抽取的学生总数求出B等级的百分比，即扇形统计图中B等级对应圆心角的百分比.

（2）依据题意列表，得到共有12种情况，且机会均等，而1男1女的情况共有8种，然后不难求出恰好选中“1男1女”的概率.

解析：（1）由题意可知，共被抽取3618%=200（人）.

所以n=200－75－69－36=20.

故统计图中B等级对应扇形的圆心角为75200×360°=135°.

（2）随机抽取结果如表2所示.

共有12种情况，每种情况出现的机会均等，其中是“1男1女”的情况共有8种，

所以恰好选中“1男1女”的概率P=812=23.

例2 （2024·山东济南初三期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，某颜色的球出现的频率如图2所示，则该种球的颜色最有可能是（" ）.

A.黑球

B.白球

C.黄球

D.红球

思路分析：首先求出四种颜色球出现的概率，再依据频率估计出概率，然后根据概率值的大小关系即可判断.

解析：袋子中有4+3+2+1=10（个）球，依据已知条件可以求出白球出现的概率为410=25，红球出现的概率为310，黄球出现的概率为210=15，黑球出现的概率为110.

因为试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.20左右，

所以该种球的颜色最有可能是黄色.

例3 （2024·辽宁本溪初三期中）

某校七、八年级各有350名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：

七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.

七、八年级抽取学生的测试成绩统计如表3.

八年级抽取学生的测试成绩条形统计图如图3.

（1）填空：a=，b=.

（2）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；

（3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.

思路分析：本题考查列表法与树状图法求概率，要依据题意理解统计图，进行数据分析，然后依据众数和中位数的定义，掌握优秀率的计算方法及画出树形图求解.

解析：（1）因为七年级抽取学生的成绩为6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，故众数为8，a=8；因为抽查了15名学生，

所以中位数为从小到大排列第8名学生的分数为8，

故b=8.

（2）350×80%+350×60%=490（人），所以估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为490.

（3）首先把七年级获得10分的学生记为A，八年级记为B，C，D，画出树状图（图4）.

由图4可知，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是恰好是七、八年级各1人的结果有6种，

故选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为612=12.

最近几年各地中考数学概率问题，往往以现实生活中的实际问题为背景，与生活实际联系比较紧密，如健身运动、摸球游戏、知识竞赛、转盘中奖游戏等，解决问题的关键是要在理解题意的基础上，将实际问题转化为数学问题，然后利用所学习的概率中的重要知识点，如直接列举法、列表法及树状图法等进行求解.直接列举法适用于试验结果总数比较少的时候，把所有结果都列出来，然后查找出满足条件的结果个数进行求解；列表列举法是涉及两个因素或分两步进行的试验结果列举的一种解题策略；画树状图是一种解决涉及多个因素或需分三步以上来解决问题的求解策略，此时这种方法更显优越性.总之，对于不同题型，需要根据具体问题灵活选择方法来求解概率问题.