三角函数及解三角形中取值范围与最值问题解法探析

摘要：高中数学三角函数及解三角形中的取值范围与最值问题是教学的难点也是考试的难点之一.文章结合例题对参数ω取值与范围问题、三角形面积与周长的最值与范围问题、有关长度的范围与最值问题三类试题进行了分析.

关键词：高中数学；三角函数；解三角形；取值范围；最值问题

在高考数学中，三角函数及解三角形中的取值范围与最值问题占据了重要地位.这类问题不仅考查学生对三角函数性质和解三角形方法的掌握程度，还侧重于评估学生在复杂情境中灵活应用这些知识的能力.题目通常涉及参数ω取值与范围问题、三角形面积与周长的最值与范围问题、有关长度的范围与最值问题三类.

1 参数ω的取值与范围问题

例1 已知函数y=3sin ωx+cos ωx（ωgt;0）在区间－π4，2π3〗上单调递增，则ω的最大值为（" ）.

A.14

B.12

C.1211

D.83

解析：y=3sin ωx+cos ωx=2sinωx+π6.根据ωgt;0，－π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可以得到－2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω，k∈Z.所以，可知函数y=3sin ωx+cos ωx的单调递增区间为－2π3+2kπω，π3+2kπω〗（k∈Z）.依题有－π4，2π3〗－2π3+2kπω，π3+2kπω〗（k∈Z），则2π3≤π3ω，－2π3ω≤－π4，解得0lt;ω≤12.

故选：B.

解法总结：

此类问题的常见解法有三类.（1）性质分析法.通过三角函数的基本性质，如周期性、对称性、单调性等，可以直接分析并确定函数在某一区间内的取值范围.例如，利用三角函数的周期性，可以判断函数在一个完整周期内的取值情况；利用对称性，可以简化某些特殊角度的计算；利用单调性，可以确定函数在特定区间内的变化趋势.（2）方程和不等式求解法.这类解法通过将三角函数问题转化为求解特定角度或角度范围的问题.需要能够将复杂的三角函数表达式转化为简单的方程或不等式，并通过解这些方程或不等式来确定取值范围.（3）参数化与辅助角法.通过引入辅助参数或角度，可以将复杂的三角函数表达式转化为更简单的形式，从而简化求解过程.这种方法涉及到通过引入新的变量或角度，重新表示原始三角函数问题，使其变得更容易处理.这种方法要求学生能够灵活运用参数化和辅助角的概念，帮助他们在解题过程中找到更直接的途径，简化计算和推导步骤.

2 三角形面积与周长的最值与范围问题

例2 已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.

（1）若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；

（2）若∠ABC=120°，△ABC的面积为932，求四边形ABCD周长的取值范围.

解析：（1）如图1，在△ABD中，由余弦定理可得cos A=32+62－BD22×3×6;在△BCD中，由余弦定理可得cos C=32+42－BD22×3×4.因为∠A+∠C=180°，所以cos A+cos C=0，于是可得32+62－BD22×3×6+32+42－BD22×3×4=0，解得BD=33.

（2）如图2，由S△ABC=12×3×AB×32=932，得AB=6.在△ABC中，∠ABC=120°，由余弦定理得AC2=32+62－2×3×6×cos 120°=63，则AC=37.设AD=x（xgt;0），CD=y（ygt;0），在△ACD中，由余弦定理得

（37）2=x2+y2－2xy·cos 60°=（x+y）2－3xy，则（x+y）2=63+3xy≤63+3×x+y22，得（x+y）24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号.又x+ygt;AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为（37+9，67+9〗.

解法总结：高中数学中三角形面积与周长的最值和范围问题常见的解法有三种.（1）基于几何构造与性质分析的方法，通过构造辅助线、利用三角形的特殊性质（如高线、中线、角平分线等），可以推导出三角形面积和周长表达式，并利用几何优化原理求解最值问题.这种方法强调了几何直观和几何分析能力.（2）三角函数和参数化方法，通过引入三角函数和参数化方法，可以将复杂的三角形面积和周长问题转化为简单的数学表达式求解.例如，利用正弦定理、余弦定理或三角函数的性质，将三角形的面积表示为三角函数表达式，并通过优化方法求解最大或最小值.参数化方法则是通过引入新的参数化变量，简化问题的求解过程，使复杂问题变得更加直观和易于处理.（3）优化理论和数学推导的整合方法，这种方法结合了数学优化理论和推导过程，通过设定约束条件和目标函数，求解三角形面积或周长的最大或最小值.

3 有关长度的范围与最值问题

例3 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2sin Bsin C+cos 2C=1+cos 2A－cos 2B.

（1）求证：B+C=2A；

（2）求c－ba的取值范围.

（1）证明：因为2sin Bsin C+cos 2C=1+cos 2A－cos 2B，所以有2sin Bsin C+1－2sin 2C=1+1－2sin 2A－1+2sin 2B，则sin Bsin C－sin 2C=－sin 2A+sin 2B.由正弦定理可得bc－c2=－a2+b2，即bc=b2+c2－a2，所以cos A=b2+c2－a22bc=bc2bc=12.又A∈0，π2，故A=π3.由A+B+C=π，得B+C=π－A=2π3=2A.

（2）解：根据第（1）问的计算可得sin A=32，cos A=12.因为sin B=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c－ba=sin C－sin Bsin A=23sin C－32cos C－12sin C=2312sin C－32cos C=23sinC－π3.又锐角三角形ABC中，0lt;Clt;π2，0lt;π－π3－Clt;π2，则π6lt;Clt;π2，所以－π6lt;C－π3lt;π6，则－12lt;sinC－π3lt;12，所以－33lt;23sinC－π3lt;33.

故c－ba的取值范围为－33，33.

解法总结：该类试题的常见解法有三种.（1）基于三角不等式和三角形性质的方法，通过应用三角不等式（如两边之和大于第三边等），确定三角形的边长满足的范围条件.（2）三角函数与参数化方法，利用三角函数的周期性和参数化方法，可以将三角形的边长表示为三角函数的形式，并通过最值原理或优化方法求解三角形的最大或最小长度.（3）几何构造与优化整合的方法，这种方法结合几何构造和数学优化，通过构造辅助线或利用几何性质，帮助确定三角形的特定边长范围或优化其长度.例如，通过划分三角形、引入辅助点或线段，可以简化计算和分析过程，确保最终解答的准确性和完整性.

参考文献：

[1]黄柱凤，陈兆坚.基于关键能力考查的“解三角形中的最值与范围问题”微专题复习课教学[J].中学教学参考，2024（8）：33-35.