大学“数学实验”课程教学的研究与实践

摘"要：“数学实验”作为一种新型的教学模式，其教学实施策略的探索显得尤为重要。针对如何有效开展“数学实验”课程教学的问题，我们结合学校情况和学情分析，对“数学实验”课程的内容体系和教学模式进行了大胆且富有成效的探索，开展了丰富多样的教学实践。通过构建“数学实验”课程体系和创新教学模式，为学生提供了更多元、更深入的数学学习体验，使“数学实验”课程成为培养学生创新思维与实践能力的有效途径，对于推动数学教学改革具有重要意义。

关键词：数学实验；数学建模；数学教育

中图分类号：O21""文献标识码：A

随着智能信息时代的来临和计算机技术的迅猛进步，数学的重要性日益被广泛认知。它不仅在传统自然科学与工程技术领域扮演着基石的角色，还深入拓展至生命科学、经济科学及社会科学等多个新兴领域，逐渐成为这些领域不可或缺的支撑力量。数学与各学科的相互渗透及其在技术领域的广泛应用，不仅促进了数学本身的发展，也推动了各个学科理论的前进［1］。数学的广泛应用性主要源自其独特的思维方式。因此，在实施素质教育和高等教育改革的过程中，提升学生的数学文化素质，训练他们的数学思维方式和运用数学方法的能力，具有至关重要的作用［2］。

1"“数学实验”课程开设的必要性

数学教育在培养学生方面，不仅着重于提升抽象思维、逻辑推理、空间想象及数学运算等基础能力，而且更加关注增强学生的新知学习能力、创新思维及创新能力，以及运用数学方法解决现实问题的能力。在这一过程中，数学软件成为学生探索与研究问题的得力助手，通过实验与操作探索数学规律，让学生在实验与操作的过程中理解数学，进行问题的探索、猜想的提出、求解的实践及结果的验证［3］。计算机为学生提供了前所未有的学习环境，学生可借助高效的数学软件和高速的计算机对实际问题进行反复模拟，从观察中发现某些规律，从规律中猜测某种性质，对猜测的性质进行证明，也可对实际问题的数学模型进行大规模的反复计算，从计算结果中验证了模型对问题解释的正确性，从而解决了实际问题。因此，计算机技术和数学软件使得“数学实验”课程的开设非常必要［45］，主要体现在以下几个方面：

（1）理论与实践相结合。传统的数学教学往往侧重于理论知识的传授，而“数学实验”课程则强调通过动手实践来深化对数学概念、定理和公式的理解。这种教学方式能够帮助学生将抽象的数学知识与具体的应用场景相结合，从而提高学习的有效性和趣味性。

（2）培养创新思维和解决实际问题的能力。“数学实验”课程致力于激励学生应用所学知识来解决实际问题，通过一系列实践环节，包括设计实验方案、数据的收集与整理以及结果的分析等，来培育学生的创新思维、批判性思维和高效的问题解决能力［6］。

（3）促进信息技术与数学教学的深度融合。随着信息技术的飞速发展，数学软件、计算机模拟等工具在数学学习和研究中的应用越来越广泛。“数学实验”课程能够引导学生掌握这些工具的使用方法，提高他们利用信息技术解决数学问题的能力，从而适应信息化时代的需求。

（4）激发学生的好奇心，增强其学习兴趣和动力。“数学实验”课程通常包含丰富的实践活动和案例分析，这些活动能够有效激发学生的数学学习兴趣和好奇心，促使他们更加积极主动地参与到学习过程中。同时，通过实践中的成功体验，学生也能够获得成就感和自信心，进而增强学习动力。

（5）推动数学教育改革。“数学实验”课程的引入是数学教育改革的重要方向之一，它打破了传统数学教学的束缚，倡导“以学生为中心”的教学理念，注重培养学生的实践能力和创新精神。这种改革有助于推动数学教育向更加科学、合理、有效的方向发展。

综上，开设“数学实验”课程对于提升学生的数学素养具有显著作用，同时也有助于培养学生的创新思维和强化他们的问题解决能力，对于促进信息技术与数学教学的融合、增强学生的学习兴趣和动力及推动数学教育改革等方面都具有重要的必要性。

2"“数学实验”课程的内涵

“数学实验”作为一种创新的教学模式，强调在教师的指导下，学生运用所学的数学知识和计算机技术，开展具有实践意义的教学活动，旨在分析并解决实际问题［4］。

“数学实验”以数学实验室为课堂，这种环境设置本身就为学生提供了一个与传统教室不同的学习空间。在这个空间里，学生不再是单纯地接受知识灌输，而是可以动手操作，亲身体验数学与实际问题之间的联系。这种实践性强的教学活动，有助于增强学生的参与感和主动性，使他们在解决问题的过程中深化对数学知识的理解和应用。

“数学实验”以学生为中心，以问题为主线，这种教学理念强调了学生在学习过程中的主体地位。通过引导学生自主分析问题、设计解决方案、实施实验并验证结果，“数学实验”不仅促进了学生分析问题和解决问题能力的提升，而且极大地激发了他们的学习兴趣和探索未知世界的精神。同时，这种教学模式也促进了学生之间的交流和合作，培养了他们的团队协作能力和沟通能力。

“数学实验”的一个显著特点在于，它能够将数学思维特别是逻辑思维的过程变得视觉化、形象化。通过将抽象的数学概念和逻辑过程转化为具体的图像和动态演示，“数学实验”能够帮助学生更直观地理解数学原理，降低学习难度，提高学习效率。这种视觉化的学习方式也有助于激发学生的学习兴趣，使他们在轻松愉快的氛围中掌握数学知识。

“数学实验”强调计算机技术在教学中的应用。通过利用数学软件和计算机模拟工具，学生可以更加方便地进行数据处理、模型建立和结果验证等操作。这种技术手段不仅提高了学生的计算机运用水平，还为他们提供了更多的创新空间和可能性。在“数学实验”中，学生可以自由发挥想象力，尝试不同的解决方案，从而培养他们的创新精神和创新能力。

3"“数学实验”课程的内容设置

“数学实验”作为一门独立的课程，其内容可划分为两大类别。第一类是配合常规课程的实验，旨在为学生打下坚实的理论基础并激发他们的学习兴趣。这类实验又可细分为两种：一是重要定理的导引实验，它在常规课程的重难点内容之前进行，旨在让学生通过实验对即将学习的数学问题有一个直观的认识，理解研究的背景、规律及可能的结论，为后续的常规课程学习奠定基础。若能够激发学生对这些问题的兴趣，则效果更佳。二是实践应用实验，如在学完Newton切线法后，让学生自行编程计算，观察不同初值点对收敛速度的影响，以此巩固常规课程知识，并学会实际应用计算，实现知识与技能的双重提升。第二类实验则致力于拓宽学生的知识面，它们不拘泥于特定的数学学科，甚至涉及一些边缘学科。这类实验让学生在丰富多样的数学现象中自由探索、发现，其核心目的是激发学生的学习兴趣，让他们在实践中增长见识，拓宽视野［78］。

教学实践中，教师主要通过生动、赋予启迪的典型案例分析，使学生了解数学模型的建立过程，介绍数学建模的思想和方法，培养和增强学生的想象力、洞察力和创造力，所以在案例的选择上应遵循一些原则。

（1）鲜明的目的性。紧密结合教学实际，旨在帮助学生深入理解教学内容。通过不断对比、归纳、思考和领悟实际问题，运用所学知识寻求解决方案，从而有效提升学生的问题解决能力。

（2）浓厚的趣味性。选择学生感兴趣的例题，营造趣味盎然的学习氛围。学生在享受学习过程的同时，深刻体会数学建模的思想方法和实际应用过程。

（3）高度的科学性。所选案例需符合生活实际，确保数学理论与现实生活紧密相连。通过实践的检验，学生真切感受到数学的实用性和科学性。

4"“数学实验”课程遵循的原则

“数学实验”作为一种数学教学方法，它必然要遵循一些一般的原则，如辩证唯物主义的认识论、实践论以及一般科学规律等。当然，作为一种特殊的教学方法，“数学实验”有着自己的特点，应遵循下面的一些教学原则。

4.1"软件平台的选择

优秀的数学软件是数学方法与计算机科学有机结合的产物，从某种意义上讲是一种数学技术［9］。“数学实验”解决实际问题，需要处理大量数据，进行计算机模拟与数值计算就离不开数学软件。因此，在选择“数学实验”所需的软件平台时，一个合适且功能全面的工具至关重要。MATLAB和Mathematica便是两个备受推崇的选项，它们均属于功能强大的计算机数学系统。这些软件不仅具备卓越的符号演算能力，能够轻松处理多项式的四则运算、展开、因式分解，以及有理式的各种计算，还能求解复杂函数的极限、导数、不定积分，进行幂级数展开，处理矩阵运算和行列式展开等任务。此外，它们在数值计算方面也表现出色，支持任意精度的数值计算（包括实数和复数），能够求解多项式方程、有理方程和超越方程的精确解及近似解；还能求解微分方程，计算定积分的近似值，且精度可控。更重要的是，这些软件能够方便地绘制一元和二元函数的静态图形。如图1和图2所示，为“数学实验”提供了极大的便利。

图1"定积分概念演示

图2"双叶双曲面图形演示

4.2"以学生为主体

“数学实验”课要求学生利用计算机独立完成实验内容，写好实验报告，在解决实际问题的过程中不断探索，在实践中发挥聪明才智。在整个过程中教师以指导者的身份出现，学生为主体，鼓励学生个性发展。

（1）制订实验计划时，不要把实验步骤订得太细，如果订得太细，就会妨碍学生探索的自由度。比如，让学生观察函数的图形，目的是学习连续函数的单调性与导函数的关系，极值、最值与导数的关系等，教师可以先指定一个具体的函数供学生观察学习，随后鼓励学生自主寻找其他函数进行实验探索。在这一过程中，学生可能会发现诸如对称性、奇偶性和周期性等额外的函数性质，这些发现都是值得赞赏和肯定的。

（2）学生应当亲自检验自己得出的结论。由于归纳和猜想的结果通常不够可靠，验证其正确性就需要学生通过实验进行自我检验。在实验过程中，学生可能会发现自己的猜想被驳倒，也可能会因此增强对猜想的信心，这一过程极具意义。猜想往往源自实验，而验证猜想同样依赖于实验。如果实验不能支持某个猜想，那么这个猜想很可能是错误的；即使实验支持了猜想，它仍有可能存在错误，但至少我们获得了更多的正面证据。数学家在进行数学研究时，尤其是在面对复杂问题时，常常采用这种通过实验进行猜想与验证的方法。

（3）实验是允许有误差的，我们可以说一个学生的实验结果是好的、不太好的或者是粗糙的，但不要简单地说学生的实验结果是正确的或错误的。例如，Fermat在观察Fermat数时，认为全体Fermat数都是素的，这就是个粗糙的实验。学生在观察Fermat数时，可能会得出类似的结论，这时我们如果简单地说“做错了”，这就太粗暴了，因为学生的确做了实验，而且实验的数据的确支持这个猜想。这时教师可以建议学生将实验做得更细致一些，而不是单纯地否定。

4.3"开放性

实验在设计上应该有一定的开放性，让尽可能多的学生从中受惠，要做到这一点，实验的设计门槛必须要低一些，也就是说，问题的提出尽可能简单明了、背景清楚易懂。让程度低的学生一开始就能明白自己在做的事情，并且能进行一定程度的探索；随着影响问题的因素的增加和变化，引导学生向问题的纵、深进行探索，直到学生分析归纳出一个结论（可能是猜想），在可能的情况下，最后还可以让学生证明自己得到的结论。这样一来，问题就有了一定的“景深”和“广度”。要让学生对实验有一种“悬而未决”“意味深长”的感觉，使得学生在做完实验后还有进一步去研究问题的冲动。同时，每个实验最后最好能包含一份相关的参考资料，使学生能根据自己的兴趣进一步深入学习。

结语

“数学实验”课作为现代数学教学不可或缺的一环，其重要性日益凸显。为了更加充分发挥“数学实验”课的价值，我们应不断探索“数学实验”课的规律、总结经验，不断改进传统的数学课教学模式，通过利用先进的技术手段，进一步丰富“数学实验”课的教学内容和形式，使其更加生动、有趣且富有挑战性。同时，借助信息技术，还能够帮助我们更高效地收集和分析学生的学习数据，从而更准确地评估教学效果，为进一步优化教学策略提供有力依据。展望未来，“数学实验”课将随着信息技术的不断进步而不断完善和深入，为培养学生的创新思维和实践能力发挥更加重要的作用。

参考文献：

［1］李尚志.陈发来.《数学实验》课程建设的认识与实践［J］.数学的实践与认识，2001（11）：764768.

［2］姜启源.数学实验与数学建模［J］.数学的实践与认识，2001（5）：613617.

［3］李尚志.数学实验［Ｍ］.北京：高等教育出版社，1999.

［4］谢云荪.数学实验［Ｍ］.北京：科学出版社，1999.

［5］姜启源.数学建模［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［6］李有文，王鹏，雷英杰.对数学文化课程的若干思考［J］.大学数学，2010，26（S1）：99101.

［7］韩明.将数学实验的思想和方法融入大学数学教学［J］.大学数学，2011，27（4）：137141.

［8］张翼，盛祖祥，张莹.浅谈数学实验的教学内容与教学方法［J］.中国大学教学，2009（01）：3940.

［9］吝维军，季素月.数学实验——数学方法、数学软件和数学应用的融合［J］.大学数学，2011，27（1）：153156.

基金项目：山西省高等学校教学改革创新项目（J2023"0774）；山西省研究生教育教学改革课题（2023JG124、2023"JG122）

作者简介：梅银珍（1977—"），女，汉族，山西原平人，博士，中北大学数学学院副教授，主要从事组合数学研究。