图形生长探结构，动静融通寻本质

摘要：通过一道中考题的分析与求解，引导学生根据图形生长过程，逐步形成各类模型结构的联想；从静态、动态两种视角分析图形的生长过程，理解各类模型结构的本质，产生多元解题思路，发展核心素养，促进智慧提升.

关键词：图形生长；动静融通；一题多解；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用［1］.数学解题教学又是学生学好数学的有效途径之一.本文中以一道中考题为例，从图形的生长过程，探寻各类模型结构，用动静融通的方法理解各类模型结构的本质.

1 试题呈现

（2022年苏州中考第8题）如图1，点A的坐标为（0，2），B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为（m，3），则m的值为（" ）.

2 试题评价

2.1 背景简单，淡化审题障碍

本题是以图形的旋转为背景，借助平面直角坐标系，求相关点的坐标问题.试题的呈现熟悉自然，便于学生轻松审题，题目素材简洁易懂，条件中出现了60°的角，让学生自然联想到等边三角形、特殊角三角函数等数学知识，一切都是“水流直下”的思考过程，没有审题障碍，凸显命题者的人文关怀.

2.2 方法多元，重视素养考查

几何解题一般有两类重要的思考方法：一类是静态视角，即通过题目中的已知结构特征，联想构造相关的几何模型，建立相关的线段或角之间的数量关系；另一类是动态视角，即从图形运动的角度分析特征，借助轨迹理解题目的本质.本题入口宽，方法多元，充分体现了命题者对学生的抽象能力、几何直观、推理能力、运算能力、应用意识等核心素养的综合考查.

3 解法赏析

3.1 静态视角

从静态视角来看，由不同的条件特征可以联想到不同的几何模型结构，根据全等、相似、特殊角的三角函数等得到线段之间的关系，进而列出方程，由此可以产生多种解题路径.

3.1.1 构造矩形，利用勾股定理列方程

基于题目中已知条件及所求都涉及到点的坐标，而点的坐标可以体现点到坐标轴的距离，从而自然生成作坐标轴的垂线构造矩形，利用勾股定理表示出相关线段，再利用一些线段的关系列出方程.

评析：这种解题思路相对比较直观，但列出的方程是无理方程，运算较为复杂.

3.1.2 构造“一线三等角”全等模型

基于题目中的“AB＝AC，∠BAC＝60°”这两个条件，想到构造“一线三等角”全等模型，能够利用特殊角的三角函数表示相关线段的长度，再利用全等三角形对应边相等列出方程.

思路二：如图3，过C作CD⊥y轴于点D，分别在y轴上取点E，F，连接CE，BF，使得∠CEA＝∠BFA=

评析：这种构造方法较为特殊，思维能力要求较高，但数学运算相对简单.

3.1.3 构造“一线三等角”相似模型

基于题目中暗含了等边三角形，借助于“三线合一”基本图形可以转化成直角三角形，从而见“直角”联想构造“一线三等角”相似模型，在构造过程中又暗含了全等，最后利用线段之间的数量关系求解.

评析：通过等边三角形构造特殊直角三角形一般有两种思路，上面是“割”的方法，还可以用“补”的方法，如图5所示.一割一补，相互呼应.

3.1.4 构造“手拉手”全等模型

等边三角形的“手拉手”全等模型也是常见的图形结构，即在已有的等边三角形的基础之上构造一个与它共顶点的等边三角形，从而产生一对全等三角形，实现边、角的转移.

评析：此思路在构造全等三角形的过程中产生了含60°角的特殊直角三角形，思路较清晰，运算简洁.事实上，只要构造特殊位置下的等边三角形都可以形成“手拉手”模型.

3.1.5 利用辅助圆构造特殊三角形

基于图中的等边三角形，能产生“共顶点等线段”的图形结构，联想构造另一常见基本图形——圆，从而实现边与角之间的互相转化，构造含特殊角的直角三角形.

评析：这一思路的巧妙之处在于利用辅助圆产生含特殊角的直角三角形，图形简洁，计算简便.另外，还可以作△ABC的外接圆，如图8所示.

3.2 动态视角

哲学上说“万物皆有联系”.从动态的视角来分析，在图形的生长过程中总有其内在的联系，把C看成一个动点，根据点B的运动是一条直线，猜想点C的运动也应该是一条直线，那如何求这条直线的解析式呢？

3.2.1 定角加定点确定轨迹

基于题目中给出了等边三角形的条件，再将点B位于原点这一特殊位置时，作相同的旋转变换，构造“手拉手”模型，从而确定定角和定点.

评析：通过其中一个特殊位置产生一个定点，根据“手拉手”模型构造一个定角，由定点定角得到动点的轨迹是一条直线，最后根据点的坐标求出定直线的函数解析式.

3.2.2 两个定点确定轨迹

在图形的变化过程中，往往根据主动点的轨迹确定被动点的轨迹.基于初中的学情无非就是直线型的运动或圆弧型的运动，且主动点的轨迹与被动点轨迹类型相同的原则，从而寻找两个特殊点形成定直线，由此求得直线的函数解析式.

思路七：如图10，在x轴上取点M，N，连接AM，AN，使得∠MAO=∠ANO=60°，作点A关于x轴的对称点E，点N关于y轴的对称点D，再作直线DE，由思路六可知动点C的轨迹是一

评析：根据思路六发现动点的轨迹是一条直线后，确定由两个定点坐标即可求直线的函数解析式.

4 教学思考

4.1 审视图形生长，探究模型结构

数学是一门自然科学，数学概念、规则、思想与方法的起源与发展都是自然生长的.基于此，笔者认为一道好的几何问题中的图形也是自然生长的，那么在解题过程中要理解图形生长过程的本质.

4.2 理解动静融通，寻找模型本质

运动是事物的固有属性和存在方式，静止是运动所表现出来的特殊情形.动与静是相对的，刻画事物的运动和变化需要一个参照物或一个观察点［2］.基于此，笔者认为变静为动，动中取静，动静融通是数学思考和问题解决的基本方式.因此，从动静融通的视角分析探索问题，不仅有助于理解图形的生长，解决相关的问题，更重要的是能帮助学生维持思维的灵动状态，优化思维品质，锤炼辩证思维品格.

4.3 践行核心素养，提升学生智慧

践行核心素养就是落实数学知识、数学方法、数学能力、数学思想.多元解法中融入了数学建模、转化思想、动静融通，从图形的生长到各种模型结构的构建，符合学生心理的认知规律，进而可以提升学生的解题智慧.从本质上来说，就是引导学生会用数学的眼光观察现实世界（数学抽象、几何直观）、会用数学的思维思考现实世界（推理能力、运算能力）、会用数学的语言表达现实世界（模型观念、应用意识）.核心素养的发展集中体现了数学课程的育人价值，让数学知识转化为数学能力，以此促进学生智慧的提升.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]李昌官.动静互助 优势互补［J］.数学通讯，2022（10）：30-32.