勾股定理的三个新证法

摘要：勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.本文中围绕直角三角形三边构建相似形以及辅助线段，通过面积的相似比论证了勾股定理，在提出新的证明方法的同时也引出了常数因子k以及对解题非常有帮助的两个结论.

关键词：勾股定理；证明；直角三角形；圆；相似

1 谈古论今

勾股定理是平面几何学中一个非常重要的定理，长期以来，人们对它作了大量的研究，找到了约500种证明方法，而且丰富了研究数学问题的手段和方法，促进了数学的发展.

在我国，有据可查的勾股定理最早的由来是《周髀算经》上记载着的周公问商高用矩的故事，那时商高便得到了勾股定理.因此，在我国勾股定理也有称为商高定理的.汉时，我国著名数学家赵爽通过自己独创的“弦图”证明了勾股定理.其后，刘徽在《九章算术》中也给出了两种证明方法.

在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.据说毕达哥拉斯在得出这条著名的定理时，认为是上天的恩赐，曾向神供奉了一百头牛，故又称为“百牛定理”.但毕达哥拉斯并没有著作流传于世，也没有任何后世的文献记载毕达哥拉斯所给出的证明方法，有的只是猜测.西方有据可查最早给出勾股定理证明的是伟大的希腊数学家欧几里得，在欧几里得的名著《原本》中的第一篇第47个命题就是勾股定理，书中用面积的方法给出了这个定理的严格证明.尽管欧几里得本人写的《原本》的手稿现已无存，后来的《原本》是通过参考以后其他作者的许多修订本、评注本和简评重新整理出来的，但《原本》中勾股定理的证明属于欧几里得这一点是可信的.

据此推测，西方世界给出勾股定理证明的时间应是公元前500年左右，而在中国至迟在周公去世那一年也即公元前1105年，中国古人商高便能证明一般的勾股定理了.这可能比西方最早给出一般勾股定理的证明早约500年.

笔者在潜心研究中西方不同证法之后，借鉴前人的证明思路，得出了三种自己的证明方法，并在论证过程中得出了两个重要结论.

2 勾股定理的经典“中式”和“西式”证法

2.1 中式证法——赵爽弦图证法

四个全等的直角三角形按如图1所示方式拼接成一个大正方形ABCD，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则大正方形ABCD的边长为c，小正方形EFGH的边长为（a-b），根据大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积，可列方程，得

化简，得

a2+b2=c2

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”.2002年在我国北京召开的世界数学家大会就采用了此图作为会徽.赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明，后世称这个图形为“赵爽弦图”.

2.2 西式证法——欧几里得证法

如图2，△ABC是直角三角形，分别以△ABC的三条边的边作正方形ADEB，ACGF，BCHI，连接CD，BF，过点C作CN⊥DE于点N，交AB于点M.设BC=a，AC=b，AB=c，则根据“SAS”可得△ABF≌△ADC.

同理可证：S矩形BENM=S正方形BCHI=a2.

又S正方形ADEB=S矩形ADNM+S矩形BENM=c2，

∴a2+b2=c2.

3 勾股定理“中西合璧”新证法

3.1 新证法一

结合“赵爽弦图”的等积思想，笔者得出如下证明方式：

如图3，在直角三角形ABC中，作AD⊥BC于点D，∠BAC=∠ADC=90°，AB=c，BC=a，AC=b.

∵△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，

3.2 新证法二

清代数学家梅文鼎先生借鉴“赵爽弦图”中的出入相补原理，在《勾股举隅》一书中给出了勾股定理的一种新的证明方法，结合“新证法一”以及梅文鼎先生的构图思路，笔者得出如下证明方式：

如图4所示，△ABC是直角三角形，以斜边BC为一边作正方形BCDE，过点A作KL⊥BC于点L，KL交DE于点K，则

BL=AB·sin∠LAB.

∵∠LAB=∠ACB，

∴S矩形KLBE=BL·BE=BL·BC=AB2.

∴S矩形KLCD=CL·DC=CL·BC=AC2.

∵S正方形BCDE=S矩形KLBE+S矩形KLCD，

S正方形BCDE=BC2，

∴BC2=AB2+AC2.

综上证明，可得如下结论：

结论1：以正方形一边为斜边的直角三角形斜边上的高将正方形分成两个矩形，这三个矩形（包括正方形）的面积均为其所夹直角三角形边长的平方.

有了这个结论及其图形，勾股定理便一目了然，同时它也将为我们的解题提供便利之处.

3.3 新证法三

基于欧几里得构造相似形证明方法的启发，笔者得出了第三种新的证明方法.

在阐述新证法之前我们先来探求以下两个结论：

①直角三角形斜边上的高线与中线之比为sin 2θ（θ为直角三角形中最小的锐角）；

如图5所示，△ABC是直角三角形，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CH⊥AB于点H，圆的半径为r，∠CAB=θ.

（2）求⊙O的面积与△ABC的面积之比k.

解：

（1）∵∠COH=2∠CAB=2θ，OC=r，

∴CH=r·sin 2θ.

接下来我们运用以上结论来证明勾股定理：

如图6所示，△ABC是直角三角形，圆O、圆O′、圆O″分别是以直角三角形ABC的三边为直径所作的三个圆，过点C作AB边的平行线分别交圆O′、圆O″于E，F，过点B作AC边的平行线交圆O于点D，连接AE，BF，AD，OD，O′E，O″F，作EH⊥AC于点H，FI⊥BC于点I，DG⊥AB于点G.（为了方便看图，图中用半圆代替圆.）

证明：

由已知可得△AEC，△CFB，△ADB，△BCA，△BJC，△CJA均为直角三角形.其中，△CFB≌△BJC，△BCA≌△ADB，△CJA≌△AEC.

∴S△ADB=S△BCA=S△BJC+S△CJA.

∴S△ADB=S△AEC+S△CFB.

设圆O的面积为S1、半径为r1，圆O′的面积为S2、半径为r2，圆O″的面积为S3、半径为r3.

由结论②，可得

S1=k1S△ABD，S2=k2S△AEC，S3=k3S△CFB.

∠ABD=∠ACE=∠CBF，

∴k1=k2=k3.

∴S1=S2=S3.

∴πr21=πr22+πr23.

∴r21=r22+r23.

∴AB2=AC2+BC2.

由上述证明，不但提出了一个证明勾股定理的模型（如图7），还提出了一个比例因子k.

在此模型中，以三条边为基准作三个相似形，若其面积只与其对应边的平方有关，则都可以找到一个类似于k的比例因子，从而用来证明勾股定理.

4 一点感悟

在论文的写作过程中，笔者对勾股定理的证明做了无数的尝试.当看到欧几里得给出的伟大证明后，笔者逼着自己去观察正方形之外的图形.首先想到的是圆，因为只要证明以直角边为直径的两圆面积之和等于以斜边为直径的圆的面积，那么勾股定理就可以由圆的面积公式导出.但利用几何画板做了无数次尝试之后想放弃时，最后抱着再努力一次的想法把图形打印出来，在带有图形的A4纸上勾勒出了一条条辅助线，一个偶然的机会构建出了上文中的图形，证明思路也逐渐形成，随之而来的却是屡屡的失败，不过总算有了小小的进展，彻夜的失眠却想清楚了证明的每一个步骤，一切问题迎刃而解.名留青史的梦想在大脑中闪现，但是本人还是比较清醒：两千年中产生了400多个证明方法，能提出一个新的证明方法的可能性几乎是零.随后便查阅了许多文献，请教了许多教授，也逐步修改完善了证明的步骤，直到提交论文的前一天去图书馆借阅了一本名为《勾股定理》的书，书中第127页讲述了一种“折叠的袋子”的证明方法，利用折叠相似形的思想证明了勾股定理，极大地缩减了证明步骤，但其中的理论依据缺乏论证，若以本文中的2个结论作为支撑，那无疑将是一个伟大的证明.自此本人也深有感触，数学研究不是一朝一夕的功夫，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.