几何画板与数学教学融合的探究

几何画板是一种适用于函数、几何的教学工具，它能将数学对象的运动变化规律及知识间的联系动态地展示出来，具有应用简便、化静为动、化难为易、化抽象为具体等作用.将几何画板深度融合于初中数学教学中，不仅能增强学生的思维与理解能力，还能固解题之本，拓知识之源.

1 几何画板的优势

1.1 直观演示

传统数学课堂离不开利用尺、规、粉笔在黑板上进行作图的环节，这种操作方法耗时费力，且容易出现偏差.借助信息技术中的“几何画板”软件来辅助教学，一方面能节约时间，另一方面能将静态的图形进行动态的演示，为帮助学生建立概念与图形的关系奠定基础，学生从灵活、直观的图示中对知识形成深刻形象的认识[1].并将此认识自然而然运用到解题之中.

1.2 激趣启思

数学主要是由符号、数据与图形组成的学科，即使把概念、定理、公式等都背得滚瓜烂熟，也不一定会解题.正因如此，不少学生久而久之就对数学学习丧失了兴趣.几何画板的介入，成功地转变了学生的这种观念.应用几何画板可将抽象、静止的数学知识变成灵动、活跃的图象，学生可以通过自主操作直观感知图形的位置与形状的变化过程，从而对数学学习产生兴趣，达到“双减”的目的.

苏霍姆林斯基认为：每个学习者都希望自己是一个发现者与探索者.几何画板的操作不仅能满足学生自主发现的需要，还能启发学生的思维，让学生边探索边总结，对知识产生深刻认识.

1.3 促进探究

从心理学的角度来说，初中阶段学生的身心正处于第二生长高峰期，大脑发育并未完全成熟，神经细胞比较容易疲劳.实践证明，这个阶段的学生思维仍以直观形象思维占主导，他们对于生动、鲜明的视觉现象更容易产生探究热情.鉴于此，教师可借助几何画板的直观演示功能，刺激学生的感官系统，让学生产生探索行为，以培养学生的科学精神[2].

2 例析几何画板与教学的融合

2.1 直观演示，激趣启思

教师在课前将几何画板软件介绍给学生，让学生感知这是一种简单有趣、便于操作的软件.课堂伊始提醒学生：对于多动点问题，可将其中一个动点固定再进行分析.

问题1 如图1，已知矩形ABCD中的AB=3，BC=5，点E，F分别位于AB与BC边上，若将纸片沿着EF进行折叠，且使点B落于AD边上的点B′位置，求点B′在AD边上能够移动的最大距离.（几何画板演示，扫码看演示1.）

投影展示一些结论，提高学生学习的积极性.

点评：几何画板的直观演示让课堂充满生机，问题1的提出意在引发学生对几何图形基本知识的回顾，为接下来的教学起到启发作用.

2.2 问题驱动，促进探究

基于模型思想的指导，笔者设计了一系列由浅入深的问题串，让学生在几何画板的动态演示与思路引导下，形成良好的合情推理与演绎论证能力，为自主归纳出线段最值问题相关模型奠定基础，也为数学思想方法的提炼作铺垫.

师：通过问题1，大家能够得到哪些信息？

生（观察后回答）：折叠后两个三角形全等；折叠的三角形是直角三角形；△AEB′是直角三角形……

师（引导提问）：点B′能在点A吗？点B′能在点D吗？

学生有的说可以，有的说不可以.

师（提示）：点B′移动是不是代表折线也在移动？

生（思考后回答）：是的.

师（提示）：题目中是不是对E，F两点有要求？

生（再次看题目要求）：是的，点E，F要求在AB，BC边上.

师（引导提问）：那点E可以和点A重合吗？点F可以和点C重合吗？

学生根据提示思考重合的可能性及对应的点B′的移动轨迹.

学生对线段最值问题有所认识后，教师带领学生借助几何画板来解决点B′的轨迹问题，让学生从直观的几何画板演示中探寻出动中恒定不变的量.

几何画板构造图形：打开几何画板软件，首先构造一个与题设条件相匹配的图形，并于AD边上任意选取一点B′，将点B与点B′相连形成线段BB′，画出线段BB′的垂直平分线，分别与AB，BC边相交于点E，F，再分别连接B′E与B′F.

探究过程：如图2，拖动点B′，让其在AD边上左右滑动.当点B′与点A越接近时，点F与点C越靠近，当点F位于点C的位置上时，点B′和点A的距离最小（扫码看演示2）.

如图3，当点B′与点A的距离越来越远时，点E与点A越靠近，当点E恰好与点A重合时，点B′与点A的距离最大（扫码看演示3）.

几何画板介入以上探究过程，学生对于点F与点C重合时，线段AB′的距离最小有了直观认识，根据题设条件，容易获得AB′=1；对于点E与点A重合时，线段AB′的距离最大，根据题设条件，容易获得AB′=3.因此，点B′在AD边上能够移动的最大距离为2水落石出.

这两步操作让问题1的解题思路一目了然，学生不但可以很快写出解题过程，而且提高了数学思维能力.由此也能看出，几何画板的介入让问题变得更加直观明了，学生也从直观的图形演示中明确了这类问题的解题方法.几何画板不仅开阔了学生的视野，激发了学生的学习兴趣，还增加了学生探索问题的乐趣，学生在寓教于乐中对这类问题触类旁通.然后用下面的练习及时加以巩固.

练习：

问题2 已知圆O和圆O外一点P，在圆O上求作点A，使PA+OA最短.

规定不可使用几何画板，但是由于几何画板的动态直观的特点，几乎所有学生会在大脑中快速出现点A在圆O上的不同位置的图形，根据两点之间线段最短，找出点A在OP与圆O的交点处.

拓展：

问题3 如图4，已知矩形ABCD中的AB=3，BC=5，点E、F分别位于AB边与BC边上，若将纸片沿着EF折叠，且使点B落于ABCD内的点B′位置，求线段AB′的最小值.

几何画板构造图形：打开几何画板软件，首先构造一个与题设条件相匹配的图形，并于矩形ABCD内任意选取一点B′，将点B与点B′相连形成线段BB′，构造出线段BB′的垂直平分线，且分别与AB，BC边相交于点E，F，再分别连接B′E与B′F.

探究过程：如图5，拖动点B′，观察发现当点F与点C越接近时，点B′与点A的距离越小，当点F位于点C的位置上时，点B′和点A的距离越小（扫码看演示4）.

如图6，将点F固定于点C处，拖动几何画板上的点B′，发现当A，C，B′三点处于一条直线上时，点B′与点A的距离最小（扫码看演示5）.为什么在这种情况下，点B′与点A的距离是最小的呢？

当点F固定于点C处时，点B′的运动轨迹为以点C为圆心、BC为半径的圆，根据前面的问题2，当点B′处于AC和圆相交处时，AB′的值最小.

根据教学情况，这里教师再对解题思路和学生的学习情况做出总结，并适当安排最值问题的练习进行巩固.

随着拓展问题的探索，学生的思维得到进一步深化.探索是数学学习的根本，学生在探索过程中，通过对几何画板所演示内容的观察，思维经历了由浅入深的变化过程[3].学生在此过程中将目光聚焦于几何关系中的动与静，体验了“最远”“最近”以及辅助线的画法等过程，充分体验了数学是思维的体操.

总之，随着时代的发展与科技的进步，数学教师也要与时俱进掌握先进的教育教学手段，带领学生借助先进的多媒体技术，在充满智慧与生机的课堂探索中建构新知，发展数学思维与“四基”“四能”，让数学核心素养落地生根.

参考文献：

[1]马丽花.浅谈《几何画板》在数学教学中的优点[J].教育教学论坛，2010（13）：166.

[2]黄晨.“几何画板”在初中数学教学中的应用研究[J].中学数学教学参考，2016（36）：24-25.

[3]胡廷欣，童其林.网络环境下数学教学资源的获取、整合与活用[J].数学通讯，2013（12）：1-3.