有关动点的等腰三角形存在性问题解法探究

摘要：等腰三角形是特殊的三角形，因其角有底角和顶角之分，边有腰和底之分，所以时常被命题者将之与分类讨论思想融合.对于这样的综合题，学生极难招架.有关动点的等腰三角形存在性问题亦如此，对学生解题能力有较高要求.为此，本文中首先呈现引例并探究解决思路，并在此基础上尝试总结等腰三角形存在性问题的解决策略.

关键词：动点；等腰三角形；存在性；分类讨论思想

动点问题是初中数学几何部分非常重要的问题，时常以综合题的形式出现，且只要这类问题出现，学生解题的准确率就急剧下降[1].其实，解决动点问题是有方法的.本文中以有关动点的等腰三角形存在性问题解决策略探究为主，呈现笔者个人在这方面的看法，希望与广大同仁形成有效交流.

1 引例及分析

引例""如图1，在Rt△ABC中，∠ACB是直角.已知AC=8 m，AB=10 m，在AB上有一个速度为2 m/s的点P，正从A出发向B运动.当P的运动时间t=（""）时，△APC正好是等腰三角形.

A.5 s""B.5 s或8 s

C.52s""D.4 s或52s

分析：由于点P在不断运动，△APC的形状也在不断变化.要使它成为等腰三角形，应抓住AC长度不变这一特点，将线段AC分为底和腰两种情况讨论.

2 解决问题

根据上述分析，本题的解决过程如下：

解：根据题意，AC可能为△APC的底或腰.

（1）当AC为底，则AP和CP为腰，此时P是AC的垂直平分线与线段AB的交点.如图2，过点P作AC的垂直平分线，垂足为M.

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得BC=6.

∵M是AC的中点，且∠ACB=90°，PM⊥AC，

∴P是AB的中点.

∵AB=10 m，

∴AP=5 m.

∵点P的速度为2 m/s，

∴t=2.5 s.

（2）当AC为腰，则AP是腰，CP是底.如图3，以A为圆心，AC的长为半径作圆弧，与AB相交于点P.

∵△APC是等腰三角形，

∴AC=AP.

∵AC=8 m，

∴AP=8 m.

∵点P的速度为2 m/s，

∴t=4 s.

综上所述，点P的运动时间t=2.5 s或4 s时，△APC正好是等

腰三角形.

故选：D.

3 反思及方法总结

引例是非常典型的动点问题，属于单动点问题，难度中等.解决这类问题，关键在于根据“△APC正好是等腰三角形”分析动点P的运动状态.动点P在运动后AP和PC的长度都发生了变化，而在这个过程中AC始终未变化，所以AC是解决本题的突破口.那么，AC此时在△APC中扮演怎样的“角色”呢？这就需要根据等腰三角形展开进一步的分析.

等腰三角形的边有两种，一种是底，一种是腰.由于点P运动时AC的长度和位置均不发生变化，所以根据“△APC正好是等腰三角形”可知，AC可能是△APC的底，也有可能是△APC的腰.于是，对此进行分类讨论.

分类讨论法是初中数学中解决问题时使用的一种非常重要的方法，这种方法的基本思路就是将原问题根据一定的标准分解（或分割）成若干个小问题（或基础性问题），通过解决小问题（或基础性问题）实现解决原问题[2].例如，将引例分解为“当AC为底”和“当AC为腰”两个小问题，在分别解决这两个小问题后，最终解决了原问题.

在利用分类讨论思想解决数学问题时，应遵循一定的原则：首先，每级分类按统一标准进行；其次，分类应逐级进行；最后，同级互斥、不得越级[3].例如，在解决引例问题进行分类时，由于“△APC正好是等腰三角形”，所以应思考是根据边分类，还是根据角分类.根据解题过程来看，本题应根据AC这条边的属性进行分类，即AC为底或腰.分类后，对每种情况分别讨论，互不干涉，最后归纳综合，得出“综上所述……”的结论[4].例如，引例同样进行了归纳综合，得出了“综上所述，点P的运动时间t=2.5 s或4 s时，△APC正好是等腰三角形”的结论.不过，此处需注意的是不能有遗漏.为此，解题者应结合题意仔细分析.

4 巩固升华

通过上述分析发现，在遇到动点问题时通常利用分类讨论思想来解决，而且讨论时需先对等腰三角形的边或角进行分类.鉴于分类讨论思想既是初中数学核心素养中的一部分，又是学生解题时不可或缺的一种方法，所以笔者建议教师可将下面这题作为一道巩固练习让学生完成.笔者将此题的解决过程附在本文最后，为教师讲解本题提供参考.

练习""在△ABC中，AC⊥BC，AC=6，BC=8，D是AB的中点.已知DE⊥AB，垂足为D.在射线AC上有一动点P，在BC上有一动点Q，且运动中PD始终与QD互相垂直.如图4，连接P，Q，交DE于点F．如果△PDF是等腰三角形，试求AP的长．

解析：根据题意易得△APD∽△EQD.因为PD始终与QD互相垂直，所以∠PDQ是直角.进一步通过tan∠QPD=tan B，可证得∠QPD=∠B.由于∠PDQ和∠BDE都是直角，因此∠PDF=∠BDQ，进而证得△PDF∽△BDQ.这说明，当△PDF是等腰三角形时，△BDQ也是等腰三角形.于是，对△BDQ的边进行如下分类讨论.

（1）当BQ=DQ时，如图5，过点Q作AB的垂线，垂足为G.

设AP=x，分别在Rt△ACB和Rt△BGQ中，根据cos B得到关系式子

52234－34x=45.

解之得x=256，即AP=256.

（2）当BQ=BD时，设AP=x，则

254－34x=5.

解之得x=53，即AP=53.

（3）当DB=DQ，则∠DQB=∠B，此时点Q在点C处，点P在AC的反向延长线上，

不符题意，舍去.

综上所述，如果△PDF是等腰三角形，那么AP的长为256或53.

与引例不同的是，本题不仅利用了分类讨论思想解决问题，而且还应用了转化思想、数形结合思想.首先，将“△PDF是等腰三角形”转化为“△BDQ是等腰三角形”，即通过分析△BDQ达到间接分析△PDF的目的；其次，本题与相似三角形联系紧密，且根据对应边之比列出了方程，通过解方程求出AP的长，这正是数形结合思想.

总之，在等腰三角形中利用分类讨论思想解决问题经常出现，教师一方面要利用数形结合思想让学生看懂图及理解清楚各线段、各图形之间的关系，另一方面要利用分类讨论思想分析每种情况，不能出现遗漏[5].这样一来，学生才会形成缜密的逻辑思维能力，才会不断提高解决问题的能力.

参考文献：

[1]刘华为.浅谈由动点产生的等腰三角形存在性问题的转化策略[J].中学数学，2019（6）：57-59.

[2]圣慧晴，王龙.二次函数中动点存在性问题解题策略——以三角形存在性问题为例[J].中学数学，2023（2）：77-78.

[3]张璇.基于分类讨论思想研究二次函数与等腰三角形结合问题的解决策略[J].中学数学，2020（6）：78-79.

[4]石明珠.走进等腰三角形，探讨存在性问题——等腰三角形存在性问题的策略探究与反思[J].中学数学，2020（4）：57-58，78.

[5]郭源源.巧构“010”分类妙用“轨迹法”解题——谈两个顶点固定的等腰三角形分类问题[J].中学数学杂志，2019（10）：39-41.