APOS理论指导下的初中数学概念课教学实践与反思

摘要：结合APOS理论，分析初中数学概念课的四个阶段，通过“二次根式”课堂教学实践，重视概念形成过程中的思维发展，帮助学生自觉探究、自主建构，准确把握概念本质.

关键词：APOS；概念课；二次根式；思维联结

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同的表现，在初中阶段，学生开始理解并掌握更抽象的概念和原理[1].如何帮助学生正确理解数学基本概念的发生发展，梳理数学概念学习的共通之处？APOS理论对初中概念课的教学提供了理论支撑，对教师改进教学方法起到指导作用.本文中以“二次根式”教学为例，基于APOS理论实践概念课教学.

1 APOS理论概述

APOS理论是杜宾斯基的建构主义学说，其过程包括活动阶段、过程阶段、对象阶段、图示阶段[2].活动阶段是通过实际问题抽象出数学问题，是概念形成之初的特例研究阶段，在实例中感受概念的一部分特点；过程阶段是学生对特殊实例的归纳，阐述研究对象的主要特点，建立新概念的形象；对象阶段是用数学的符号表示出来或者用数学的语言表达出来；图示阶段是学生进一步理解新概念的内在和外延，探索其性质，形成体系.这四个阶段，给出了数学概念的发生和发展：具体实例—探索共同特征—类比归纳、符号表达—建构图示关联.

2 基于APOS理论的“二次根式”概念的教学实践

2.1 教学内容分析

二次根式是学习了平方根、立方根等内容后，对非负数a的算术平方根的再认识和研究；也是学习了整式、分式后对“式”内容的进一步延伸和完善.二次根式的化简是对勾股定理应用的补充，是后续学习解直角三角形、解一元二次方程的知识储备.

2.2 学生学情分析

学生虽然掌握了实数的加、减、乘、除与乘方运算，已经学习了多项式的因式分解，但二次根式性质的逆用仍然是本节课的难点.在授课前，教师要充分研读教材，关注学生思维，使新旧知识结构化.

2.3 课堂教学实践

笔者结合APOS理论的阶段特点、二次根式的课程内容要求以及授课班级学生的学情特点（无锡凤翔实验学校借班上课），将整节课分为四部分：初识新概念—探究概念特征—辨析概念性质—应用概念性质，实现了APOS理论与课堂实践的有效融合.

2.3.1 活动阶段：回顾旧知，“话”生长点

问题1""（1）4的平方根是多少？4的算术平方根呢？

（2）非负数a的平方根呢？算术平方根呢？

（3）负数有平方根吗？

设计说明：从小题入手，为新概念作铺垫，同时渗透用字母来表示一般规律的数学思维.

问题2""用带根号的式子表示下列问题中的数量：

（1）边长为1的正方形的对角线的长；

（2）面积为S的圆的半径；

（3）直角边长分别为a，b的直角三角形斜边长；

（4）物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需

时间t（单位：s）满足关系式h=12gt2，试用h表示t （g=10 m/s2）.

设计说明：学生列出相应的代数式，但这些代数式不属于整式，也不是分式，是一种新的代数式，初步感受学习二次根式的必要性.

2.3.2 过程阶段：观察归纳，“探”共同点

问题3""观察式子2，Sπ，a2+b2，h5，它们表示什么意义？它们有什么共同特征？

追问：2hg（hgt;0，ggt;0）是这一类型特征的式子吗？

问题4""请同学们说出一个具有相同特征的式子.

设计说明：从意义出发，探究式子的共同特点是含有二次根号（形），且被开方数大于或等于零（质）.学生经历猜想、质疑、交流、释疑.若有学生提出被开方数是整式，只因所给出的例子中被开方数没有出现分式.在从特殊到一般的归纳中，我们只是写出了一部分共同特征的代数式，所以就会有以上困惑.回归概念，a中的a是数，是式，是一个整体，只要满足非负即可，故2hg（hgt;0，ggt;0）具有相同的特征，这就是概念的形成过程.

2.3.3 对象阶段：剖析概念，“辨”内涵与外延

问题5""你能用一个式子来表示吗？你能给它起个名字，下个定义吗？

追问：（1）当alt;0时，a有意义吗？为什么？

追问：（2）当a≥0时，a可能是负数吗？为什么？

问题6""下列式子哪些是二次根式？

（1）35；"（2）32；"（3）xy；"（4）－12；

（5）9 ；"（6）a2+1；""（7）m2+2m+3.

设计说明：抓住“形”和“质”，实现了从具体到抽象的过程.利用概念进行分析比对，观察其“形”，验证其“质”.

问题7""知识拓展：

（1）已知x，y都是实数，且满足y=8－2x+2x－8－3，求（x+y）2 023的平方根.

（2）若无论x取任何实数，代数式x2－6x+m都有意义，求m的取值范围.

设计说明：概念的巩固需循序渐进，利用有梯度的练习使学生明晰性质，深化对 “质”的理解.

2.3.4 图示阶段：正反逆用，“悟”性质应用

问题8""（1）2的意义是什么？（2）2等于多少？

（2）（4）2=_____；（6）2=_____；122=_____；（0）2=_____.

（3）能用一个式子来表达你发现的规律吗？

设计说明：回归算术平方根的意义，探究其性质，渗透从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象、直观想象等学科素养.

问题9""（1）计算：①（12）2;②232;③（a+b）2（a+bgt;0）;④（－35）2.

（2）在实数范围内分解因式：①a3－2a;②x2－23x+3;③5a2－3b2;④9y4－1.

设计说明：因式分解看似是旧问题，却有新发现.以前不能分解的因式，如今在实数范围内可以继续分解，这就是新概念的应用.

3 概念课教学的几点思考

3.1 [ZK（]经历概念的生成过程，探寻概念的内涵与外延

概念的形成是自然而然、合情合理的，教师应深入研究新概念的形成、描述、表达和辨别，应避免硬性规定，机械记忆[3].学生通过合作探究、深度学习后会对概念产生深刻的认识.通过充分认识代数式的特点，说出相同特征的式子，是模仿，但有超越，有升华，被开方数从数到式，从无条件到有条件再到无条件，都是思维的联结和思维的升级.

3.2 构建概念的前后联系，深化概念的性质理解

课标建议整体把握教学内容，强化对数学本质的理解，引导学生从数学概念、原理和法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构.类比分式的学习路径是概念—性质—运算—应用，所以对于二次根式就可以模仿学习，逐一展开，从而建立起有意义的关联.对于二次根式的双重非负性以及性质的逆用，则是抓住概念的本质展开，通过数学活动，感悟数学方法，迁移学习方法，认识数学概念的本质.

3.3 优化概念的抽象理解，升华概念的应用价值

概念教学过程中，一定要“让学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程”，找准概念的切入口，找寻新旧知识的异同点，把具体问题抽象化[4].概念的理解不是一次完成的，需要反复锤炼，反复辨别.在概念建立之后，通过练习加深对概念的认识、理解、记忆和应用.在设置习题时要由易到难，对相近的、易混淆的部分及时进行对比辨析，本节课中设置了二次根式性质的正用、逆用、变用，多角度、多层次、多类型展开，学以致用，促使学生感受概念的应用价值.数学教育的意义不仅在于解题，更重要的是能用“数学的眼光”去观察世界，能用“数学的思维”去思考生活.要重视概念教学，核心概念的教学更要不惜时、不惜力.这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华.在概念教学中要循序渐进，让学生知其然，知其所以然[5].

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]王悦，马旭.APOS理论指导下的初中数学概念课教学——以“直线、射线和线段”为例［J］.数学教学通讯，2023（14）：10-13.

[3]许中煜 .“小”概念，“大”智慧——以“二次根式”为例［J］.中学数学，2023（8）：（41-43）.

[4]徐德同.关于概念教学的几点思考［J］.数学通报，2015（3）：23-26，29.

[5]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程——“平面向量的概念”的教学与反思［J］.数学通报，2010（1）：25-29，33.