小学数学建模教学研究

摘 要：数学建模教学对发展学生的思维起着重要的作用，数学建模基于现实问题，从中加以抽象概括，实现模型的建构以解决数学问题，并用数学结果解释现实问题.建模的过程重在让学生经历知识的形成过程，使学生的建模能力在发现、分析、解决问题的过程中得到不断强化，且建模教学的情境与日常生活紧密联系，能让学生感受到数学的应用价值.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“核心素养内涵”，提到了模型意识和模型观念，这无疑奠定了数学建模教学在义务教育阶段的重要地位，因此，在小学阶段进行简单的数学建模教学也势在必行．

关键词：小学数学建模教学；建模能力；植树问题

小学数学建模教学对培养学生的思维能力、解决数学问题的综合能力都具有积极的作用.笔者希望借助本次建模教学活动，更深地理解小学数学建模教学，丰富小学数学建模教学，为推动课堂建模教学献计献策.通过建模教学实践活动的开展，将数学建模带入课堂教学中，让学生去自主探究建模活动，感知和体验建模，使学生在小学阶段形成初步的模型意识，为高年级学生培养模型观念打下基础，同时引起一线数学教师对培养小学生数学建模能力的重视，教会学生如何去进行数学建模，并借助数学模型解决现实问题，帮助学生形成数学建模的眼光、数学建模的思维以及数学建模的语言去表达现实问题的能力．

1 小学数学建模教学的注意点

1.1 重视建模问题情境的创设

有针对性的问题情境能调动学生的已有经验，引起学生对新知识的渴望，进而产生学习的需求.国外的建模教学是由课堂外进入课堂中，在学生完成一些任务后再进行课堂教学.本研究省略生活化的探索环节，直接将“植树问题”引入课堂教学，在教学中注重情境的创设.有效的情境能快速为新课搭建好合适的台阶，为接下来的建模奠基.良好的问题情境应满足以下两个条件：①与学生的生活实际经验相贴近，生活中的原型呈现在课堂教学中，问题情境的创设将数学回归于日常学习生活中，熟悉的生活经验便于与数学联系.^［1］②有利于学生识别出数学问题.思维是从问题开始的，问题为学生架起思考的支架，学生带着任务和问题学习更能引发自身的探究意识和冲动，进而激发数学建模的意识．

1.2 借助建模教学的辅助工具

建模的过程采用数学语言概括地表达出一个能解决一类问题的数学结构，由抽象过渡到直观，这个过程是复杂难懂的，需在学生已有的认知水平上，借助多种教学辅助工具来建模.针对“植树问题”总结两种教学辅助工具：①列表、画图.列表将信息进行整理，能让复杂的问题简单明了，发现数量之间的关系；能将类似的实际问题归一、归总.在第一轮建模教学中，学生在学习单里将总长分别为20米、25米、30米的植树间隔长度、间隔数、棵树等数据信息呈现在表格中，发现每一栏的间隔数总比棵树少1，便据此建构出两端都栽树的数学模型.画图能使隐藏的等量关系显性化、具体化、直观化，帮助学生化繁为简，找到它们之间的联系.学生通过画图找到间隔数与棵树一一对应的关系，用线段图表达思考过程，从而掌握建模方法.②实物教具.实物也是帮助学生建构数学模型的有效手段，学生通过亲自动手实操，感悟、理解其本质.在第三轮建模教学研究封闭曲线植树问题的探究中，学生借助灯带在圆形外层围一围，将其转化为线段上一端栽树、另一端不栽树的植树问题.在教学资源允许的条件下，教师可借助多种教学工具协助学生建模．

1.3 教学立足点在于建模过程

数学结论固然重要，但若只是一味地强调结果，弱化过程，学生难以真正地理解最终所呈现的结果.建模教学应关注学生在数学活动中的探究.建模过程是课堂教学的重点，重视知识的形成过程是建模教学的关键.学生经过动手操作探究，在假设、验证、求解、解释等数学活动中层层推进，感悟和理解数学模型的本质.^［2］在第二轮的建模教学中针对两端都栽树和只栽一端的问题进行探究，由于时间安排不当省去建模的过程，虽然学生都得到棵树等于间隔数的数学模型，但对其本质和内涵还是似懂非懂，所以在练习中出现了问题，且不能将理由清楚地表达出来.第三轮封闭曲线的建模教学给学生足够的时间去构建数学模型，学生就能很好地掌握和理解棵树与间隔数的关系．三轮建模教学研究重心都在学生探究活动，在此过程中的发现、质疑是学生再创造的过程.学生最终建构出“植树问题”的数学模型，赋予抽象的数学模型以自身的理解和概括，能够阐释清楚数学模型的具体内涵.

1.4 为小组探究提供思考支架

小组合作探究是独立思考后相互交流、展示、容纳和吸收的过程.整个建模教学的过程以合作探究为主，学生个人往往不能直接在隐藏的数学知识中建构出数学模型，而小组合作能在集思广益、共同探索的基础上取得对问题的一致理解，进而分工合作探索问题.当然，在探究的过程中单纯的学习和思考行为无益于高阶思维的形成，有价值的核心问题才能最直接有效地激发学生的思考，因而为学生搭建学习与合作的思考支架，是以学促教的一种手段.在第一轮建模教学中为学生提供合作思考的任务支架，学生顺着任务找到每个问题的答案就是在进入建模的过程.第三轮建模教学中为学生展示了两个活动要求，学生有明确的探究任务要求，并按照活动一和活动二的任务一步一步探索.在这个过程中，学生经历了建模的流程，体验了建模过程的完整性，更能够掌握建模的方法和感悟建模的思想.

1.5 注重多维模型的变式练习

变式运用属于数学建模的重要阶段.学生完成建构模型只是对假设结果的初步判定，为保证数学模型的准确性，必须对其检验，而在变式的练习中能实现对数学模型的检验和运用.检验环节是数学建模活动的基本流程之一，验证也是学生反思、回顾的过程.学生将数学模型放到不同的现实问题中去验证，以建模的视角再次去经历、深化对数学模型的认识.仅在典型例题的探究活动中感受建模是远远不够的，通过变式练习，学生能在数学模型的辅助下形成对某类问题的认识.除此之外，变式练习有助于学生深入把握数学模型的本质，做到闻一知十、触类旁通，也能体会到数学模型的一般化.^［3］在三轮的建模教学中，每一轮都有迁移运用环节，植树问题可延伸至马拉松设置饮水点、公交站台、安装路灯、下围棋等多种不同的现实情境.为了让学生能转化“植树问题”的数学模型，在变式练习中还涉及逆向思维的训练，在这样的练习中不仅拓宽了学生学习的宽度，还巩固了对数学模型的认识.在阐述与分享的思考过程中，学生的数学语言表达能力得到不断强化．

2 小学数学建模的教学建议

课堂教学要高效、有质量地开展，教师在其中起着至关重要的引领作用，要统领课堂的安排，细化到教学方法、探究活动、教学环节等方面的设计.针对本次建模教学的体会谈几点思考建议，希望能为后面进行小学数学建模教学的教师提供一定的参考，让建模教学活动在小学高效地开展．

2.1 理性选择建模教学方法，挖掘建模的元素

教学方法包括教师的教法、学生的学法以及师生的教与学.理性、优质的教学方法既能提高建模质量，又能高效完成建模教学任务.小学五、六年级的学生基本进入形式运算阶段，已具有初步的抽象推理思维，只要教师下达建模教学任务，明确探究的建模问题，学生能够积极主动地参与数学活动的探索.对于五、六年级的学生，在课堂中若一贯地以讲授法为主，40分钟的课堂难以保证注意力的集中.虽然讲授法能在最短时间内将有效的知识和结果传递给学生，但这种单方面的被动灌输，未能真正将新课标的理念贯彻和落实.枯燥的讲授新知识，再灌以大量同质化的练习，长此以往，学生早已倦怠，注意力不集中，容易分散，逐渐丧失学习的兴趣．

建模教学以小组讨论法为主.教师为学生搭起思考探究的支架，以众多问题牵引学生探究，随着问题的逐个解决，“植树问题”的模型建构也凸显出来.在学生小组合作讨论与探究的过程中，教师及时跟进每一组学生的探究进展，结合小组的情况加以点拨.在小组讨论中，学生以建模为中心，一起合作分享交流，相互学习，在相互弥补中理解建模，完善模型.选择小组讨论法为主要的教学方法，每个学生都拥有自由地表达自己见解的机会.学生在小组合作交流中得到反馈信息，及时地调整自己的观点，不同发展水平的学生参与其中，取长补短，共同进步，在探究与合作中理解、应用数学模型，体验模型的构建过程，这有益于学生形成模型观念的经验基础，更好地实现教学目标．

2.2 精心选取建模探究活动，营造合作的氛围

建模过程最重要的就是要开展探究活动，让学生通过一系列的探究活动真正体验模型的建构.在探究活动中不只是纯粹地解决数学问题和建构模型，而是发展学生的数学思维，当然，探究活动要能在轻松愉快的氛围中展开，学生更敢于发言、提问、质疑，主动地去分享自己的见解.小学阶段的学生乐意接受教师的表扬和赞赏，畏惧遇到的学习困难和失败，如果处于一个严肃的探究氛围中，大部分学生依附于学习能力较好的学生，会出现人云亦云，失去独立思考和怯于表达自我想法的机会，习惯于等待答案，产生惰性思想.教师要肯定和鼓励学生的独特见解，共同营造宽松、润泽的探究氛围.建模过程不是一蹴而就的，而是在一个个探究活动中循序渐进累积的，因而要在建模过程中设计合理的探究活动，给足学生思考和分享展示的时间，允许学生探究活动中答案的不唯一，注重小组内部的合作交流.学生能在交流中重新审视和优化自己的思考过程，总结出解决问题的方法.除此之外，建模需要在一个大问题的引领下，设置多个紧密相扣的问题串，以便学生在探究活动中能更深层次地探究各个活动之间的问题.在第三轮建模教学活动一和活动二中，探究活动主要以问题的形式让学生逐个解决.活动一主要是让学生将棵树表征在圆形上，建构出棵树与间隔数的关系；活动二让学生大胆地动手操作验证自己的想法，同样是一个个问题贯穿其中，通过问题加深他们对探究活动的思考．

2.3 科学设计建模教学，创新课堂环节

一般的教学环节包括导入、新课讲授、巩固练习、归纳总结四个部分，该教学环节适用于大多数的课堂，但并没有针对数学建模有计划地进行教学环节设计.数学建模教学的新课讲授环节可按照建模流程设计教学内容，加入理解现实问题，抽象简化现实情境，转化为数学问题，建构模型，模型求解，验证应用等新环节.讲授的过程不必过度强调建模的流程，但讲授的内容应当按照建模的流程来设计，让学生在潜移默化中感知数学建模.将零碎的所学知识进行统整，是学生建构自身知识体系的重要教学环节，它再一次将学生模棱两可、混淆不清的知识进行整合，让学生系统地从整体上有更深的认识.三轮建模教学其核心都是建构数学模型，但每类问题的内部条件和求解问题不同.学生经历了三次建模从产生到结果完整的流程，可以发现三类建模过程都有着统一的解决思路和结构体系.若将三类建模进行对比分析、归纳总结，对学生可能会稍有难度，但教师参与其中，引导学生回顾反思，在此过程中学生更能清楚知识的重难点，并能对线段上植树与封闭曲线上植树两大类型的三种情况更为明晰，在此过程中能将所学知识以及蕴含的思想归属于学生自己.即便延伸拓展出多个不同情境的建模问题，学生仍能掌握数学建模的本质，将其举一反三、迁移运用．

3 结语

数学建模能力的培养不是一蹴而就的，而是一个持久的过程.对此，本研究开展了短周期的数学建模研究，从五年级典型的植树模型入手，在共同探究中，经历建模教学研究，从现实问题到数学问题，最终回到现实问题的过程.对比前后学生的建模测试卷得分情况，学生的建模能力有了明显的变化.对于教学过程中出现的问题，教师需及时进行总结与反思，在后续的建模教学中加以注意．

参考文献

［1］谢小英.小学高年级数学教学中学生建模能力培养研究［J］.考试周刊，2024（18）：65-70．

［2］当子扎西.数学建模思想在小学高年级解决实际问题应用中的教学研究［J］.数理化学习（教研版），2023（7）：44-46．

［3］胡善玉.基于数学建模思想的小学高年级数学应用题教学策略探究［J］.考试周刊，2020（73）：63-64．