对《植树问题》基本数学模型的研究

应方园

摘 要：在实践中，众多教师对“植树问题”感到难教，多数学生感觉难学。主要问题有：学生对三种情况的理解不深刻，尤其是对什么相当于“点”、什么相当于“段”弄不清楚。学生不能根据植树中的间隔情况对应解决生活中其他的间隔问题。

关键词：植树问题；间隔排列；自主探究

一、我们的实践

第一课时：用直观图理解“间隔排列”，学会用一一对应的方法来分析两个量之间的数量关系。

1.通过重复画三角形和圆形，让学生理解像一个三角形隔着一个圆形的排列就叫做间隔排列。

2.用情境图进一步巩固“间隔排列和一一对应分析方法”，感悟出：首尾相同，两种物体数量相差1；首尾不同，两种物体数量相等。

第二课时：研究具体的植树问题，得出棵数与间隔数是“间隔排列”的，并能用“一一对应”的方法分析它们之间的数量关系。

提供一道“数字较小”的开放题：例1：学校计划在一条长20米小路的一边种树，如果每隔5米种一棵树，需几棵树呢？通过让学生画图，提供直观的研究素材，并提示思考方向，重点沟通“三种类型”的联系。

二、怎一个难字了得

《植树问题》是一个经典的问题。在实践中，众多教师感到“植树问题”难教，多数学生感觉难学。这是什么原因呢？

老师难教在哪里？

1.“学生一做作业就闷了！”

2.“植树问题到底要教什么？”

学生难学在哪里？

1.学生对三种情况的理解不深刻，对于其他间隔问题不能进行数学化的抽象，尤其是对什么相当于“点”、什么相当于“段”弄不清楚。

2.学生不能根据植树中的间隔情况对应解决生活中其他的间隔问题。对于什么时候加1？什么时候减1？什么时候既不加又不减混淆不清。

3.学生只会机械使用三种方法进行计算，多数学生并不会数学分析，而是靠死板记忆，机械模仿。

三、我们上下而求索

1.版本A：用一一对应思想解决植树问题

环节一：自主探究

提供一道“数字较小”的开放题：元旦快到了，大家一起装扮教室，在一条长20分米的黑板边上，挂着灯笼和彩带，每5分米长的彩带挂1个灯笼。可以挂几个灯笼？

（1）让学生画图，再列式计算，反馈：你是怎么挂的？明确什么和什么东西是一一间隔排列？是怎么排列的？再说说每个算式表示的含义。

（2）引导沟通三种挂法之间的联系。①这几种类型又有什么相同的地方？发现段数相同，可用“总长÷每段彩带长度=彩带段数”计算出段数。②这几种方法有什么不同的地方呢？让学生明白：挂的方法不同，两端都挂，首尾都是灯笼、灯笼比彩带多1。两端都不挂，首尾都是彩带，彩带比灯笼多1。首尾不同，数量相等。

环节二：沟通本质

思考：生活中还有哪些是一一间隔现象，什么可以看作树，什么看作段？

环节三：应用拓展

围绕一组关于体验高铁时代的实际问题，让学生思考三个问题：这些问题都有什么联系？意在让学生明白不管是车厢长度问题还是电线杆、时间问题都有着相同的数学结构-间隔排列。

2.版本B：用除法运算解决植树问题

环节一：除法运算引入

出示题1：“20米，每5米分一段，共分几段？”

孩子一下就列出了算式：20÷5=4（段）。

师：“为什么用除法来做？”

帮助他们复习用除法算式的最根本意义是平均分。

环节二：制造认知冲突

出示题2：“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？”

大部分孩子的方法是20÷5=4（棵），只有一小部分孩子有不同的想法，认为还要再加1，是5棵，因为在0米时要种一棵。

环节三：聚焦问题本质

追问：“这两题一样吗？不一样在哪里？”

学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一段分，而种树是种在段与段之间两端的点上。

追问：“点与段的差别在哪里？”“点多，还是段多？”“怎么多法？”

为了帮助学生理解这两道题不同之处的实质就必须抓住点与段的区别，学生只要弄清楚这两个概念，那么就清楚了植树问题是一个怎样的问题。学生在老师的启发下，学生渐渐明白：棵（点）=1+平均分，植树是植在点上的。

环节四：促进学生内化

问题1：如果把20米改成50米呢，改成100米，200米呢？你还能解决吗？“不管换成多远，方法都是一样的。”

问题2：“除了植树人把数种在点上，还有什么人把什么也放在平均分的点上？”

环节五：积极变式迁移

情境一：一头不种。当路的一端有一幢房子挡住了，五棵树怎么种呢？教师与学生互动，怎么去解决碰到的问题，有学生说种在旁边，拆房子，不种。最后的結论是，带回一棵树，即一头不种-1。

情境二：两头不种。当路的两端都有房子时，则带回两棵树，即两头不种-2。

教师追问：“除了种树以外，什么情况下可以一头不种，什么情况下可以两头不种？”通过再一次的举例，引导学生知道学与用的区别，体会生活中像植树问题用在点上的例子很多，内化什么是树，树是种在点上。

参考文献：

[1]吴正宪.听吴正宪老师上课[M].华东师范大学出版社，2008.

[2]伊丽莎白·布鲁瑞克斯.好老师因材施教的12个方法[M].中国青年出版社，2010.

编辑 孙玲娟