关于解三角形中的几类典型问题剖析

摘 要：解三角形问题是高考中的必考题，在单选题、多选题、填空题和解答题中都可以出现.由于此内容包含了高中阶段的所有三角知识，其综合性和应用性非常突出，所以大量的综合问题喷涌而出，呈现出精彩纷呈、形式各异的格局.

关键词：解三角形；高考；问题剖析

解三角形问题涉及知识点众多，既可以考查学生基础知识的掌握情况 ，又可以培养学生的思维能力，是高考数学出题人的偏爱.本文通过举例分析研判，讲述几个重点题型及其解题要点，以期给一线教师带来些许帮助.

1 用正弦定理、余弦定理解决三角形问题

正弦定理主要用于解决三角形中，已知“两角带一边”和已知“两边和其中所对的角”，求其他元素问题.余弦定理主要用于解决三角形中，已知“两角夹一边”和已知“三边”求其他元素问题.在综合题中，经常使用正弦定理或余弦定理解决三角形中边的关系与角的三角函数关系之间的转换问题.

例1 在①ac＝3，②csin A＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝3sin B，C＝π6，"" ？

解析：选条件①.由C＝π6和余弦定理得a2+b2-c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b＝c.由ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时c＝1.

选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2+b2-c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b＝c，则B＝C＝π6，A＝2π3.由csin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝23.

选条件③. 由C＝π6和余弦定理得a2+b2-c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b＝c.由c＝3b，与b＝c矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

点评：本题是解三角形问题的综合题的最新模式，虽然难度不大，但涉及了解三角形问题的主要知识点，对此类问题，学生必须熟练掌握，争取做到不失一分.由于问题中有多个选项，具体求解问题时，学生只需要抓住一个熟悉的并且有把握的选项进行求解.

例2 在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若已知a2-（b-c）2＝（2-3）bc，且sin B＝1+cos C，边BC上的中线AM的长为7.

（1）求角A和角B的大小.

（2）求△ABC的面积.

解析：（1）由a2-（b-c）2＝（2-3）bc，得a2-b2-c2＝-3bc，所以cos A＝b2+c2-a22bc＝32.又0lt;Alt;π，所以A＝π6.又sin B＝1+cos C，0lt;sin Blt;1，于是cos Clt;0，即C为钝角，所以B为锐角，且B+C＝5π6，则sin5π6-C＝1+cos C，化简得cosC+π3＝-1，解得C＝2π3，所以B＝π6.

（2）由（1）知，a＝b，sin C＝32，cos C＝-12，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2

+a22-2b·a2cos C＝b2+b24+b22＝（7）2，解得b＝2，故S△ABC＝12absin C＝3.

点评：本题中的求角C和边长b都是通过解方程来解决的，但如何抓住已知条件中的等量关系建立只含有一个变量的方程是解题关键.

2 三角形面积公式的综合应用

由初中的三角形面积公式，结合三角函数知识我们容易得到新的三角形面积公式，即S△ABC＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，此组公式用途非常广泛，它能把解三角形问题推向又一个高度.

例1 在△ABC中，a+b＝11，若cos A＝18，cos B＝916.

（1）a的值.

（2）求sin C和△ABC的面积.

解析：（1）由于cos A＝18，则A∈0，π2，可得sin A＝378.又cos B＝916，则B∈0，π2，可得sin B＝5716.由正弦定理可得asin A＝bsin B.又b＝11-a，则a＝6.

（2）由（1）可知，边a＝6.又a+b＝11，则b＝5.下面只要求出sin C就行了，sin C＝sin［π-（A+B）］＝sin（A+B）＝sin Acos B+cos Asin B＝74，所以S△ABC＝12absin C＝1574.

点评：本题中的求三角形面积，是建立在求三角形中其他对应元素的基础上解决的，所以解三角形仍然是一个重要解题过程，由于面积公式有三个，如何恰当选择也是很重要的.

例2 已知外接圆半径为6的△ABC的边a，b，c，角B，C和面积S满足条件S＝a2-（b-c）2和sin B+sin C＝43，求△ABC面积的最大值.

解析：由于S＝12bcsin A＝a2-（b-c）2＝2bc-（b2+c2-a2）＝2bc-2bccos A，

即有14＝1-cos Asin A＝tanA2，从而有sin A＝817.又sin B+sin C＝43，由正弦定理得b2R+c2R＝43.又R＝6，所以b+c＝43×2R＝16，所以S＝12bcsin A＝417·bc≤417b+c22＝25617，当且仅当b＝c=8时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为25617.

点评：本题中给出了两个条件，由其中一个求出了sin A的值，那么在求三角形的面积时必须抓住此条件建立面积的关系式，再由另一个条件得到b+c＝16，它是运用基本不等式解决三角形面积的最大值的关键条件.

3 三角形的内角和定理的运用

由三角形的内角和定理可以得到，在△ABC中， A＝π-（B+C）；A2＝π2-B+C2等结论.如果A，B是锐角三角形的两个锐角，则A+Blt;π2，如果A，B是钝角三角形的两个锐角，则A+Bgt;π2.

例1 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin A-3a＝0.

（1）求角B的大小.

（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围.

解析：（1）由正弦定理得2sin "Bsin A＝3sin A.又△ABC是锐角三角形，则sin Agt;0，故sin B＝32，所以B＝π3.

（2）由于A+B+C＝π，得C＝2π3-A.又△ABC是锐角三角形，则A∈π6，π2.由于cos C＝cos2π3-A＝-12cos A+32sin A，所以cos A+cos B+cos C＝32sin A+

12cos A+12＝sinA+π6+12，由于A∈π6，π2，则A+π6∈π3，2π3，则sinA+π6∈32，1，故cos A+cos B+cos C的取值范围是12+32，32.

点评：在解答本题的过程中，抓住三角形的内角和定理及锐角三角形的条件，对三角形中的某个角进行必要的缩角处理，从而得出了该角的最小范围.

例2 若三角形ABC的三个内角A，B，C满足cosA-C2＝2sin B2，求角B的最大值.

解析：由cosA-C2＝2sin B2，得cosA-C2＝2sin π-（A+C）2＝2cosA+C2，即cosA2cosC2+sinA2sinC2＝2cosA2cosC2-sinA2sinC2，化简可得tanA2tanC2＝13，于是tanB2＝1tanA+C2＝1-tanA2tanC2tanA2+tanC2≤1-tanA2tanC22tanA2tanC2＝33，由于y＝tan x在0，π2上是增函数，所以0lt;B2≤π6，即0lt;B≤π3，故角B的最大值为π3.

点评：由于题设中给出的是三角形中关于三角形内角的半角函数关系，通过找出了一个关于三角形内角正切函数的关系，然后利用已知条件和所得的结论，结合三角形内角和的关系最终顺利地解决角的最值问题.

4 三角形三边不等关系的运用

在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此可以得到，在△ABC中，Agt;B等件于agt;b等件于sin Agt;sin B的结论.

例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若不等式kb2+acgt;19bc对任意三角形都成立，求实数k的最小值.

解析：在△ABC中，由于不等式kb2+acgt;19bc对任意三角形都成立，即kgt;19bc-acb2＝cb·19-ab恒成立.又在三角形中，clt;a+b，则cblt;1+ab，所以19bc-acb2lt;1+ab19-ab，当19-abgt;0时，1+ab19-ab≤1+ab+19-ab22＝100，当且仅当1+ab＝19-ab，即ab＝9时，有k≥100，所以实数k的最小值为100.

点评：如果题目中含有不等式条件，必须注意三角形边的不等关系的运用，在本解法中，通过利用三角形中三边之间的不等关系构造了一个新的不等关系，成功地达到了消元转化的目的，为最后利用基本不等式求最值创造了有利条件.

例2 已知A，B，C是平面上任意三点，其中BC＝a，AC＝b，AB＝c，试求y＝ca+b+bc的最小值.

解析：依题意三点A，B，C要么构成一个三角形，要么是一个线段，故必有b+c≥agt;0，于是2·（b+c）≥a+b+c，所以y＝ca+b+bc＝ca+b+b+cc-1＝ca+b+2（b+c）2c-1

≥ca+b+a+b+c2c-1＝ca+b+a+b2c-12≥2-12，当且仅当a+b＝2c时，等号成立，即y的最小值为2-12.

点评：通过对题设中的“平面上任意三点”进行挖掘，得到一个重要的不等关系，这是转化函数的重要依据，由此，可以将所给的不等式进行适当变形转化，就可以为运用基本不等式求最值创造了必要条件.

5 与三角函数等知识的交汇

由于解三角形的知识具有丰富的应用性，与许多数学知识都有交集，因而与其交汇类型的题目也很多，其中与三角函数、平面向量等交汇的题目较为多见.

例1 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝b2+c2-a24.

（1）若a＝6，b＝2，求cos B.

（2）求sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）的最大值.

解析：（1）利用面积公式和正弦定理、余弦定理容易求得A＝π4， cos B＝306.

（2）由第（1）问可知，A＝π4，sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）＝sinB+π4+

sin B·cos B+cosB-π4＝2（sin B+cos B）+sin Bcos B，若令t＝sin B+cos B，

则t2＝1+2sin "Bcos B，所以sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）＝2t+12（t2-1）

＝12（t+2）2-32，t∈（0，2］，故当t＝2，即B＝π4时，sin（A+B）+sin Bcos B+cos（B-A）取得最大值52.

点评：本题的核心是一个关于三角函数公式的综合问题，其中解三角形的内容是作为背景条件呈现的，这也是一种常见的考查模式.

例2 在锐角三角形ABC中，若2sin 2A+sin2B＝2sin 2C，试求1tan A+1tan B+1tan C的最小值.

分析：若三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据正弦定理及条件2sin 2A+sin2B＝2sin 2C，可得2a2+b2＝2c2，即2（a2+b2-c2）＝3b2.又由余弦定理得4bccos A＝3b2，即4ccos A＝3b，再根据正弦定理得4sin "Ccos A＝3·sin "B＝3sin（A+C），化简可得tan C=3tan A.又在锐角三角形ABC中，容易证明

tan A+tan B+tan C＝tan Atan Btan C，所以1tan B＝34tan A-14tan A，于是1tan A+1tan B+1tan C＝1312tan A+3tan A4≥132，于是其最小值为132.

点评：在本解法中，利用正切公式的特点，通过将条件式沿着同一个方向转化，从而挖出了一个正切关系的重要结论，这是后面成功解题的关键，解题中的消元、化简、边角转化是非常重要的解题意识.

6 结语

本文介绍了关于解三角形问题的五类主要题型的特点分析和破题关键，其中正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的运用是解题过程中的核心环节，在分析问题时必须抓住问题特点，挖掘隐含条件，注重寻找等量与不等关系进行推演变形，建立进一步推理的重要关系，为沟通其他条件创造关键联系条件.在做与其他知识点的交汇题时应特别注意三角形限制条件的运用，否则容易出错，应该建立必要的预防对策.