基于角的概念分析角的表达方式的教学设计探索

摘 要：角的概念及其表达方式是构建学生空间认知与逻辑分析能力的基础，针对初中生直观感知强于数学逻辑的特点，教学设计应实现从直观感知向数学思维的转化，以角为核心，深入探讨其表达方式.具体来说，首先，通过分类初步建立角的概念；其次，鼓励学生动手实践，直观感知角的特征；最后，深入分析并掌握角的数学表达方式.

关键词：角的概念；角的表达方式；教学设计

在几何教学体系中，培养学生的数学思维与图形辨识能力对于后续知识体系的建构具有至关重要的基础性作用.鉴于角的区分与精准描述不仅是几何学习的基础，也是深化空间理解与逻辑分析能力的关键环节，因此，帮助学生有效掌握角的识别与表达策略显得尤为重要.对于初中生群体来说，由于其在图形认知上往往倾向于依赖直观经验而非严谨的数学逻辑，教学过程需特别注重引导学生实现从直观感知向数学思维的转变.因此，本教学设计以角的概念为核心，围绕角的表达方式展开深入探讨，以期从根本上提升学生的几何认知与理解能力，为他们后续的数学学习奠定坚实的基础.

1 角的认识

角，作为构成几何形状的核心元素之一，其概念贯穿于整个数学教育体系，深刻影响着学生对空间形态的理解与构建.［1］在人教版数学教材中，为了促进学生对角概念的深入理解，其设计遵循了循序渐进、逐层深入的原则，划分为两个关键阶段.第一阶段，针对二年级学生，在上册教材中设置了“角的初步认识”章节.通过生活实例引导学生直观感受角的存在，培养他们识别日常生活中角形物体的能力.同时，教师鼓励学生运用简洁明了的语言，如“顶点”与“两边”的表述，来描述角的基本构成要素，从而初步构建起对角的认知框架，并激发学生对角的学习兴趣.第二阶段，随着学生认知水平的提升及数学基础的夯实，七年级下册教材推出了“角的知识与技能”章节，以进一步深化角的学习内容.此阶段不仅要求学生掌握角的准确绘制技巧及度量方法，还系统地引入了角的分类体系（锐角、直角、钝角等），探讨角的内在性质（角的和、差、平分等性质），并深入剖析角与三角形、多边形等几何形态之间的内在联系.通过这一系列系统且严谨的学习过程，学生不仅能够全面且深刻地理解角的概念，还能灵活运用所学知识解决复杂的几何问题，为后续的数学学习奠定坚实而稳固的基础.

2 基于角的概念分析角的表达方式的教学设计

2.1 探究角的概念

师：回顾小学阶段，同学们已经对角有了初步的感知.现在，请大家拿出练习本，动手尝试画一个角，并细致观察你所绘制的图形.在这个过程中，请思考并尝试用自己的话给“角”下一个定义.

师生活动：学生动手绘制，随后积极分享自己的理解.有的学生说：“角是由两条线组成的，它们有一个共同的点.”教师在此基础上进行引导，补充并规范定义，即由两条具有公共端点的射线构成的图案被称为角.这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线则被称为角的边.角不仅是三角形中最基本的元素，而且在几何证明和解题中起着关键的作用，它被广泛应用于线段相等的证明、两直线平行的判定等多个方面.教师特别强调“公共端点”的重要性，并引导学生观察两条射线之间的相对位置关系，进一步巩固角的概念.同时，教师还通过平面三角形的实例，展示角在复杂图形中的应用，激发学生的探索欲和求知欲.

【设计意图】通过师生共同绘制角度的实践活动，让学生直观感受角的形态，初步认识到角在几何学中的基础性和重要性，进而引发对角定义的思考与讨论.［2］同时，通过强调“公共端点”和射线之间的相对位置，培养学生的观察力和分析能力.此外，利用与图形结合的实例帮助学生将抽象的几何知识具象化，逐步改变其直观判断几何图形的固有习惯，提升学生的几何直观能力.

2.2 角的表示及运用

师：如何描述角？角在几何学中有哪些表示方法？

当在一个角的内部，如∠ABC内部（如图1）引入一条新射线时，如何系统地绘制并标注所有新形成的角？

师生活动：学生根据学习单上的任务指引，自主阅读课本中的相关内容，理解角的基本表示方法.随后，教师邀请几位学生上台，在黑板上标注出图中所有角的表示方法.此环节鼓励学生相互观摩，促进学习交流.教师归纳总结角的表示方法，主要包括以下三种.

（1）用“∠”加上三个大写字母表示，其中代表顶点的字母位于中间位置，如∠ABC.这种方法清晰地指出了角的顶点和两边所在的直线.

（2）使用“∠”加上一个位于顶点的大写字母表示，强调该方法仅适用于顶点处仅有一个角的情况，如∠A.通过讨论“∠BAC能否简化为∠A”的问题，加深学生对这一点的理解.

（3）采用“∠”加上一条弧线连接角的两边，并在弧线上标注一个数字或小写希腊字母表示，这种方法尤其适用于图中存在多个角且需要区分的情况，如∠1、∠α等，它强调了角的唯一性和可识别性.

【设计意图】本环节采用实践操作与理论讲解相结合的方式来加深学生对角表示方法的理解与掌握.通过引导学生自主阅读、思考、交流、实践、整理和总结，旨在培养其良好的阅读学习习惯和思维能力.设置在复杂图形中找角并准确表示角的相关题目，评估学生对角概念的理解程度，锻炼他们的图象识别能力和分类思考的能力，避免部分学生在寻找角时出现缺乏组织结构的情况，鼓励学生回到角的本质特征上，进行有条理、有方向的思考，为后续的几何学习打下坚实的基础.

2.3 角的分类与度量

师：若将“圆规”的两侧视为射线，那么如何准确判断其形成的角是锐角、直角、钝角、平角还是周角？这些角在几何学中又有哪些具体应用？

师生活动：学生首先分享了自己对角的初步认识，教师随即引导学生用“圆规”模拟射线的旋转，通过实际操作感受角的形成过程，尝试从动态视角重新定义角.得到一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角.随后，教师利用几何画板动态展示不同角度的旋转过程，帮助学生直观理解锐角、直角、钝角、平角及周角的区别与联系.

【设计意图】通过“圆规”模拟和几何画板的直观展示，激发学生对角概念的深入思考，帮助学生摆脱静态、片面的理解，建立起对角度形成过程的动态认知.

师：回顾学习单上绘制的角，你能确定它的尺寸吗？有哪些方法可以验证测量结果？请同学们利用手头的工具（量角器）进行操作，并回顾量角器的使用方法.对于特定角度（30°、45°、60°、90°），是否还有其他快速测量的方法？

师生活动：在学生尝试使用量角器测量角的尺寸时，教师适时提醒量角器的正确使用方法，并通过PPT动画展示量角器的操作步骤，帮助学生巩固记忆.对于特定角度，教师引导学生回忆三角尺上的标准角度，并鼓励他们使用三角尺进行快速验证.同时，教师强调在测量过程中保持工具的准确性以及读数的精确性.

【设计意图】通过实际操作与PPT动画的辅助，加深学生对角尺寸测量方法的掌握.引入三角尺快速测量特定角度的方法，不仅拓宽了学生的解题思路，也培养了他们的灵活应变能力.

3 结语

在初中几何教学中，培养学生的数学思维与图形判断能力对后续学习至关重要.本文聚焦于帮助学生掌握区分与描述角的方法，针对初中生特点，提出通过分类建立角的概念，动手实践感知角的特征，以及深入分析角的数学表达方式的教学策略，旨在引导学生从直观感知转向数学思维，提升几何认知与理解能力，促进其用数学语言精准表达与认识世界的能力.

参考文献

［1］巩子坤，许佳敏，张芳铭，等.凸显角本质的学习路径研究：初识角的概念［J］.中小学课堂教学研究，2024（3）：6-9+36.

［2］李建国，赵亚洲.突出概念获得过程锤炼学生数学眼光——以“同位角、内错角、同旁内角”教学为例［J］.数学通讯，2023（21）：14-17.