基于核心素养的跨学科项目式学习案例

摘要：本文中以“秋千的安全距离”作为项目学习的案例，通过综合运用数学和物理的知识与方法解决真实问题.

关键词：综合与实践；跨学科项目式学习；教学建议

“探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，……”这是《义务教育数学课程标准（2022年版）》对初中阶段综合与实践的目标要求.同时对课程实施还指出：“综合与实践领域的教学活动，以解决实际问题为重点，以跨学科主题学习为主.”本文中选择学生熟知的秋千，以“秋千的安全距离”作为探究的项目，在八年级下学期，学生学习完“勾股定理”“平行四边形”“一次函数”三章内容的基础上，创设了这个跨学科项目式学习案例.

1 教学分析

1.1 教材分析

本节课所用到的知识面较广，内容涉及人教版初中数学教科书“第十七章勾股定理”“第十八章平行四边形”“第十九章一次函数”三章的内容，具体如图1所示.

1.2 学情分析

学生对秋千并不陌生，在生活中都见过并且体验过荡秋千，对荡秋千是熟悉且感兴趣的.

学生在本学段已经学习了直角三角形的特殊性质——勾股定理，矩形的性质和判定方法，一次函数的概念、图象与性质等知识，会用待定系数法求解一次函数的解析式.

为了准确地了解学生对与本节课有关基础知识、基本能力的掌握状况，设计了如下课前调研.

（Ⅰ）调研问题

问题1 在直角三角形ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.

（1）若∠A=30°，a=1，则b=，c=.

（2）若∠A=60°，c=1，则a=，b=.

（3）若∠A=45°，a=1，则b=，c=.

问题2 如图2，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连接AF，CE，求证：△BEC≌△DFA.

问题3 如图3所示，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是（写出一个条件即可）.

问题4 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4的图象与y轴交与点A，与x轴的正半轴交于点B，OA=2OB.

（1）求点A、点B的坐标；

（2）求一次函数的表达式.

（Ⅱ）调研结果统计

学生的答题结果统计如表1所示.

通过对测试数据以及学生的典型作答分析可知：本班学生已经熟练地掌握了勾股定理的简单应用及矩形的性质和判定方法，但是对一次函数的应用不够熟练，对数形结合思想的理解不够深入.

1.3 教学重难点分析

本项目式学习采用的方法策略是探究式学法，启发式教法.

教学重点：应用勾股定理、矩形的性质和判定及一次函数解决实际问题.

教学难点：从现实情境中简化变量，抽象出数学模型，提出解决问题的方案.

2 课前学习活动

前置任务：

任务一：请你用自己的语言描述对秋千安全距离的理解和认识.

任务二：对真实的秋千实地测量，并记录数据，填写表2.

设计意图：通过对秋千的实地测量，为本课的研究提供原始数据，为学生的学习提供素材，同时提升学生的实践能力.

3 课堂教学过程

3.1 感受生活，提出问题

教师由欢乐的动图引出本节课主题——秋千，并展示学生荡秋千时的美好瞬间.

问题1 如图4，观察到秋千有哪些组成元素？

教师引导学生从组成元素的角度去思考，忽略秋千的颜色、材质、承重等物理属性.

预设：绳子、座椅、框架、横梁、转轴.

教师引导学生忽略座椅宽窄、形状等因素，只考虑秋千的前后摆动，将实物图转化为立体图，进而抽象成平面图，如图5.

设计意图：通过开放性的问题（问题1），逐步抽象出数学图形，引导学生关注数学研究对象，提升抽象能力，形成模型意识.

问题2 荡秋千的过程中可能存在哪些风险？

学生独立思考后回答，并互相补充.

教师对产生风险的原因进行必要的追问，使学生理解前后方的风险主要由于其他人或障碍物进入了秋千摆动的范围内.

预设：绳子老化、质量差；座椅承重不足；用力过猛、速度过快导致跌落；前后摆动中撞到人；座椅高度不够.

设计意图：通过问题2，建立数学模型，展开对问题的研究.

问题3 你如何理解秋千的安全距离？

学生独立思考后回答，并互相补充.

预设：秋千座椅距离地面的高度；秋千摆动到最高点时的水平移动距离.

教师对学生的回答作出评价，引入“防碰撞区域长度”，使学生明确秋千的安全距离.

活动1：学生根据自己的理解画出秋千前后摆动的示意图，如图6，并标出秋千的安全距离.

追问：秋千的安全距离与哪些因素有关呢？

预设：秋千绳长、横梁高度、秋千摆动角度.

学生独立思考后回答，并互相补充.

跨学科阐释：图6是物理中的一种模型，叫做“摆”，它由摆线（OB）和一个物体（B）组成；同时，从物理角度来看，为什么秋千摆动过程中B是最高点？因为根据物理中的能量守恒定律可知，摆动过程中物体到达的高度不可能超过点B所在的高度.

设计意图：通过问题3，引出本节课主题，将实际问题转化为数学问题，为制定方案做准备.

3.2 分析数据，尝试求解

活动2：请同学们利用课前测量的数据，对如何得到秋千的安全距离给出本组的求解方案，并结合图形加以说明.

学生先独立思考，之后以小组为单位交流讨论，形成方案，最后展示汇报.

教师巡视，引导学生思考

不同方案.

预设：

方案1：直接测量.如图7，将秋千拉起至最高点B，沿着铅垂线在地面上作标记E，测量CE的长度.

方案2：利用几何图形的性质.如图7，将秋千拉至最高点B，测量绳长OA、横梁高度OC及秋千摆动至最高点时与地面的距离BE，从而通过勾股定理求解.

方案3：利用一次函数模型.如图8，将秋千拉至最高点B，以CF所在直线为x轴，以CO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，延长OB与地面交于点F，测量横梁高度OC、秋千拉至最高点B时CF的长度、BE的长度，从而通过列出OF所在直线的解析式求解.

极少学有余力的学生可能提出其他求解方案，如相似三角形、三角函数等.

思考：上述几种方案的共同点是对于较小型的秋千适用，但对于大型秋千，方案中需要的很多数据不可测量.如何使得求解方案更加一般化、更加准确化呢？

设计意图：活动2让学生在调查研究的基础上，培养学生在现实情境中应用数学解决问题的能力.同时，通过小组合作，培养学生的团队精神、沟通能力和实践能力.

3.3 阅读“国标”，初建模型

为避免在荡秋千时前后方向发生碰撞，只考虑座椅摆动至最高点时的水平移动距离往往是不够的，请同学们阅读我国安全标准.

我国《无动力类游乐设施秋千》GB/28711标准中规定：防碰撞区域长度L应为秋千摆动至最高点时的水平移动距离加上2 250 mm（规定中默认绳索在秋千摆动至最高点时与垂直面的夹角为60°）；秋千的防碰撞区域宽度W应至少为1 750 mm.如果秋千座椅宽度超过500 mm，防碰撞区域宽度还需增加秋千座椅实际宽度减去500 mm的数值，如图9.

学生自主阅读材料，结合图示理解安全标准，并用自己的语言解释标准.

追问：国家标准中对哪些量进行了限制？

设计意图：让学生独立阅读并解释国家安全标准，培养他们的综合阅读能力、提取有效信息的能力，并为完善方案提供依据.

问题4 在阅读国家标准后，你能根据自己的数据准确地计算出秋千的安全距离吗？

设计意图：通过追问，了解学生对国家安全标准的掌握情况和理解程度.通过问题4，学生经历对比、分析的过程，在理解变量的基础上，根据新的条件完善自己的方案.

活动3：学生对照标准，独立思考后计算出秋千的安全距离，然后进行展示评价.

预设：如图10，结合国家标准，利用绳长和30°角所对的直角边是斜边的一半，计算OD，BD的长度（单位：m），再根据矩形的性质可得秋千的安全距离d=CE+2.25.

追问：你能说明秋千的安全距离d和绳长l的一般关系吗？

学生独立思考，推理秋千的安全距离和绳长的关系，并用一般化的符号语言表达.

预设：d=32l+2.25.

设计意图：通过追问，促使学生推理变量之间的一般关系并用符号语言表达，培养学生用数学的语言表达现实世界的能力，同时结合国家安全标准来建立模型，发展学生的模型观念.

3.4 小结

师生活动：学生交流本节课的收获和感受，教师作出最后总结.

设计意图：通过学生的总结，了解学生对综合实践课的感受和收获，同时帮助学生梳理这节课的思路，加深对数学活动课的体会

4 两点思考

本节课学生经历实地测量、画图分析、交流讨论、阅读资料、计算推理的过程，达到了增强实践能力，发展几何直观，提升抽象能力和推理能力；同时形成模型观念，增强应用意识和创新意识.

4.1 项目式学习中的项目选择

项目式学习中所涉及的问题主要是现实世界中具有开放性的问题，问题解决需将现实问题转化为数学问题.选择项目的时候必须根据课标要求、教材及教学进度选题.宜考虑适龄学生的生活、学习及各种活动的实际问题；宜切实考虑到学生的城乡生活环境、水平差异.同时要考虑开展项目学习的可行且充分的条件.需要数学教研组教师集思广益、群策群力，精选最优方案.

4.2 跨学科项目式学习中的“跨度”

项目式学习的关键是发掘合适的项目，要关注问题是否是跨学科的，涉及跨学科的项目式学习要考虑学习中的“跨度”问题.我们的做法是：在项目式学习的前置任务中作跨学科知识的铺垫，在学生问题解决过程中作跨学科知识阐释或现场学习，跨学科知识阐释或现场学习不能喧宾夺主，宜避重就轻，学生了解或理解，不影响问题解决即可.