基本图形深探究 一题一课渐次开

摘要：从学生的一道易错题谈起，找出学生的易错点、盲点和容易疏忽的细节，达到误中悟！一题一课式是基于教师对教学内容的深入分析和解读，对重点问题或图形进行一般化、特殊化的重组与整合，转换成符合学生实际的教学内容，形成对课程内容的整体把握和结构化处理，有利于提升课堂教学效率，引领学生深度学习，推动数学知识的结构化.

关键词：一题一课；误中悟；转化倍角；中学数学

1 引言

面对学生在数学课堂上出现的错误，教师若能恰到好处地发挥教学机智，及时捕捉学生生成的错误，以独特的视角去发现错误的价值，就能获得错误资源.传统复习方式习惯于知识梳理、例题讲评、巩固训练式的流程，导致课堂存在“大容量、小问题，浅思考”的现象，学生对数学问题浅尝辄止［1］.为此，笔者通过“一题一课”对问题不断分析、不断联系、不断深入，引发学生思考，激发学生讨论，提供更多的机会让学生发现和提出问题、分析和解决问题，培养学生整体性、系统性、综合性的思维方式，从而让深度学习真正发生.真正落实“双减”！下面以一道学生易错的转化倍角的题目为例探讨一题一课式的教学设计.

2 内容解析

如果题目中出现了一个角是另一个角的2倍（这是八年级下册中常见的一种题型），那么该如何入手？

例 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC，求证：∠A=90°.

很多学生甚至有些资料上给出的证法是这样的：

证明：如图2，在CB上截取CD=AC，连接AD.

因为BC=2AC，所以BD=CD=AC.

所以∠CAD=∠ADC，∠BAD=∠B.

因为∠ADC=∠BAD+∠B，

所以∠ADC=2∠B.

因为∠ACB=2∠B，所以∠ACB=∠ADC.

所以∠ACB=∠CAD.

因为∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°，

所以2（∠BAD+∠CAD）=180°.

所以∠BAD+∠CAD=90°.

故∠BAC=90°.

显然BD=CD=AC，并无法推出∠BAD=∠B.此解法错误.那么，如何引导学生“以误顿悟”？

核心关键是如何转化这个倍角？这种证法的意图是证明∠BAD=∠B，能否有所改进？题中给出的条件是∠ACB=2∠B，只需要让∠ADC=∠C，即AD=AC.现做如下修改：

思考1：通过画弧构造等腰三角形.

如图3，已知条件：∠ACB=2∠B.

以点A为圆心，AC为半径作弧，交BC于点D，则△ADC为等腰三角形.因为∠ADC=∠ACB=2∠B，所以∠BAD=∠B，即△ABD也为等腰三角形.

不少学生猜测∠B=30°，能否证明呢？

证法1：

以点A为圆心，AC为半径作弧，交BC于点D，则AD=AC，所以∠C=∠ADC.

又∠ACB=2∠B，于是∠ADC=2∠B=∠B+∠BAD，则∠B=∠BAD，所以BD=AD=AC.

因为BC=BD+DC=2AC，所以DC=AC.

所以△ADC为等边三角形.

所以∠C=60°，∠B=30°，故∠BAC=90°.

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，就可以通过画弧得等腰三角形，从而转化倍角.

思考2：通过平分角构造等腰三角形.

如图4，已知条件：∠ACB=2∠B.可作CD平分∠ACB，则△DBC是等腰三角形.

证法2：如图5所示，作CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E.

因为∠ACB=2∠B，所以∠B=∠BCD.

所以△DBC是等腰三角形.

又DE⊥BC，所以BE=CE.

又BC=2AC，

所以AC=EC.

所以△ACD≌△ECD.

故∠A=∠DEC=90°.

思考3：通过线段的垂直平分线构造等腰三角形.

由于垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此产生等腰三角形.

如图6，已知条件：∠ACB=2∠B.可作边BC的垂直平分线DE，则△DBC是等腰三角形.

证法3：如图6所示，作边BC的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，连接CD.

因为DE垂直平分线段BC，所以BD=CD，∠B=∠BCD.

因为∠ACB=2∠B，所以∠BCD=∠ACD.

因为BC=2AC，所以CE=AC.

所以△ACD≌△ECD.

故∠A=∠DEC=90°.

证法4：当然也可以作AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连AD，如图7，则△ADB是等腰三角形，所以∠C=∠ADC.

证明同方法1，就不赘述了.

思考4：通过外角构造等腰三角形.

在等腰三角形中顶角的外角等于其底角的两倍，如图8，若∠ACB=2∠B，所以如果延长BC至点D，使CD=AC，连接AD，则△ADC是等腰三角形.

证法5：可以延长BC至点D，使得CD=AC，连接AD.

易证∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D.

又∠ACB=2∠B，所以∠B=∠D.

所以AB=ＡD.

取BC的中点E，连接ＡE，如图8.

所以BC=2BE=2EC.

又因为BC=2AC，所以BE=EC=AC.

所以BE=EC=AC＝CD.

所以∠EAD=90°，

△ABC≌△ADE.

故∠BAC=∠EAD=90°.

思考5：如图9，若2∠B=∠ACB，有学生提出，在△ABC外作∠ABD=∠ABC，交CA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形.

那么，此题这种方法行不行得通？学生经历了各种尝试，都证不出来，根本原因是无法证明AC＝AD或BD＝CD.但通过不断的尝试，学生将知识点理解得更为透彻！

错误不是无情物，化作资源更护“花”.因为有错，所以有点拨、引导和解惑；因为有错，所以有反思、反省和修正；因为有错，所以有研究、创新和超越.作为中学数学教师，我们要善于从学生的错题中挖掘出宝藏，引导学生“以误顿悟”［2］.

3 总结回顾

借助基本图形采用一题一课的形式进行深入探究，简洁高效，节省了读题与审题的时间，减轻了学生课堂学习负担，避免了题海战术，不仅在探究、总结中锻炼了学生的思维能力、发展智育，有利于减负增效，还提高了学生学习兴趣；虽为一题多解，但本质核心都离不开构造等腰三角形.学而思，思而乐.由乐学到会学再到好学、由被动学习到主动学习，实现轻松愉悦的高效学习.同时，探究过程兼顾不同学生的学习需求，使得不同的学生在一节课中可以得到不同的收获.对于一题一课的设计，首先要选取一个好的母题，其来源可以是教材中的例题与习题，也可以是从中提炼出的基本图形.

课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的亮点，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构［3］.因此，课堂教学过程是获得生成性错误资源的肥沃土壤.

基本图形深探究，一题一课渐次开.这不仅使学生的数学学习能力得到提高，而且会对学生将来的工作、生活产生积极影响，会受益终生.可谓，错亦有情，误中悟道！

参考文献：

[1]洪顺庆，程龙军.深入探究基本图形 渐次展开一题一课——以“相似三角形的判定”单元复习课为例[J].中学数学，2022（20）：52-54.

[2]唐录义，李巍.“误中悟”教育方式的实验探索[J].中国数学教育，2019（21）：43-48.

[3]张徐生.错误不是无情物——数学解题中的错误辨析与归因分析[J].中学数学教学参考，2014（10）：39-42.