初中生数学运算能力培养探究

摘要：文章立足新课标对数学运算能力提出的要求，从深度学习的角度剖析初中生数学运算能力现状及问题归因，构建初中数学“数与代数”运算学习策略，为“减负增效”背景下数学核心素养的落实提供新思路.

关键词：运算能力；深度学习；算理探究；运算方法优化

1 研究背景

2022年4月，教育部印发了《义务教育阶段数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版课标”），并于2022年秋季学期开始执行.2022版课标明确提出将运算能力作为数学核心素养之一，并将其界定为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”.对学生运算能力的要求不只局限于正确运算，还要求学生能理解算法与算理之间的关系，能选择合理简洁的运算策略解决问题，进而促进数学推理能力的发展.

2 现状分析

2.1 现状分析

笔者与课题组成员调研时发现，在数学运算教学的过程中，教师的教和学生的学仅停留在浅层层面，过度侧重运算的重复性机械性练习，而对运算算理、运算方法的探究不够重视.

本次调研的学生涵盖本校6～9年级近四千名学生，通过对学生的卷面错误进行归因分析、二次过关和针对性调查谈访，将学生运算能力现状归纳为五个层面（图1）.调查表明，学生运算能力整体表现较为薄弱，大多数问题了解和掌握程度不足60%，随着年龄的增长和所学知识的增加，学生运算能力整体有所提升，但在运算转化和运算方法辨析上存在不同程度的减退.

2.2 运算问题归因分析

以深度学习为导向，结合对学生运算能力的现状分析，将学生运算问题归因为以下三个方面.

一是对算理探究的忽视.数学运算课可分为运算概念课、运算法则课、运算运用课，不论是概念的归纳还是法则的概括亦或是思想方法的渗透都具有一定的抽象性，所以传统的灌输式、填鸭式的教学模式逐渐被一线教师抛弃.但在运算课教学中，仍有不少教师以巩固练习为主而忽视算理的探究，给学生造成“知其然而不知其所以然”的困惑，在评价学生学习时更是单纯以运算结果是否正确为导向，忽略学生运算能力的发展.

二是缺乏正向迁移.在进行运算错因分析时，发现学生因基础知识不扎实、运算顺序不规范导致运算错误的情况占比最大，而这种现象的指向根本在于没有达到前后知识的关联和迁移运用.以有理数运算为例，有理数是初中阶段第一次对数系的扩充，运算中也增加了乘方、绝对值等新运算，若不能在非负有理数运算的基础上正向迁移运算法则，会导致在运算过程中频频出现运算错误.

例1 计算：－14－－18×（－4）.

分析：学生在运算顺序上误将减法在乘法之前计算，即误认为是18×（－4）.错误的运算顺序导致不正确的计算结果，实质是在数系扩充后，学生没有对基础运算法则达到有效的迁移与运用.

三是运算方法未能优化.除了运算结果的正确性，运算方法的选择也是衡量学生运算能力的重要标准，更是运算简捷性的外显.很多学生即便在运算中得到了正确的结果，但却未能实现运算方法的优化，甚至将简单问题复杂化，无法达到灵活运用的目的.

例2 直线y=－x+4与直线y=2x+1相交于点A（1，3），则关于x，y的方程组x+y=4，2x－y=－1的解是.

分析：由两条直线的交点坐标可直接得到对应的二元一次方程组的解，而不必再解方程组.

中考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中对法则的透彻理解、公式的恰当选择以及数学思想方法的合理使用等方面，尤其是合理使用数学思想方法，能够极大地简化运算，提高速度.

3 学习策略

3.1 重视算理探究，关注运算过程

算理是运算的理论依据，由数学概念、运算定律、运算性质等构成，它是一种客观存在的规律，能够为运算提供正确的思维方式，以保证运算的合理性和正确性.学生只有理解算理，才能掌握运算方法，进而运用运算法则进行运算.

例如，在进行整式的加减运算时，学生如果要能够正确运算，不仅要对单项式、多项式、整式、同类项等概念有一定的掌握，更要明确去括号、合并同类项等运算的依据.只有这样，学生才能理解去括号时符号的变化规律，体会从数到式的过渡，实现运算能力的提高.

例3 计算：－10－2（m2－1）－323+m2.

分析：在此算式中存在加减、乘除与乘方、去括号不同等级的运算，因此确定运算顺序是首要任务.按照运算法则逐步运算，一是运用乘法分配律去括号，尤其关注单项式与多项式相乘时，多项式的每一项都要与单项式相乘；二是去括号后计算乘方和单项式乘单项式；三是合并同类项.

误区：－10－2（m2－1）－323+m2

=1－2m2－1－2+3m2

=m2－2.

3.2 定制专项练习，夯实通性通法

通性通法即解决一类数学问题的本源性质和方法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法，在数学知识中通常有较强的辐射性.例如，数式运算的通性是运算律，方程的通性是等式的基本性质，不等式的通性是不等式的基本性质，函数的通性是函数关系式的变形与映射.代数问题的通法有变形、代换、分类讨论、建模等常用方法，同类问题中应用的数学方法虽不唯一，但通常可以实现方法的类比迁移，因此制定专项练习能帮助学生对解决问题的通性通法有更透彻的理解.

以“解分式方程”为例，数学通性是等式的基本性质，数学通法是将分式方程转化为整式方程后求解并代值检验整式方程的解是否是分式方程的解.专项练习设计应包含解分式方程时有解和有增根两种情况，帮助学生巩固解分式方程的通法，提高解方程的正确率.

3.3 一题多解多变，优化运算方法

数学运算中的大多数运算题是有固定的运算法则的，但也有部分问题在解决时存在多种方法.如何实现运算方法优化？这需要教师在教学中结合教材内容，从新知与旧知、本类与他类、纵向与横向等方面对学生进行引导，也需要学生在日常学习中有意进行一题多解、一题多变等发散思维的练习，厘清知识之间的联系，形成知识结构，达到深度学习.

初中阶段数形结合、函数与方程、分类讨论、化归与转化等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用.优化运算方法，灵活运用运算律是提升学生运算能力的分水岭.

以二元一次方程组求参数范围为例，其本质是消元的思想，可以使用代入消元法，也可以运用加减消元法，结合条件求参数范围.不同的解题方法既能揭示数与形的联系，又能沟通几类方法，拓展学生的思维，实现运算方法的优化和数学思维的提升.

例4 已知关于x，y的二元一次方程组x－2y=k，2x－3y=－k的解满足xlt;y，求k的取值范围.

解法1：由x－2y=k，2x－3y=－k，利用代入消元法解得x=－5k，y=－3k.因为xlt;y，所以－5klt;－3k，解得kgt;0.

解法2：由xlt;y可得x－ylt;0，那么对于方程组

x－2y=k，2x－3y=－k，①②

②-①，可得x－y=－2k.

因为x－ylt;0，所以－2klt;0，解得kgt;0.

数学运算能力是初中数学学习的重要基础，师生都应对运算能力的培养给予足够的重视.在数与代数的学习中，通过算理探究、专项练习、一题多解等策略，引导学生经历分类、聚类、辨析、比较、抽象、概括等深度学习的过程，逐步增强运算能力，发展数学思维.