条理性：让数学板书彰显学习思路

【摘" "要】有条理的数学板书是一种有价值的教学资源，具体是指在板书过程中，将数学核心知识的生成过程和主要特征有层次地呈现出来，凸显学习思路，使学生上过课后能够一目了然。具体而言，教师可通过“一材多变，比较明理；数形结合，突破难点；呈现流程，厘清关系；融入操作，建立观念；善于归纳，构建模型”等策略，让数学板书充满条理性，进而培养学生的数学核心素养。

【关键词】数学板书；条理性；学习思路；教学辅助

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）要求学生“发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神”。可见，条理性是数学学科不可或缺的本质属性。有条理的数学板书是一种富有价值的教学资源，它能够引导学生参与知识的再生成过程。若将其以图片形式保存下来，还能便于学生在课后随时查阅。有条理的数学板书是指，在板书过程中，将数学核心知识的生成过程和主要特征有层次地呈现出来，凸显学习思路，使学生上过课后能够一目了然。那么，如何使数学板书具有条理性呢？

一、一材多变，比较明理

浙江省小学数学教研员斯苗儿老师指出，数学素材应力求简洁，要源于学生现实，并努力做到一材多变，引导学生在简洁与变化中发现知识的本质。素材变化时幅度要小，做到循序渐进，富有条理，能够让学生在比较中明晰数学知识生成的道理。

例如，在人教版教材四年级下册“四则混合运算的顺序”相关内容的教学中，教师呈现三道相同的算式96÷12+4×2。先让学生说说第一道算式的运算顺序，有学生提出，先算除法，再算乘法，最后算加法。另有学生表示，除法和乘法可以同时计算，最后算加法。教师顺势强调两种算法均可行，并同步呈现计算过程。计算完成后，与学生进行交流，并提炼出不含括号的算式的运算顺序：在不含括号的算式里，要先算乘除法，再算加减法。在第二道算式中，教师在原有算式的基础上添加一个小括号，使其变为96÷（12+4）×2，引导学生探讨运算顺序，同时呈现规范的计算过程。在与学生交流的过程中，提炼出含有小括号的算式的运算顺序：在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。紧接着，在第三道算式中，教师在小括号的基础上又添加了一个中括号。在学生表达运算顺序后，继续展示规范的计算过程，顺势提炼出含有小括号和中括号的算式的运算顺序：在既有中括号又有小括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。随后，教师引导学生探讨这三个算式答案不同的原因，即加上括号后运算顺序发生了变化，借此提炼出括号的作用：改变运算顺序和运算结果。

在教学结束阶段，教师先呈现两道完全相同的算式405+123-23÷5，再呈现两道算式的运算顺序。第一道算式要求先算减法，再算除法，最后算加法，第二道算式要求先算减法，再算加法，最后算除法。让学生先独立思考，再添加小括号、中括号，并进行计算。经过思考交流，学生得出结论：第一道算式只要添加一个小括号就能达到要求，而第二道算式要先加小括号再加中括号才能达到要求。具体板书如图1所示。

这个数学板书体现了两个层次的一材多变。第一层次着重于根据算式提炼运算顺序，感悟括号的作用；第二层次则着重于依据运算顺序添加括号，进而再次感受括号的强大力量——具备改变运算顺序和运算结果的能力。通过这两个层次的一

材多变，引导学生在潜移默化中深入理解四则运算的运算顺序。

二、数形结合，突破难点

数形结合，即通过直观的示意图诠释深奥的数学道理或方法，使学生能够根据示意图简洁明了地理解数学道理，掌握解决问题的有效策略，进而突破教学难点。运用数形结合，教师需具备数形结合的意识，以及将数学道理或方法有条理地转化成直观示意图的能力，精心设计板书，使板书彰显条理性。

例如，对于人教版教材四年级下册中的“租船问题”，考虑到调整方案为学生理解的难点，教师遂采用数形结合的方法进行教学。教师呈现主题图，让学生充分解读信息，并提出问题：如何租船最省钱？引导学生先弄清楚是大船便宜还是小船便宜。接着，让学生分别计算租用大船和小船每人所需的费用，明白大船更加经济实惠，所以首先应租用大船。学生将总人数除以大船人数，立刻得出需要5条大船，剩余2人租1条小船。在此基础上，教师让学生用圆圈表示出5条大船和1条小船，据此发现小船有2个空位，不省钱。此时，引导学生思考：如何调整方案能够节省费用？学生提出可将大船的条数降为4条，剩余8人刚好坐满2条小船，即（6+2）÷4=2（条）（如图2）。接着用算式验证，4条大船和2条小船共计可乘坐32人，满座无空位，最省钱。最后，让学生探讨在何种情况下需要调整租船方案，引导学生认识到在有余数的情况下需要调整方案，要尽量满座，避免空位。在此基础上，让学生总结租船的技巧，学生便能迅速提炼出关键点，即先确定哪种船便宜，尽量租用便宜的船，确保船满座，如有空位则需调整。

上述板书通过数形结合，将租船问题的难点“调整方案”借助示意图清晰、直观地表示出来，使学生一目了然，明晰调整思路，顺利突破教学难点。

三、呈现流程，厘清关系

数学知识的生成会经历一系列流程。如果在板书中能够呈现一幅生动形象的知识生成流程图，就能使学生对知识的形成及应用过程产生深刻印象，从而使他们的学习思路更加清晰，知识之间的关系更加紧密。在设计流程图时，教师应立足学生视角，力求所设计出的流程图符合学生的认知规律。

例如，在人教版教材四年级下册《小数的性质》的教学中，教师首先引导学生理解2.50元和2.5元的含义，并发现它们数值相等。接着，让学生探讨8.00元和8元的含义，同样得出它们数值相等。然后提问：“0.1米、0.10米、0.100米是否相等？”顺势引导学生回顾0.1米的含义。学生表示将1米平均分成10份，表示这样的1份就是0.1米，用分数表示就是1/10米。又因为把1米平均分成10份，1份就是1分米，因此0.1米=1/10米=1分米。在此基础上，进一步分析0.10米和0.100米的含义，分别得到0.10米=10/100米=10厘米，以及0.100米=100/1000米=100毫米。通过观察1分米、10厘米、100毫米的大小关系，学生认识到它们数值相等，进而得出结论：因为1分米=10厘米=100毫米，所以0.1米=0.10米=0.100米。

接下来，教师呈现两个正方形，第一个正方形被平均分成10份，取其中的3份，就是0.3，即3个0.1；第二个正方形被平均分成100份，取其中的30份，就是0.30，即30个0.01。通过课件演示，学生发现0.3=0.30。在此基础上，引导学生从左往右观察板书中的等式，发现小数的末尾添上0，小数的大小不变。顺势提醒学生：准确说是小数的末尾，即小数部分的最后。再引导学生从右往左观察，发现小数的末尾去掉0，小数的大小也不变。顺势进行总结：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫作小数的性质（如图3）。

最后，教师呈现0.70、105.0900两个小数，让学生判断小数中哪些0去掉后大小不变。学生发现0.70末尾的0可以去掉，105.0900末尾的两个0也可以去掉。进而提炼出结论：只有将小数末尾的0去掉，小数的大小才不变，而小数中间或前面的0都不能去掉。使学生明确：像这样去掉小数末尾的0，小数的大小不变的操作，在数学上叫作化简。化简的目的是去掉多余的0。化简前后，小数的大小不变，但意义变了，计数单位也相应发生改变。教师再呈现另一组小数，要求学生把它们改写成三位小数。学生发现：0.2改为0.200，4.08改为4.080，即在小数的数位不足三位时，应在小数末尾添0；3改为3.000，即整数化成小数，应先在整数右下角添加小数点，再添上相应个数的0。进而提炼出结论：将数改写为指定位数的小数，称为改写。改写前后，大小不变，意义和计数单位随之改变。由此，使学生明白小数的性质可用于化简和改写小数。

在上述教学过程中，学生通过推理发现小数的性质，并结合实例理解其应用，明确化简和改写前后小数的大小不变，但意义发生改变。板书设计清晰地展示出知识的生成与应用过程，使小数的性质和化简、改写之间的关系能够一目了然。

四、融入操作，建立观念

2022年版课标指出，应让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等数学活动过程，帮助学生感悟基本思想，积累基本活动经验。如空间观念，它相对比较抽象，学生需借助直观学具或动手操作才能建立。因此，一线教师要努力挖掘新知中的操作因素，让学生在有序操作中自然而然感悟并建立空间观念。

例如，在人教版教材四年级下册“三角形的认识”的教学中，教师先让学生在本子上画一个三角形，在三个顶点分别标上字母A、B、C，读作三角形ABC。再引导学生观察三角形ABC有几条边、几个角、几个顶点。接着，利用课件让学生判断一组图形是不是三角形，进而引导学生说说什么是三角形，在交流的基础上归纳：由三条线段围成的图形叫作三角形。最后，让学生深入理解“围成”的含义，即每相邻的两条线段的端点相连，也就是首尾相连，引导学生说说顶点A、B、C分别和哪条线段相对。在交流的基础上，使学生明白顶点A和线段BC相对，顶点B和线段AC相对，顶点C和线段AB相对。

接下来，教师先利用课件演示平行四边形画高的过程，再让学生说说三角形如何画高。借助已有知识经验，学生能够从顶点A出发画出对边的高，教师需向学生强调画高的方法和画垂直线段的方法相同（如图4）。在学生初步掌握画高方法后，指导他们理解三角形高和底的概念，并让学生自己表述：高是顶点和垂足之间的距离。接着引导学生从顶点B和顶点C出发画出第二条和第三条高，并强调三条高相交于一点，底和高要相对应。此外，和学生共同提炼出画高的三个步骤：第一步，找顶点和对边；第二步，画垂直线段；第三步，标符号，写上高。

在上述教学过程中，学生和教师通过共同操作，建立起三角形的概念，形成底和高相对应的认识，提升空间观念。如此，借助动手操作和板书辅助建立的知识结构，对学生来说会更加深刻。

五、善于归纳，构建模型

在小学数学教学中，教师会引导学生经历归纳推理的过程。数学中的归纳，指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法，属于不完全推理，是引导学生参与并学会数学建模的重要手段。在教学中，数学概念或数学规律都需要经历归纳的过程。学生经历了归纳过程，也就经历了数学模型的建构过程。

例如，在人教版教材四年级下册“四边形的内角和”的教学中，教师首先让学生回顾三角形的内角和为180º，接着呈现一个正方形和一个长方形，并提问：它们的内角和是多少度？学生回答：它们有4个直角，即90º×4=360 º。然后呈现平行四边形和梯形，并提问：它们的内角和是多少度？有学生表示可以把它们分成两个三角形进行计算。教师追问：如何分割？学生回答：将一个顶点和相对的顶点连线，就能得到两个三角形，它们的内角就是180 º×2=360 º。教师再呈现一个一般四边形，和学生一起将它分成两个三角形，内角和是180 º×2=360 º。师生共同总结：四边形可以分成两个三角形，四边形的内角和就是360 º。在探讨四边形的基础上，教师继续呈现一个五边形，让学生探讨可以将其分成几个三角形，具体应如何分割。在交流、讨论的过程中，学生明白要从一个顶点出发有序分割，做到顶点与顶点相连。而五边形可以分成3个三角形，内角和就是180 º×3=540 º。最后，教师呈现一个六边形，学生也能够从一个顶点出发，有序连接对应的顶点，将其分成4个三角形，得到其内角和为180 º×4=720 º。在此基础上，教师将几边形中的边数圈起来，再将几个三角形的个数圈起来，引导学生发现规律：边数-2=分成的三角形个数。进而得出n边形可以分成（n-2）个三角形，n边形的内角和为（n-2）×180°（如图5）。此时，顺势让学生计算12边形的内角和，学生能马上得出结果。

在上述教学过程中，学生经历了两次归纳推理的过程，第一次涉及四边形的内角和，第二次涉及多边形的内角和。通过两次归纳推理，并有序呈现板书，学生建立起两个清晰的数学模型，对n边形的内角和，以及（n-2）的产生过程产生了深刻印象。

总之，条理性使数学板书彰显了清晰的学习思路。有条理的板书是教师智慧的体现，板书有序与否直接影响教学过程的条理性和学生学习思路的清晰度，进而影响课堂教学效率。有条理的板书也是一种有效的教学资源，便于学生在需要时查阅，有助于培养学生的数学核心素养。

参考文献：

［1］斯苗儿，俞正强.“浙江省中小学学科教学建议”案例解读（小学数学）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.

［2］斯苗儿.好课多麿：斯苗儿“现场改课”理念与实践［M］.北京：人民教育出版社，2021.