贯通“理”“法”，实现运算的一致性

【摘" "要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，体会数的运算本质上的一致性。当前很多教师对如何实现口算除法和笔算除法的运算一致性存在困惑。基于此，以人教版教材四年级上册“除数是整十数的口算除法”为例，通过教学思考和教学实践，得出解决路径：凸显数的意义和运算的意义，贯通算理和算法，实现运算的一致性。

【关键词】算理；算法；运算的一致性；口算除法

“数与运算”主题由数的认识和数的运算组成。数的认识和数的运算既有各自的特点，又存在密切的关联。事实上，从认识整数开始，数就与运算相关。1+2是3，每个数后继都形成一个新的数，这本身就包含运算。而随着数的范围从整数扩展到分数与小数，运算从加法延伸到减法、乘法与除法，计算方法日趋复杂，但基本的算理是一致的，都要与数的意义建立联系，且都是对计数单位进行操作。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）指出，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，体会数的运算本质上的一致性。基于此，以人教版教材四年级上册“除数是整十数的口算除法”为例，探讨如何贯通算理和算法，实现运算的一致性。

【教学思考】

“除数是整十数的口算除法”的教学内容包括整十数除整十数的口算和整十数除几百几十数的口算。此内容的教学建立在多位数乘一位数、除数是一位数的除法的学习基础上，同时也是后续学习除数是两位数笔算除法的重要前提，其口算的教学效果直接影响笔算除法试商和小数除法、分数除法的学习。对于整十数除整十数、整十数除几百几十数的口算，其教学重点就是理解被除数里含有几个除数。例如，在口算80÷20的教学中，学生会根据已有的知识基础，想到将80看作8个十，将20看作2个十，80÷20就是8个十除以2个十，从而得到商是4；还会根据已知的4个20是80，得出80÷20=4。

而要“体会数的运算本质上的一致性”，首先要明确运算一致性的具体体现。根据专家对2022年版课标的解读，加减法运算的一致性体现为“相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变”，乘除法运算的一致性体现为“计数单位与计数单位相乘除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘除”。这样，关于运算的一致性，就形成了以下困惑。

（一）困惑：口算除法和笔算除法的运算一致性如何实现？

除法是乘法的逆运算。根据平均分，可以将除法分为两种情况：一是“把一个数平均分成几份，求每一份是多少”，通常把这种情况的除法叫作“等分除”；二是“求一个数里包含几个另一个数”，通常把这种情况的除法叫作“包含除”。简言之，即求每份数的等分除和求份数的包含除。口算80÷20，通常从包含除的角度来理解，把80看作8个十，20看作2个十，将8个十按2个“十”为1份进行平均分，可以分成4份。然而，在笔算除法中，80÷20的运算意义又是从等分除的角度来理解的，即把8个十平均分成20份，不够分，所以要把8个十看作80个一，这样每份分得的是4个一，因此商要写在个位上。这使得学生产生口算除法算理和笔算除法算理不同的错觉。

（二）对困惑的分析思考

包含除、等分除都是建立在平均分基础上的除法，分的都是相同计数单位的个数。笔算除法通常从等分的角度理解算理，而作为笔算除法基础的口算除法，也应从等分除的角度理解算理。因此，除法运算的一致性要体现在“均分相同计数单位个数”上，当“大”计数单位不够等分时，应将它转换成“小”计数单位继续均分。

（三）困惑的解决路径

算理是算法的基础，明了“理”才能掌握“法”。算理源于数的意义和运算的意义。只有凸显数与运算的意义，贯通“理”“法”，才能实现运算的一致性。

在进行“除数是整十数的口算除法”教学之前，学生已在三年级下册学习了“除数是一位数的笔算除法”。如52÷2的教学需注重运用计数单位进行思考，引导学生经历将“大”计数单位转换为“小”计数单位的过程，即将第一次等分后余下的1个十转换成10个一。在此基础上，“除数是整十数的口算除法”的教学应实现迁移应用，弱化包含除，凸显等分除和计数单位的转换。下面以“除数是整十数的口算除法”为例，具体展示如何贯通“理”“法”，实现运算的一致性。

【教学实践】

（一）激活经验，回忆算法

1.教师呈现学习材料（如图1）。

口算下列各题。

2.学生独立尝试。

3.师生交流讨论。

重点交流讨论：（1）200÷40的商为什么是5，而不是50？（2）在抵消被除数和除数末尾的零时有什么窍门？要注意什么？

4.小结：在抵消被除数和除数末尾的零时，要抵消相同个数的零。

（设计意图：在学习“除数是整十数的口算除法”之前，学生对相关知识已有一定的接触，并能采用“抵消零”的方法进行计算。但学生讲不清楚被除数和除数末尾相同个数的零为什么要相互抵消，这是需要教师帮助他们进一步明确的地方。）

（二）从包含除的角度明晰算理

1.教师提问：在计算除法时，为什么要将被除数和除数末尾相同个数的零同时抵消？

2.引导学生经历探索过程。

（1）观察与列式：引导学生观察平均分的过程，并用除法算式表示。

把8个一按2个一1份进行平均分，分成了4份（如图2）。这个平均分的过程用算式怎么表示？（8÷2=4）

同理，把8个十按2个十1份进行平均分，分成了4份。用算式怎么表示？（80÷20=4）

（2）推理与联想：若把8个一分别扩大为8个百、8个千，并仍然按2个１份进行平均分，分成4份。用算式分别怎么表示？这种扩大是否可以继续进行下去？

（3）比较与思考：对比观察8÷2=4、80÷20=4、800÷200=4、8000÷2000=4……你们能解释为什么在除法算式中，被除数和除数末尾相同个数的零可以抵消？从中你们发现了什么规律？

3.小结与概括。将8个一分别扩大为8个十、8个百、8个千，实质上是计数单位发生了变化。整个平均分的过程，就是将8个计数单位按照2个1份进行平均分，分成4份。抵消零的个数，实际上是在同步调整计数单位的大小。在计数单位同步变化（无论是变大还是变小）的过程中，所得的商（即份数）保持不变。

（设计意图：充分利用学生的生活经验，借助动手操作和推理活动，让学生从包含除的角度感悟“等分相同计数单位的个数”这一除法算理。）

（三）从等分除的角度明确算理

1.完善意义。对于80÷20，除了可以看成把8个十按2个十1份平均分，分成4份，还可以看成什么？引导学生回顾：80÷20还可以表示把80平均分成20份，每份是4。这个算式既可以看作求份数，也可以看作求每份数。

2.比较分析。对于80÷2，你们会怎么计算？引导学生比较80÷2=40和80÷20=4这两道题的计算道理有什么不同，得出：80÷2=40，表示把8个十平均分成2份，每份是4个十，即商是40；80÷20=4，表示把80个一平均分成20份，每份是4个一，即商是4。

3.深入讨论。在80÷20=4这个算式中，为什么把80看作80个一，而不是8个十？（教师根据学生交流，用课件动态演示，如图3所示）

帮助学生明确：除法即为等分相同计数单位个数的运算，当以“十”为单位不够分时，可以将1个十转换为10个一（“大”计数单位转换为“小”计数单位）继续平均分。

4.联结过往学习。教师启发学生思考：在此前的除法计算中，你是否遇到过类似的情况？引导学生回顾笔算除法52÷2的计算过程：先均分计数单位为“十”的个数，再将余下来的“十”转换成“一”继续平均分。

5.拓展延伸。如果遇到以“一”为单位还不够分的情况应该怎么办？教师可直接告诉学生这是以后要学习的小数除法。

6.总结归纳。除法就是将相同计数单位的个数进行等分的运算，当“大”计数单位不够分时，可以把“大”计数单位转换成“小”计数单位继续平均分。

（设计意图：强化口算对笔算的辅助作用，讨论“80÷2与80÷20”在算理上的差异。重点讨论80÷20中的80为什么不看作8个十，而要看作80个一。这既是笔算除法的算理，也揭示了口算除法与笔算除法在算理上的一致性。）

通过教学思考和教学实践可以看出，2022年版课标中提出的“数的运算本质上的一致性”的目标是切实可行的。以计数单位为核心概念，采用结构化的教学方式，可使学生感悟各类运算之间的内在联系，体会算理的一致性和可迁移性，进而培养学生以整体的、联系的和发展的视角分析问题，形成科学的思维习惯，促进其数学核心素养的全面发展。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.