对赋值法的深度思考

董强

摘 要：通过对一道高考试题的求解，见证了赋值法在求解奇函数中参数时的局限性和典型误区，从而回归定义，从奇函数本身出发分析了一般恒等式的意义，使问题得以顺利解决.

关键词：赋值法；奇函数；参数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0031-06

2022年全国乙卷文科数学第16题是一道已知奇函数求参数的问题，很多学生都习惯于采用特殊值法求参数问题.而实际求解时，不同的学生所赋的特殊值可能有所不同，这将导致试题产生不同的“解”，究其原因，是对函数具有奇偶性的必要条件没有充分理解所致.

1 试题呈现

题目 若f（x）=ln|a+11-x|+b是奇函数，则a=，b=.

2 赋值求解

对于这道试题，容易注意到x≠1，所以在利用特殊值法求参数的过程中就不能赋x=1，即不可以利用f（-1）+f（1）=0解题.函数解析式中除了能确定x≠1之外，因为涉及参数a和对数的真数，暂不能直接看出x是否能取其他的值，但是学生根据经验能很容易想到利用f（0）=0（奇函数如果在原点处有定义，那它一定过原点，即f（0）=0）.将这一试题呈现给当前笔者所带的高三学生时，学生在具体求解的过程中，给出两种不同的赋值方案.

2.1 赋值方案1

生1：依题有f（0）=0，f（-2）+f（2）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+13|+ln|a-1|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+13|+ln|a-1|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-23a-13|.

故a2+2a+1=a2-23a-13，①

或a2+2a+1+a2-23a-13=0.②

由①得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，②式无解.

所以a=-12，b=ln2.

生2：依题有f（0）=0，f（-3）+f（3）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+14|+ln|a-12|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+14|+ln|a-12|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-14a-18|.

故a2+2a+1=a2-14a-18，③

或a2+2a+1+a2-14a-18=0.④

由③得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，④式无解.

所以a=-12，b=ln2.

生3：依题有f（0）=0，f（-4）+f（4）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+15|+ln|a-13|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+15|+ln|a-13|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-215a-115|.

故a2+2a+1=a2-215a-115，⑤

或a2+2a+1+a2-215a-115=0.⑥

由⑤得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，⑥式无解.

所以a=-12，b=ln2.

2.2 赋值方案2

生4：依题有f（0）=0，f（-12）+f（12）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+23|+ln|a+2|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+23|+ln|a+2|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+83a+43|.

故a2+2a+1=a2+83a+43，⑦

或a2+2a+1+a2+83a+43=0.⑧

由⑦得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由⑧得a=--7±76.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（7±1）.

所以a=-12，b=ln2或a=-7+76，b=ln（7+1），或a=-7-76，b=ln（7-1）.

生5：依题有f（0）=0，f（-13）+f（13）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+34|+ln|a+32|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+34|+ln|a+32|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+94a+98|.

故a2+94a+98=a2+2a+1，⑨

或a2+2a+1+a2+94a+98=0.⑩

由⑨得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由⑩得a=-17±1716.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（17±1）.

所以a=-12，b=ln2，或a=-17+1716，b=

ln（17+1），或a=-17-1716，b=ln（17-1）.

生6：依题有f（0）=0，f（-14）+f（14）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+45|+ln|a+43|+2b=0.

故2ln|a+1|=ln|a+45|+ln|a+43|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+3215a+1615|.

故a2+2a+1=a2+3215a+1615，B11

或a2+2a+1+a2+3215a+1615=0.B11

由B11得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由B12得a=-31±3130.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（31±1）.

所以a=-12，b=ln2，或a=-31+3130，b=

ln（31+1），或a=-31-3130，b=ln（31-1）.

评析 以上解析过程都采用了特殊值法，但所得结论却不尽相同.事实上，x=-2和x=2是否为函数定义域内的值，即能否使得f（x）有意义并不清楚，所以将其贸然代入f（x）略显解析过程的不严谨性.幸运的是，在方案1代入特殊值时，所产生的另一个一元二次方程的判别式都小于零，此时方程无解，所以仅求出了一组a，b的值，一般而言，作为填空题基本就可以认定a=-12，b=ln2.此时，如果是解答题，可以将a，b的值代入原函数，得f（x）=

ln|x+11-x|，x∈（-8，-1）∪（-1，1）∪（1，+-8

）.对于定义域内任意的x，都有f（-x）+f（x）=ln|-x+11+x|+ln|x+11-x|=ln1=0，所以f（x）是奇函数，即a=-12，b=ln2就是正确结果.f（x）=ln|x+11-x|的图象关于原点对称，如图1所示.

但是，在方案2的赋值法求解过程中，产生了除a=-12，b=ln2之外的其他a，b值.这时可以肯定某个环节出现了问题，凭借解题经验和填空题的“简洁性”，我们更愿意接受a=-12，b=ln2这组解.

从以上两种不同方案赋值的过程可以发现，如果所赋的值（自变量的值）绝对值大于1，那么只能求出一组a，b值；如果所赋的值绝对值小于1，那么可以求得三组不同的a，b值，其中一组是a=-12，b=ln2，而且此种情况下，不同的赋值求出的另外两组a，b值均有所不同（细致观察的话，这些值呈现了一定的规律性）.那么，问题是其他的a，b值是否合理呢？如果不合理，究竟是什么原因导致的，为什么不同的赋值会产生不同的结果？

3 技术验证

对于上述其他a，b的值是否符合题意，我们可以借助于信息技术进行验证.分别将a=-7+76，b=ln（7+1） a=-7-76，b=ln（7-1） a=-17+1716，b=ln（17+1）

a=-17-1716，b=ln（17-1） a=-31+3130，b=ln（31+1） a=-31-3130b=ln（31-1）这六组值代入函数解析式，得

f1（x）=ln|-7+76+11-x|+ln（7+1），

f2（x）=ln|-7-76+11-x|+ln（7-1），

f3（x）=ln|-17+1716+11-x|+ln（17+1），

f4（x）=ln|-17-1716+11-x|+ln（17-1），

f5（x）=ln|-31+3130+11-x|+ln（31+1），

f6（x）=ln|-31-3130+11-x|+ln（31-1）.

利用数学作图软件GeoGebra分别作出上述六个函数的图象，如图2，3，4，5，6，7所示：

容易发现，上述六个函数都经过坐标原点O，图象本身都是关于某一点成中心对称，但是这些对称中心都不再是坐标原点.可见，这些a，b的值不能使得函数f（x）成为奇函数，是不符合题意的.那么，为什么会产生这一问题呢？究其原因，是对奇函数概念把握得不准确所致，奇函数是指对于定义域内的任何x，均有f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，所以诸如f（0）=0，f（-12）+f（12）=0等条件都是函数f（x）成为奇函数的必要条件，却并非充分条件，即f（0）=0，f（-12）+f（12）=0和“f（x）是奇函数”并不等价，这样求出的结果自然就产生了“增根”，所以利用赋值法（特殊值法）求解此类问题是需要碰“运气”的.赋值法的作用是“投石问路”，用赋值法求解试题后需要对其充分性进行证明[1].那么，如何利用奇函数本身的定义求解这道试题呢？

4 定义解析

解法1 因为函数f（x）是奇函数，所以x∈D，均有f（-x）+f（x）=0（D是函数f（x）的定义域）.

所以ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0.

即ln|（a+1）2-a2x21-x2|=-2b.B13

因为a，b均为常数，所以（a+1）2-a2x21-x2为常数，故有（a+1）2=a2，所以a=-12，代入B13式得b=ln2.

解法2 由题知函数f（x）的定义域可由11-x≠0，a+11-x≠0求得.因为函数f（x）是奇函数，所以其定义域关于原点对称，根据x≠1知x≠-1，故f（x）定义域为（--8

，-1）∪（-1，1）∪（1，+-8

）.即x=-1是a+11-x=0的解，所以a=-12.又f（x）在原点有定义且为奇函数，所以f（0）=0，将a=-12代入f（0）=0，得b=ln2.

评析  上述解法1是对奇函数的定义充分解读后得出了一般性的表达式，通过分析对任意x都对应的恒等式成立问题，由绝对值里面的分式分子分母对应项系数成比例得到（a+1）2=a2，从而求得参数a=-12，该解法的每一步都是等价的，所以a=-12，b=ln2是该试题的唯一解.此外，在解法1中，ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0也可以转化为ln|（a+11+x）（a+11-x）e2b|=0.进一步可以转化为e2b（a+11+x）（a+11-x）=±1.即e2b（a2+2a+11-x2）=±1对定义域内任意的x恒成立.从而必有2a+1=0，解得a=-12.于是由14e2b=1，解得b=ln2.值得一提的是，在涉及含有对数式的奇函数问题时，经常将奇函数定义的f（-x）=-f（x）改写为f（-x）+f（x）=0的形式，目的是方便进一步运算与合并.解法2是充分考虑了函数的定义域而得出的快速且便捷的解法，比常见的赋值法既快又准，是一种巧妙的好方法.除上述解法1和解法2外，实际上，要使f（x）有意义，需有11-x≠0，a+11-x≠0， 即x≠1，x≠1+1a. 根据奇函数的定义域关于原点对称，有1+1a=-1，故a=-12，一步到位，再将其代入

f（x）表达式求解b的值，思路亦清晰简单.所以函数的定义域是函数的灵魂，脱离定义域谈函数值或者函数的性质都是荒谬的.因此，在解题过程中，要使用赋值法必须先考虑问题的等价性，必要的情况下需要明确试题解的唯一性［2］.

5 深度思考

关于这道试题的求解，相信很多的学生会习惯性地选择取特殊值，但是从前面的分析可以发现，赋值法有一定的局限性和误区.首先，赋值时务必要保证所赋的值在函数的定义域内，否则将毫无意义，如前面求解时对于奇函数中是否有f（0）=0，也需考虑x=0在不在函数的定义域内.所以在求解奇偶函数问题的过程中，首当其冲的应是先考虑函数的定义域，而不应是见到题就盲目地赋值，在解题过程中出现问题的时候才想起奇偶函数对定义域的要求.其次，利用奇函数的一般形式f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0求解参数时，需要对恒等式进行本质的分析，如解法1中出现ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0后，一方面可以将对数部分合并，常数2b移到等式右边，利用两个常数恒等分析得知（a+1）2-a2x21-x2为常数，再考虑到该分式成为常数的条件是分子可以提公因式，从而和分母的1-x2约分;另一方面也可以利用对数恒等式将左边整体变为ln|（a+11+x）（a+11-x）e2b|=0，再利用恒等式分析求解.再次，对恒等式也可以从对应项系数相等去求解，如解法1中可以对B13式如下解析：

设（a+1）2-a2x21-x2=c（c为常数），

则（a2-c）x2=（a+1）2-c恒成立.

所以a2-c=0，（a+1）2-c=0，所以a=-12，c=14.

所以由-2b=ln14，得b=ln2.

但是，“对应项系数相等”的使用前提必须明确哪些字母是未知量，哪些字母是参数.如对B13式错误解析如下：

依题有（a+1）2-a2x21-x2=1，且b=0，

则（a+1）2-a2x2=1-x2.

即a+1=1，a2=1，矛盾.

出现矛盾的原因是对此式中的三个字母a，b，x的地位认识不清所致，事实上，a，b是常数，x才是变量.这样对B13式的处理自然就能想到（a+1）2-a2x21-x2为常数但不是1.最后，对于奇函数问题的解决，除了利用赋值法和定义法外，充分利用函数的图象也是需要重视的一个方面.

6 结束语

很多数学试题的求解方法灵活多变，如何在数学试题的求解过程中做到对试题的等价变形与等价转化对问题的解决意义重大，这一过程提倡学生进行创新思维，而“发散思维、逆向思维、批判性思维等思维品质是创新思维的重要特征.具备良好创新思维的学生能够摆脱思维定式的束缚，善于独立思考，大胆创新创造”［3］.赋值法在数学解题中的作用不容小觑，它体现的实际是数学中由特殊到一般的数学思想，对问题的解决往往有一种方向指引功能，很多比较棘手的数学问题如能恰当利用赋值法将会柳暗花明.事实上，赋值法所得的结果有时是问题结果的部分特殊情况，有时却是试题本身的全部结果，比如在直线和圆锥曲线问题的探索过程中（如所围成平面图形面积的最值、定值问题、定点问题等），一些特殊情况（如直线不存在斜率的情形）本身就是问题最终结果的呈现，这最能体现学生的主观能动性和数学思维品质，所以赋值法蕴含着学生的独立思考和大胆尝试.提倡学生独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，使其养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展，这是新课程标准明确要求的[4].

参考文献：

［1］

曹凤山，朱伟义.函数与导数压轴题中赋值确定参数范围后的处理策略[J].中学教研（数学），2022（08）：18-21.

[2] 李左杰.赋值法在作截面交线中的应用[J].中学教研（数学），2012（11）：16-18.

[3] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李 璟］