多视角探究一道四省联考压轴题

贺凤梅

摘 要：圆锥曲线的综合题是历年高考、联考、模考中的热点和重点题型.而直线和圆锥曲线的试题更是解析几何的典型题，也是考试中解答题的必考题.这类题涉及数形结合和推理运算，综合了代数、向量、平面几何等知识.文章以2023年四省联考第21题为例，对圆锥曲线中的线段比（积）问题进行分析，并给出解题策略.

关键词：圆锥曲线；联考；线段比

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0037-03

题目 （2023年四省联考数学试卷第21题）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）过点A（42，3），且焦距为10.

（1）求C的方程；

（2）已知点B（42，-3），D（22，0），E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点，

证明：|GD||GE|=|HD||HE| .1 总体分析

此题是2023年四省联考的第21题，是解析几何中的典型题.解决这道题的关键是要理解直线与圆锥曲线的本质.直线与圆锥曲线相交，就会形成弦，这是常考的知识点，它涉及交点和弦长，进而涉及坐标等问题，因此覆盖知识点较多.解答时入题容易，但是字母参数多、式子繁、运算量大，学生求解过程中往往容易中途卡壳、半途而废，只能得到相应的步骤分.笔者通过思考、解答与探究，尝试厘清问题的本质，以期达到举一反三、触类旁通的目的［1］.

2 试题解答

第（1）问，C的方程为C：x216-y29=1.

以下着重探讨第（2）问.

视角1 以直线DE横截式切入.

解法1 转化为线段积结合弦长公式.

设直线DE方程为x=my+22（m≠0），则点E（42，22m）.设G（x1，y1），H（x2，y2），

联立x=my+22，9x2-16y2=144，整理，得

（9m2-16）y2+362my-72=0.

由韦达定理，得y1+y2=-362m9m2-16，①

y1y2=-729m2-16.②

联合①②易得y1y2=2m（y1+y2）.③

结合图1及弦长公式得

|GD|·|HE|=1+m2|y1|·1+m2|y2-22m|

=（1+m2）|y1y2-22my1|.

同理|GE|·|HD|=1+m2|y1-22m|·1+m2|y2|=（1+m2）|y1y2-22my2|.将③代入分别计算得

|y1y2-22my1|=|2m（y1+y2）-22my1|

=|2m（y2-y1）|，

|y1y2-22my2|=|2m（y1+y2）-22my2|

=|2m（y1-y2）|，

所以|y1y2-22my1|=|y1y2-22my2|.

从而|GD|·|HE|=|GE|·|HD|.

即|GD||GE|=|HD||HE|.

评注 解法1直接利用弦长公式及线段长度之积进行化简整理，同时联立直线与双曲线的方程，借助于韦达定理转化与求解.从求解过程来看，由于两根之积y1y2与两根之和y1+y2有比较明显的关系y1y2=2m（y1+y2），明确了变形和化简方向，达到了设而不求的效果，简化了运算.

解法2 向量数量积结合韦达定理求解.

GD·HE-GE·DH

=（22-x1，-y1）·（42-x2，22m-y2）-（42-x1，22m-y1）·（x2-22，y2）

=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-22m（y1+y2）+32.

因为x1x2=（my1+22）（my2+22），

x1+x2=（my1+22）+（my2+22），

结合①②，得

GD·HE-GE·DH

=（2m2+2）y1y2-（22m-22m）（y1+y2）

=（2m2+2）·（-7216m2-9）-（22m-22m）·（-362m16m2-9）=0.

所以GD·HE=GE·DH.

由题图可知，G，D，H，E四点共线，GD∥HE且同向，GE∥DH且同向.

从而|GD|·|HE|=|GE|·|HD|.

即|GD||GE|=|HD||HE|.

评注 几何中有关平行与共线的问题，利用向量的坐标转化非常便捷.此题结合图形和待证等式，进行合理变形整合后，联合韦达定理达成目标，完成证明.

视角2 以点E坐标切入.

解法3 向量数量积结合韦达定理.

设E（42，t），G（x1，y1），H（x2，y2），

则直线DE方程为y=t22（x-22）.

联立y=t22（x-22），9x2-16y2=144，整理，得

（9-2t2）x2+82t2x-（16t2+144）=0.

由韦达定理，得

x1+x2=82t22t2-9，④

x1x2=16t2+1442t2-9.⑤

GD·HE-GE·DH

=（22-x1，-y1）·（42-x2，t-y2）-（42-x1，t-y1）·（x2-22，y2）

=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-t（y1+y2）+32，

而y1y2=t28（x1-22）（x2-22），

y1+y2=t22（x1-22）+t22（x2-22）.

结合④⑤，得

GD·HE-GE·DH

=（2+t24）x1x2-（324t2+

62）（x1+x2）+4t2+32=

4（t2+8）（t2+9）2t2-9-4t2（3t2+24）2t2-9+4t2+32=

0.

下同解法2.

评注 解法3开始的切入点也是此类试题的常规处理方式之一，解法1是设线切入，而解法3是设点切入.后面的解答与解法2异曲同工，不再赘述.

视角3 利用投影降维.

解法4 结合图形可作如下转化，

|GD||GE|=xD-xGxE-xG=22-x142-x1，

|HD||HE|=xH-xDxE-xH=x2-2242-x2，

所以只需证明2x1x2-62（x1+x2）+32=0.

而2x1x2-62（x1+x2）+32=2×82t22t2-9-62×16t2+1442t2-9+32=0，问题得证.

评注 此解法的实质是向量坐标作水平投影，根据平行线段的比例关系，同时结合点的位置，转化为各点横坐标间的关系，简化运算.另外，基于解法1，大家也可以通过纵坐标的关系进行证明，感兴趣的读者不妨一试！

3 试题链接

试题 （2023年山东省济南市高三模拟第21题）已知抛物线H：x2=2py（p>0），如图2，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两相交于点D，E，F.证明：|AD||DE|=|EF||FC|=|DB||BF|.

4 结束语

此类试题主要考查学生对解析几何基本思想的掌握以及综合运算能力.数学解题的根本目的在于巩固知识、提升能力.在解决问题的过程中将知识形成网络，方法形成体系，这样才能真正做到解一题、通一类.

因此，在复习备考中，我们一定要认真研读课程标准，明确高考对解析几何基础知识、基本技能、基本思想、基本方法的要求.重视解析几何问题的分析与转化、通法的训练与归纳，通过典型例题的分析与讲解，帮助学生总结解题思路、思考策略和通性通法.

参考文献：

［1］

朱赵娜.圆锥曲线中线段比（积）的处理方法[J].理科考试研究，2014，21（07）：1-2.

［责任编辑：李 璟］