2022年高考全国Ⅰ卷第21题的探究及反思

王东海

摘 要：文章围绕2022年高考全国Ⅰ卷第21题进行研究，通过从不同角度切入，给出了该问题的解法探究，作了相应的方法总结，并在此基础上给出教学反思.

关键词：全国Ⅰ卷数学；圆锥曲线；解法探究；拓展推广

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0057-05

一道好的数学试题，不但注重在知识交汇处命题，而且还立足于考查考生的关键能力和数学学科核心素养.2022年高考全国Ⅰ卷第21题就是这样的一道试题，它既具有基础性，又具有创新性，试题极具选拔功能.

1 真题呈现

题目 已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

分析 该圆锥曲线试题第（1）小题考查直线的斜率为定值这一问题，第（2）小题则考查三角形的面积计算问题，两小题难度差距不大，第（1）小题稍难.对于第（1）题，可以按求定值问题的常见思路对待，选择一个变量表示出所求直线的斜率，然后消去变量得到定值，也可以设出两个变量，通过条件解方程得到直线的斜率，还可以通过齐次化法及参数方程去处理.

2 解法探究

思路1 可考虑的通解通法是设出AP的方程，然后用直线AP的斜率表示出所求直线的斜率，进而获得解决.

解法1 （1）由A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上可得a2=2.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意知直线AP的斜率必存在，设AP：y-1=k（x-2），联立y=k（x-2）+1，x2-2y2=2，得

（1-2k2）x2+（8k2-4k）x-4k2+8k+2=0.

故2+x1=-8k2+4k1-2k2.

从而得x1=-4k2+4k-21-2k2.

代入y-1=k（x-2）知y1=2k2-4k+11-2k2.

同理可得

Q（-4k2-4k-21-2k2，2k2+4k+11-2k2）.

所以kPQ=y2-y1x2-x1=8k-8k=-1.

（2）设AP倾斜角为α，因tan∠PAQ=22，得tanα=kAP=2，sin∠PAQ=223［1］.

又AP=1+2x1-2，

AQ=1+2x1-2，

所以SΔAPQ=12×2APAQsin∠PAQ=4-（x1+x2）+x1x2，

联立y=-x+53和x22-y2=1，

代入可得SΔAPQ=1629.

思路2  这里还可以直接设出PQ的方程，然后通过所给条件求出直线PQ的斜率.

解法2 （1） 由4a2-1a2-1=1，得a2=2.

故双曲线为x22-y2=1.

设直线PQ为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立y=kx+m，x2-2y2=2，得

（1-2k2）x2-4kmx-2m2-2=0.

而kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=kx1+m-1x1-2+kx2+m-1x2-2=0，

由韦达定理代入（k+1）（2k-1+m）=0，当2k-1+m=0，直线PQ为y=kx+1-2k，恒过A（2，1），舍.

从而k=-1.

（2）见解1.

评注 采取直接设出所求直线的斜率也可获解，另外设为x=ty+n亦可.

思路3 此题条件中涉及两直线的斜率和，故也可考虑使用齐次化法去处理.

解法3  （1）设PQ：m（x-2）+n（y-1）=1，而双曲线x22-y2=1可以整理成

（x-2）2-2（y-1）2+4（x-2）-4（y-1）=0.

联立齐次化，得

（x-2）2-2（y-1）2+［4（x-2）-4（y-1）］·［m（x-2）+n（y-1）］=0.

整理，得（-2-4n）（y-1x-2）2+（-4m+4n）·y-1x-2+1+4m=0.

由题意，得kPA+kQA=0，

故4n-4m4n+2=0.

则m=n.

所以PQ：m（x+y-3）=1.

从而kPQ=-1.

（2）因为22=tan∠PAQ=kAP-kAQ1+kAP·kAQ，且kAP=-kAQ，所以kAPkAQ=-2.

即-4m-14n+2=-2.

所以m=n=-34.

所以PQ：3x+3y-5=0.

所以dA→PQ=223.

联立x22-y2=1，得

9x2-60x+68=0.

计算得x1-x2=823.

所以PQ=163.

故SΔAPQ=12PQd=1629.

思路4 此题也可以不设直线的方程来处理，而是通过不联立方程组的方法来处理.

解法4  （1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为kAP+kAQ=0，所以y1-1x1-2+y2-1x2-2=0.①

又P，Q，A在双曲线上，故

x212-y21=1，x222-y22=1，222-12=1.

由点差法知-y1-1-x1-2·y1-1x1-2=12，②

-y2-1-x2-2·y2-1x2-2=12，

由①②，得12·x1+2y1+1+y2-1x2-2=0.

整理，得

（x1+2）（x2-2）+2（y1+1）（y2-1）=0.③

同理（x1-2）（x2+2）+2（y1-1）（y2+1）=0.④

由③-④，得

4y1-4y2=-4（x1-x2）.

所以kPQ=y1-y2x1-x2=-1.

（2）设直线AP倾斜角为α，则

tan∠PAQ=22.

从而kAP=2=y1-1x1-2，x212-y21=1，

解得P（-423+103，-53+423）.

同理Q（423+103，-53-423）.

所以SΔAPQ=12AP×AQ=1629.

评注 这里在求三角形的面积时，采用了向量的向量积运算，还可以使用面积的行列式算法.

思路5 如果采用双曲线的参数方程，也可巧妙地处理此题.

解法5 （1） 因为x22-y2=（x2+y）（x2-y）=1，

不妨设x2+y=t，x2-y=1t，则有

x=2（t2+1）2t，y=t2-12t.

则P（2（t21+1）2t1，t21-12t1），

Q（2（t22+1）2t2，t22-12t2）.

所以kPQ=2（t1t2+1）2（t1t2+1）.

由题意，得kAP+kAQ=2（t1-1+2）2（-t1-1+2）+2（t2-1+2）2（-t2-1+2）=2（t1t2+22-3）（-t1-1+2）（-t2-1+2）=0，故可得t1t2=-22+3.代入得kPQ=-1.

（2）可参考解法1.

3 提出问题，探究问题

在这道考题中，曲线C是双曲线x22-y2=1，点A（2，1）在双曲线上.如果曲线C是任意的双曲线x2a2-y2b2=1，点A（x0，y0）是双曲线上任一点，那么在满足kAP+kAQ=0时，直线PQ的斜率是否仍为定值？

设PQ的方程为y=kx+m（显然PQ的斜率必存在），P（x1，y1），Q（x2，y2），从而由kAP+kAQ=0，得

y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2=0.

整理知2x0y0-y0（x1+x2）-x0（y1+y2）+x2y1+x1y2=0.

而y1+y2=k（x1+x2）+2m，

x2y1+x1y2=2kx1x2+m（x1+x2），

代入上式，得

2x0y0-（m-y0-x0k）（x1+x2）+2kx1x2-2x0m

=0.⑤

联立y=kx+m和x2a2-y2b2=1，得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.

根据韦达定理并代入⑤式，得

a2x0y0k2+a2（y0m+b2）k+x0b2（m-y0）=0.⑥

再由点（x0，y0）在双曲线上，则有

x20a2-y20b2=1.

得x20b2=a2b2+a2y20.

将它代入上式并因式分解得

（y0a2k+x0b2）（x0k+m-y0）=0.

故k=-x0y0·b2a2或m=y0-x0k.

而若 m=y0-x0k时，此时直线PQ过定点A（x0，y0），不合题意.

从而kPQ=-x0y0·b2a2，故是一个定值.

如果点A（x0，y0）不在双曲线上，直线PQ的斜率为定值吗？显然若A（x0，y0）不在双曲线上，则无条件x20a2-y20b2=1成立，故上式无法因式分解，从而直线PQ的斜率不是定值 .

如果其他条件不变，将kAP+kAQ=0改为kAP+kAQ=t（t≠0），则此时直线PQ的斜率为定值吗？

设直线PQ的方程为m（x-x0）+n（y-y0）=1，双曲线方程 x2a2-y2b2=1可变为

b2（x-x0）2-a2（y-y0）2+2b2x0（x-x0）×1-2a2y0（y-y0）×1=0.

再将PQ方程代入，得（b2+2b2mx0）（x-x0）2-（2a2ny0+a2）（y-y0）2-（2a2my0-2b2nx0）（x-x0）（y-y0）=0，

除（x-x0）2得

b2+2b2mx0-（2a2ny0+a2）（y-y0）2（x-x0）2-（2a2my0-2b2nx0）y-y0x-x0=0.

由韦达定理知kAP+kAQ=2b2nx0-2a2my02a2ny0+a2=t.

即 -2a2my0+（2b2x0-2a2y0t）n=a2t2.

两边同除a2t2，得

-2y0tm+（2x0t·b2a2-2y0）n=1.

显然由此式无法推导出m，n之间的倍数关系，即kPQ=-mn不是定值.

但这里我们发现因PQ的方程为

m（x-x0）+n（y-y0）=1，

从而x-x0=-2y0t，y-y0=-2y0+2x0t·b2a2.

故x=x0-2y0t，y=-y0+2x0t·b2a2.

从而能够推出直线过这个定点.

另外，由上面的推导可以观察到kAP·kAQ=-b2-2b2x0m2a2ny0+a2=b2a2·-1-2x0m2ny0+1，若令其为定值-b2a2，则得到mn=y0x0，从而可得kPQ=-mn=-y0x0.4 一般性推广

由上面的探究，可以得到下面几个结论：

结论1 点A（x0，y0）是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定点，P，Q为双曲线上两个动点，AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=0，则直线PQ的斜率为定值-x0y0·b2a2.

结论2 点A（x0，y0）是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上定点，P，Q为双曲线上两个动点，AP，AQ斜率分别为k1，k2，若k1+k2=t（t≠0），则PQ过（x0-2y0t，-y0+2x0t·b2a2）.

结论3 点A（x0，y0）是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定点，P，Q为双曲线上两个动点，AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1·k2=-b2a2，则直线PQ的斜率为定值-y0x0.

上述探究所得三个结论只需用-b2代替b2，就可得到椭圆对应的三个结论：

结论4 点A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定点，P，Q为椭圆上两个动点，AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=0，则直线PQ的斜率为定值x0y0·b2a2.

结论5 点A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定点，P，Q为椭圆上两个动点，AP，AQ斜率分别为k1，k2，若k1+k2=t（t≠0），则PQ过（x0-2y0t，-y0-2x0b2ta2）.

结论6 点A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定点，P，Q为椭圆上两个动点，AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1·k2=b2a2，则直线PQ的斜率为定值-y0x0.

对于抛物线，如果我们采取类似的处理方法，也可得到相关结论：

结论7 点A（x0，y0）是抛物线y2=2px（p>0）上一定点，P，Q为抛物线上两个动点，AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=0，则直线PQ的斜率为定值-py0.

观察结论1，4，7，因过点A的切线斜率分别为-x0y0·b2a2，x0y0·b2a2，py0，正好都与直线PQ的斜率互为相反数，从而这三个结论可统一成：

结论8 点A（x0，y0）是圆锥曲线上一定点，P，Q为圆锥曲线上两个动点，AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=0，则直线PQ斜率与圆锥曲线过点A处切线的斜率互为相反数.

5 结束语

2022年高考数学卷具有很好的导向作用，它关注数学的本质，强调理性思维的价值，注重数学的基础性，引导学生对数学概念、方法有更深刻的认知.在基础性、综合性、应用性、创新性等方面都进行了全面的考查，较好地发挥了高考的选拔功能，对中学数学教学改革将起到积极的引导和促进作用.

首先在数学教学中，时常会遇到各种各样的问题，这时我们不能满足于将问题解决了就万事大吉，而是要进一步进行探究.我们可以进行解法探究，也可以将问题一般化，进行拓展研究，还可以进行变式研究.这样的习惯对于学生思维的深刻性、灵活性很有帮助，在面对高考试题时，会处变不惊，从容应对［2］.

为了适应新高考的要求，我们可以培养学生自己编题的能力，通过编题训练学生钻研和深入探究的能力.比如根据此题可编写：已知点A（1，32）是椭圆x24+y23=1上一个定点，点E，F是椭圆的两个动点且直线AE和直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值等试题.

参考文献：

［1］波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2] 汪耀生.一道清华测试题的解法探究和推广[J].中学数学研究，2022（03）：55-56.

［责任编辑：李 璟］