一道二元最值问题的多解性研究

蔡飞

摘 要：最值问题是高中数学教学中的重点内容，也是难点内容.通过对一道基础题的最值问题研究，将解题方法进行归类，寻求此类问题的通性通法.

关键词：最值问题构造；解题方法；一题多解

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0077-03

本文主要分析一道二元条件最值问题，从不同的视角去审视，以不同的切入点进行探究.

1 试题背景

题目 已知x2+y2=4，求x+2y的最大值.

2 解法探究

解法1 （向量法）设a=（x，y），b=（1，2），由已知可得a=2，b=5.

所以x+2y=a·b=abcos≤25，当且仅当a和b同向时等号成立.

点评 向量法求解最值问题常用于一次式或确定角度问题.根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受.

解法2 （构造反对称）

（x+2y）2=x2+4xy+4y2，①

（2x-y）2=4x2-4xy+y2，②

①+②，得

（x+2y）2+（2x-y）2=5x2+5y2=20.

所以（x+2y）2=20-（2x-y）2≤20.

所以（x+2y）max=25，当且仅当2x=y时等号成立.

点评 根据题设条件的特点，构造反对称将非对称问题化归对称型，此法主要通过构造完全平方式将含xy项消去，同时得到k（x2+y2）.

解法3 （判别式法）令x+2y=m，

所以x=m-2y.

代入x2+y2=4中整理，得

5y2-4my+m2-4=0.

关于y的一元二次方程，

Δ=16m2-20（m2-4）≥0，

解得-25≤m≤25.

所以（x+2y）max=25.

点评 将二元问题转化为以某个变量为主元的二次方程，当二次项系数不为零时，根据方程有实数解得判别式大于或等于零列不等式，最后通过解不等式求得最值.

解法4 （消元法）根据对称性可知，当x＞0，

y＞0时，x+2y取得最大值.

因为x2+y2=4，所以y=4-x2，x∈（0，2）.

所以x+2y=x+24-x2.

设f（x）=x+24-x2，则

f ′（x）=1-2x4-x2

=4-x2-2x4-x2.

令g（x）=4-x2-2x，易知当x∈（0，2）时，

g（x）单调递减，且g（255）=0，所以x∈（0，255）时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（255，2）时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减.

即（x+2y）max=f（x）max=f（255）=25.

点评 消元法是解决这类二元最值问题常用的方法之一，通过简单的构造和化简，构造一个只含有一个参数变量的函数式，从而将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题.

解法5 （利用齐次式化归一元问题）

根据对称性可知，当x＞0，y＞0时，x+2y取得最大值.

所以（x+2y）2=4（x+2y）2x2+y2

=4x2+16xy+16y2x2+y2

=4x2/y2+16x/y+16x2/y2+1.

令t=xy，因为x＞0，y＞0，所以t＞0.

构造f（t）=4t2+16t+16t2+1，

f ′（t）=-8（2t-1）（t+2）（t2+1）2，

当t=12，即x=255，y=455时，f（t）max=20.

所以（x+2y）max=25.

点评 齐次化处理往往是解决双变量最值问题时优先考虑的一种将双变量转化为单变量问题的重要手段.本题将待求式进行平方，将待求式与已知式变成齐次式，然后实现消元，将二元问题转化为一元问题.

解法6 （数形结合）

设x+2y=m，则点（x，y）在直线x+2y=m上.

因为x2+y2=4，则点（x，y）在以O为圆心，2为半径的圆上.

当直线与圆相切时，m取得最大值

d=m12+22=2.

解得m=±25.

所以（x+2y）max=25.

点评 数形结合是高中数学中的重要方法.本题主要把涉及双变量的表达式“翻译”为几何条件，转化为线性规划问题，利用几何的直观性，得知双变量的取值范围.

解法7［1］ （三角换元）因为x2+y2=4，可设x=2cosθ，y=2sinθ，

所以x+2y=2cosθ+4sinθ=25sin（θ+）≤25，

当cosθ=55，sinθ=255，即x=255，y=455时，

（x+2y）max=25.

点评 三角换元是换元法中比较重要的一种，通过三角换元可将题目中的斜率、最值、范围等问题转化为三角函数问题.通常，已知条件为二元二次式（尤其是圆或椭圆方程）时，会考虑三角换元.三角换元是将多变量问题转化为单变量问题的一种相对高效的解题策略.

解法8［2］ （函数偏导求极值）根据对称性可知，当x＞0，y＞0时，x+2y取得最大值.

令x+2y=m，对x+2y=m和x2+y2=4分别关于x求导可得：

1+2y′=0，③

2x+2yy′=0.④

③④联立，得y=2x.

代入x2+y2=4，可得x=255，y=455.

此时为x＞0，y＞0时的唯一极值点.

所以（x+2y）max=25.

点评 在二元函数中，如果要对其中一个变量求导，可把另一个变量视为固定值，则可将二元函数

“当作”一元函数来理解.

解法9 （柯西不等式）

若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时等号成立.

由柯西不等式得

（x+2y）2≤（x2+y2）（12+22）=20.

所以（x+2y）max=25，当且仅当2x=y时等号成立.

点评 本例主要应用柯西不等式的二元形式进行解题.使用柯西不等式时一定要注意已知条件和待求代数式之间的联系，通过配凑使之满足定理使用的条件.

解法10 （拉格朗日乘数法）

求目标函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值，构造拉格朗日函数L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），其中λ是待定系数，则极值点满足方程组

fx（x，y）+λφx（x，y）=0，fy（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0.

构造拉格朗日函数

f（x，y，λ）=x+2y+λ（x2+y2-4），

令f（x，y，λ）的各偏导数等于0，得

fx=1+2λx=0，fy=2+2λy=0，fλ=x2+y2-4=0.

所以x=-12λ，y=-1λ，x2+y2-4=0.

当λ=-54，x=255，y=455时，

（x+2y）max=25.

点评 拉格朗日乘数法能够解决多变量、多个约束条件下的最优化问题.在解决多元函数的条件极值中，只需按照解题步骤逐步推进即可.

3 结束语

本文解法中利用代入消元、齐次式消元、三角换元将二元问题化归为一元问题，从而实现模型的简化.消元思想是高中数学常用的思想方法之一.在柯西不等式的使用中，本文主要利用了柯西不等式的向量形式和二维形式.在解决不等式或最值问题中，柯西不等式的使用往往能起到化繁为简的效果.另外，数形结合的方法在数学中也是重要的思想方法.文中还补充了函数偏导求极值以及拉格朗日乘数法求条件极值两种方法.对于高中生而言，掌握上述两种方法，对于复杂的多元问题更容易上手.对于最值问题，没有通法通解，需要我们从不同的维度去思考分析，找到适合自己的方法.

参考文献：

［1］甘志国.例谈用三角换元法解重点大学自主招生试题[J].数理化解题研究，2019（10）：34-37.

[2]余铁青.例谈条件极值在多元函数最值问题中的应用[J].数理化解题研究，2020（22）：5-6.

［责任编辑：李 璟］