关于线性代数课程中理论和方法具象化的探究

袁健 王菊香

摘要：线性代数是理工科本科专业必修的一门数学基础课，该课程概念多、思维抽象以及数学方法难度高，传统的教学模式很难让学生有所收获。作者根据在本课程教学过程中的体会和思考，探索将抽象的数学方法具体化和形象化，将抽象的数学理论生动化和直观化，以适应大学生的思维方式，开阔学生的数学视野，引导学生进行创新，激发学生探索的热情，提高教学质量和效果。

关键词：线性代数；教学实践；数学素养

随着计算机和移动通信等技术的蓬勃发展，许多工程技术问题的解决都离不开线性代数的理论和方法，因而线性代数课程对于理工科专业本科生具有的重要的作用和地位，是理工科本科专业必修的一门数学基础课。通过线性代数课程的学习，使学生具备线性代数的相关基本理论及基本方法，并能用它们解决一些实际问题，培养学生的空间直观和想象能力以及抽象思维和逻辑推理能力，为学生学习后续专业课、扩大实践能力打下牢固的数学基础。

线性代数的概念和方法具有逻辑性强、抽象程度高、应用具有广泛性等突出特点。该课程中的概念多，往往前一个概念是为了后一个概念做铺垫，逻辑性连贯强；大部分概念都有着具体的应用背景，从实际问题抽象出来的；抽象的概念的好处就在于它体现的是一般性规律，从而具有广阔的应用范围。逻辑性强、抽象程度高、应用广泛性是线性代数课程突出的优点，也决定了本课程是一门较为难学的课，刚接触本课程的大学生，感受到基本概念难以掌握，基本方法难以理解，例题和习题难做。作者承担多年本校理工科专业的线性代数课程教学，在教学实践中对课程内容不断体会和思考，尝试让抽象的数学方法趣味化、具体化和形象化，力图让抽象的概念和理论生动直观，努力让讲授过程适应大学生的思维方式，让学生学有所获，开阔学生的数学视野，激发学生探索的热情，提高学生的数学素养。本文主要内容安排如下：先回忆了求逆矩阵的初等变换法，并将此方法形象的命名为“汽车记录仪法”，让数学方法形象化和趣味化；然后介绍了用“汽车记录仪法”化二次型为标准形、化矩阵为相抵标准形；利用相抵标准形创新性的给出求解线性方程组的一个新算法，引导学生进行创新；还介绍了特征值和特征向量在宏观经济学中的一个应用，培养学生实际问题的建模能力和探索问题的热情。

1 用汽车记录仪比喻初等变换中的重要方法，将数学方法具象化和趣味化

1.1 汽车记录仪法

用生活中形象的事物，来比拟线性代数中抽象的数学概念和方法，让学生感觉到趣味性，逐渐产生对数学的兴趣，从而乐于主动去探索和钻研数学，这对学生深刻理解和掌握数学知识很有益。当可逆时，用（其中为的伴随）求逆的计算量很大，通常是利用初等变换法：。

刚接触矩阵的学生们会觉得这种方法难以把握。由于原矩阵怎么变，单位矩阵会跟随着作相同变换，相当于把对进行的所有变换都被记录下来，因此在原矩阵的旁边添加单位矩阵其功能就仿佛是汽车行程记录仪，我们形象的把这种方法称为汽车记录仪法。汽车记录仪法操作简单，是一个非常有用的数学方法，可用于以下二次型化标准形之中。

1.2 汽车记录仪法在二次型化标准形中的应用

二次型的主要问题是：求非退化线性变换，将二次型化为标准形：。线性代数教材中主要介绍用正交变换法以及多项式的配方法将二次型化为标准形，但这两种方法通常计算量都较大。我们在教学中介绍用矩阵的成对初等行列变换法将二次型化为标准形，并且这种方法的计算是最为简单的。这不仅向学生展示了矩阵初等变换应用的广泛性，还拓展了学生的数学视野，激发学生创新和探索的兴趣。

注意到是可逆矩阵，可设，其中（）都为初等矩阵。于是，即对作次成对初等行列变换可化为。利用汽车记录仪法，求矩阵的方法如下：

即当变为对角矩阵时，的位置就变成了。

例1： 将二次型化为标准形。

解： 的矩阵为。对作成对初等行列变换：

所以线性变换可将二次型化为如下标准形：。

2 用相抵标准形给出求解线性方程组的新算法，激发学生的创新性思维

2.1 汽车记录仪法化矩阵为相抵标准形

汽车记录仪法还可用于矩阵化相抵标准形。矩阵如能经过一系列初等变换化为矩阵，则称与相抵。矩阵的秩为当且仅当能经过一系列初等变换化为。把称为的相抵标准形（也称等价标准形）。但只这个结论、写出相抵标准形的结果是不够的，数学非常关注过程，即如何从原矩阵变换成相抵标准形的，这也是培养学生思维的严谨性和全面性的基本要求。因此，相抵标准形的基本问题是：对于矩阵，如何找到可逆阵和（不唯一），使得。欲求和，可以利用汽车记录仪法：对矩阵的前行作初等行变换，前列作初等列变换，当变为相抵标准形时，和的位置分别就是和。由于右下角的零分块未参与变换，所以可不必写出。

例2： 将矩阵化为相抵标准形。

解：

所以，，矩阵可化为如下相抵标准形：

2.2 用相抵标准形求解齐次线性方程组

为了让学生深刻理解并体会到相抵标准形的重要意义，我们介绍了矩阵的相抵标准形在解线性方程组中的应用，并创造性的给出解线性方程组的一个新的算法。这有助于拓展了学生的视野，引导学生去探索问题，激发学生创造性思维。设矩阵的秩，且的相抵标准形为，其中和可逆。下面利用相抵标准形分析的解空间的结构。将矩阵按列分块写成：。因为可逆，所以线性无关。由于，所以（其中）以及（其中，表示第个分量为1、其余分量全为0的维列向量）。因为是可逆矩阵，从而（其中），于是（其中）是的个线性无关的解。由于构成的一个基，所以任一解可设为。由于，所以，从而

于是，所以，即方程组的任一解都可用（其中）线性表示。因此（其中）是的基础解系。以上证明了如下有用的结论：

命题1： 设齐次线性方程组的系数矩阵的相抵标准形为，其中是阶可逆阵，是阶可逆阵。则的后列就是该方程组的一个基础解系。

由该命题可给出求解齐次线性方程组的一个新算法：

（1）利用初等行变换将系数矩阵化为行阶梯矩阵或行最简矩阵；

（2）根据秩来判断是否有非零解；

（3）如果有非零解，求出相抵标准形中的矩阵；

（4）利用的后列写出方程组的通解。

例3： 解下列齐次线性方程组：。

解 ： 由例2可知系数矩阵的秩为2，并且。所以解空间维数为2，并且通解为，其中为任意数。

3 特征值和特征向量在宏观经济学中的应用，体现数学理论应用的广泛性

学生在学习矩阵的特征值和特征向量等抽象概念时往往感到很枯燥，而在传统教学中通常介绍这些内容在矩阵的相似对角化求矩阵方幂的应用或者求斐波拉契数列通项公式的应用，很少介绍它们的实际应用背景，导致学生对这些概念的理解不够深刻。我们在教学中通过引入实际背景，介绍特征值和特征向量在实际问题中的应用，有助于学生对特征值和特征向量等概念的深刻认识和理解，扩大学生对实际问题进行数学建模的能力，激发学生积极探索问题的兴趣。

我们介绍了矩阵特征值和特征向量在研究一种经济现象中的巧妙应用。在社会经济活动中，不同产业之间存在不同程度的相互依存关系。比如铁路运输建设需要钢铁、电器材料等其他产业的投入；相应的，这些其他产业也需要铁路运输产业来运输它们的原材料和产品。这种供需关系形成了一个复杂的经济网络，在数学上可以利用矩阵的方法来研究这种复杂的经济现象。设现有个产业，并且每生产1个单位的要直接消耗掉个单位的，其中，。将矩阵称为消耗系数矩阵。消耗系数矩阵是我们研究和掌握经济活动的重要工具之一，矩阵计算以及特征值、特征向量等数学理论在这里就派上了用场。

例4： 设有三个产业，其消耗系数矩阵为。设初始投入的数量为，其中。试分析对初始投入的数量满足什么要求，才能使一年后这三个产业按照相同百分比增长（即同步增长），所增长的百分比能达到多少。

解： 令，设一年后三个产业的生产数量分别为，令。可以简化为初始投入在一年后恰好消耗完，由于生产个单位的，直接消耗个单位的，所以初始投入的数量应满足：

即有，由此可得。因为要求一年后三个产业以相同百分比增长，所以，其中为一个正常数。于是，从而。因此，是的一个特征向量，是的一个正特征值，增长的百分比为。

下面代入相应数值，由，可得的特征值为（负值舍去）。对于特征值，解齐次线性方程组，可利用相抵标准形求出其一个基础解系：。因此，初始投入数量应当按照2：1：2的比例，就能使一年后这三个产业按照相同百分比增长，并且增长百分比等于，约为。

结语

本文是作者在线性代数课程一线教学过程中对一些概念和理论的教学体会和思考。通过将抽象的数学方法具体化和形象化、将抽象的概念和理论生动化和直观化，以此来适应大学生的思维方式，提高教学效果和质量，让学生学有所获，开阔学生的数学视野，引导学生创新性意识，激发学生创新的热情，提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。

参考文献：

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基金项目：安徽建筑大学教学研究质量工程项目（2023jy45，HYB20230132，2021xskc01），高等学校大学数学教学研究与发展中心教改项目（CMC20210414），安徽省高校科学研究重点项目（2023AH050178）作者简介：袁健（1988- ），男，汉族，安徽肥西人，博士，讲师，研究方向：代数编码。