一题一课，让思维深度发展

李佳 李国良

【摘 要】“等积变形”是在“组合图形的面积”之后增设的一节拓展课。围绕关键一题展开，利用平行线间的特性变换正方形组合图形内的阴影部分来引导学生进行等积变形，从而抽象出等积变形的模型。通过变式组合图形的外部框架，帮助学生提炼等积变形的本质，提高解决问题的能力，发展空间观念，最终实现核心素养的落实。

【关键词】一题一课 等积变形 思维发展

“一题一课”是教师通过对一道题的整体分析，充分研究其在数学中的功能价值，基于学情，自然、合理、有序地组织学生展开深入的探究，以达成多维目标的过程。有效地研究一道题并拓展到一类题，可以让思维深度发展，从而提升学生的数学素养。

一、课前慎思

人教版数学三年级下册中安排面积知识的学习，并探索了基本的长方形、正方形面积计算。在五年级上册第六单元“多边形的面积”中又研究了平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积。仔细观察平行四边形和三角形面积相关的课后习题，可以发现多次出现等底等高的题目（如图1、图2），这三个题目的解决都需要用到图形的性质进行等积变形，在一次次的对图形进行变化的过程中慢慢发展学生的空间观念和推理意识。同样，在五年级下册“体积”和六年级下册“圆柱与圆锥”知识中也存在等体积中的变形。

下图中两个平行四边形的面积相等吗？它们的面积各是多少？

下图中哪几对三角形的面积相等？（两条虚线互相平行）你还能画出和三角形ABC面积相等的三角形吗？

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，习题的设计要关注数学的本质，关注通性通法。笔者基于新课标的要求和对教材的分析，以“等积变形”一题作为课的核心内容来开展研究。所谓“等積变形”就是在不改变面积大小的前提下改变图形的形状，在变形的过程中运用相关图形的性质，根据一组平行线的特性将复杂的面积计算方法转化成基本图形的面积计算，降低解决问题的难度，发展学生的空间想象力和推理能力。

二、基础慎析

学生的认知基础是开展有效教学活动的前提，通过对学生知识水平、已有经验、思维能力等方面进行了解、分析与思考，为教学设计、实施有针对性的教学提供依据。笔者结合教学内容，设计了两个前测题（如图3），要求学生在10分钟时间内独立解决问题。

下图均是由两个正方形拼组而成，根据条件求出阴影部分的面积。

从前测结果统计中笔者发现，学生主要聚焦于“总面积－空白部分面积=阴影部分面积”。第一小题基本采用6×6+10×10－10×10÷2-6×（10+6）÷2=38（cm2），第二小题采用6×6+10×10－（10－6）×10÷2－10×（10+6）÷2－6×6÷2=18（cm2），且正确率较低。这给教学提出了值得思考的问题：一是学生运用“等底等高”图形面积相等的知识点比较薄弱；二是无法实现从等底等高的知识点向“等积变形”这个知识点迁移。因此，笔者试图通过“等底等高”图形面积之间的关系，构建起“等积变形”的拓展题，让学生感受其中的“变与不变”，鼓励学生运用该知识点创造出更多等面积的图形，能巧妙计算较为复杂的图形面积，增强“等积变形”的意识，帮助其进行深度学习，促进思维的纵深发展。

三、课堂慎行

（一）利用基本图形，初识变换模型

借助已学的基本图形，唤醒学生的原有认知，让其感受利用平行线间的特性来找形状不同而面积相等的图形，初步认识“等积变形”的模型，为之后更深思维层次的学习做铺垫。

环节一：呈现单个图形，唤醒原有认知基础

课始，出示图4，组织学生比较4个阴影部分面积的大小并说一说理由。对于①②中的两个阴影部分，学生利用直观感知，采取计算面积的方法和利用长方形与三角形面积关系的方法进行比较。接着，教师追问：“除了计算的方法和图形关系的方法知道它们的面积相等，大家还能用其他方法进行比较吗？”部分学生就明白把第2个图中三角形上的一个顶点平移到左边，从而变成与第1个图完全一样的三角形，也证明了两个图形的面积相等。通过这样的设疑唤醒“平行线之间的距离处处相等（高相等）”的旧知，为③④图与①图阴影部分面积的比较做好铺垫，在此基础上揭示：平行线间图形这样的变化称为“等积变形”。

比较下面阴影部分面积的大小，你有什么发现？

通过这4个图形的变化，特别是第4个图形需要添加辅助线并经历3次变化才能与第1个图形一致，再结合动画演示其过程，让学生充分经历思维的发展过程。由此总结出：在一组平行线内，可以将图形改变形状成为与其同底等高的图形，而面积保持不变，这在一定程度上发展了学生的空间想象力。

环节二：呈现组合图形，初步体验变化特征

接着，笔者出示一组组合图形，要求学生比较阴影部分的面积（如图5）。学生通过两种分析思路：一是大三角形面积均是正方形面积的一半，从而得出两个阴影部分面积相等，这是学生的直觉思维；另一种是通过正方形相对的边互相平行，将右图大正方形里的F点沿着FH移动到H点，变成与左边的大正方形里的三角形完全相同的形状，从而得出面积相等，让学生经历组合图形中平行线间的等积变形。这个变形过程是对环节一的巩固与深化，这样一来，学生知道了在组合图形中也可以有效地利用等底等高的图形面积相等的数学本质。

（二）巧设阴影部分，构建变换模型

运用平行线特性进行等积变形有三个关键点：找一组平行线，找同底等高的图形，以及形状变了面积不变。这些关键点应渗透在每一环节中，逐渐使学生形成一个解题模型，即在等积变形时应先找一组平行线，然后再将图形（三角形）进行同底等高的变化，最终将复杂的图形转变成基本图形的面积计算。

环节三：改变图形结构，发展建模能力

对“等积变形”运用有了一定能力后，再一次改变组合图形的阴影部分，要求学生求出阴影部分的面积，旨在引导学生利用“等积变形”的优越性进行计算。集体交流后发现，计算的方法大致有四种（如图6）。

3.求阴影部分的面积。

对于这四种方法，分别让学生说一说解题的思路。经过交流后，发现第①③两种属于同一类，即用大面积减去小面积的思路来解决，而第②种则是采用合并求和的方法。但部分学生对第④种方法在理解上还是存在一定困难，因此，需要进行适度的展开。

师：有多少同学看懂了这种方法？能向大家解释一下吗？

生1：先连接AC，知道了AC和EH都是正方形的对角线，所以AC∥EH，根据平行线之间的距离处处相等，△AEH和△CEH都是以EH为底，高也相等，因此S△AEH=S△CEH，所以这里求△CEH的面积就可以了，就是10×10÷2=50（cm2）。

随后，教师运用动画形象地展示变形的过程，让抽象的变化直观化、具体化，降低了学生理解的难度。在掌握、理解这种方法后，教师继续追问：

师：这些方法中哪种更简单？对求复杂的阴影部分的面积有什么启示？

生2：第④种采用了“等积变形”的方法，显得更加便捷。

生3：在求阴影部分面积时，如果能找到一组平行线，利用平行线间的特性进行等积变形，就可以将一个三角形转化成与它本身面积相等、形状不同的三角形，这样算就会很方便、很简洁。

生4：从第④种方法中，不仅可以运用“平行线间的距离处处相等”来找同底等高等面积的三角形，还可以用“等面积的图形-公共部分图形”找等面积的三角形。

……

通过对比、质疑，学生进一步体会到等积变形的简洁性与优越性，拓宽了寻找等面积图形的思路，也让他们从原有的知识体系中梳理出相关的知识点，利用知识点多次寻找面积相等的三角形，逐步建立等积变形的基本模型和方法，提高解决几何问题的能力，为更高层次的空间想象奠定基础，促进深度学习的发生。

（三）变式组合图形，运用变换模型

通过上述内容的研究，学生已建立了等积变形的基本模型，能够运用这个模型计算类似图形的面积。而变换组合图形内部阴影或外部框架，能够让学生更深层次地理解“等积变形”的模型，丰富对变换模型的应用经验，感悟它的优势，掌握它的本质。

环节四：转换内部阴影，突出模型优势

接着，出示转换阴影部分的组合图（如图3中的②），组织学生运用等积变形的知识点进行推理。大部分学生都能连接CF，利用BD∥CF，将△BDF转化成同底等高的△BCD，很快就计算出阴影部分的面积。通过这一题的研究，更加明显地感觉到等积变形的优势，提高了运用模型的能力。

環节五：变动外部框架，彰显模型本质

随后，教师设问：“如果将这两个正方形变成两个平行四边形（如图7），其余条件不变，那么这个阴影部分的面积还是小平行四边形面积的一半吗？”经过讨论，学生一致认为仍然成立。因为连接CF，BD与CF仍然平行，把△BDF转化成同底等高的△BCD，△BCD的面积就是这个小平行四边形面积的一半。教师继续追问：“还能将‘两个正方形改成什么图形，使结果仍然成立呢？”有学生认为长方形也可以，有学生认为只要满足连接CF，使得BD∥CF的图形都可以。

设置这个环节，主要是让学生抓住这个模型最本质的特征，即利用平行线等积变形，关键是要构造出一组平行线，再利用平行线间的性质寻找面积相等的图形。通过变式练习，不仅拓宽了学生的视野，使其对概念有了更深的理解，还能引导学生多维度研究问题，激发其创新能力和探究能力，感知图形变换的规律与内在逻辑结构。

总之，空间观念是核心素养的一个重要表现形式，是学生灵活想象和转换几何图形与现实实物的一种思维能力。教师在平时的教学中要强化对数学本质的理解，学会用整体的眼光分析各个图形知识点，寻找它们之间的联系与区别，充分挖掘每一题、每一个知识的内涵价值，有目的地设计教学活动，引导学生进行深度学习，不断用数学的眼光分析问题，从而形成科学的思维习惯，发展核心素养。