“复变函数”课程知识对传统数学问题的新解法

林志明 赵英翠 潘晓衡

摘 要：“复变函数与积分变换”课程是许多工科专业的必修基础课程，它既是“高等数学”等基础课程的延续拓展，也是“信号与系统”等实用课程的工具技巧。复变函数的知识能升华学生对传统问题的认知，让学生养成用统一的思路和观念解决相似问题的习惯。本文旨在以三角函数问题、数列问题、积分问题和常微分方程问题为例，探讨“复变函数”课程知识对这些传统数学问题的影响，并将利用复变知识获得的新解法与该问题的传统解法进行对比，以展示“复变函数”课程对传统数学问题的重要意义和应用前景，希望能够为人们求解传统数学问题提供新的启发和突破。

关键词：复变函数；传统数学问题；传统解法

传统数学问题在解决过程中常常需要运用基本的数学知识和技巧。然而，随着“复变函数”课程的发展和应用，我们发现传统数学问题也可以通过复变函数的知识得到更加简洁和高效的解决方法［1］。“复变函数与积分变换”课程，是电子、电气、通信、自动化等专业的基础必修课程［2］。该课程通过引入复数的观念和技巧，能巧妙解决很多传统的数学问题，解法既优美简洁又具有一般性，很值得大学生学习。

三角函数问题、数列问题、积分问题和常微分方程问题为学生提供了解决实际问题的数学工具和思维方法，同时也为后续专业课程和实际应用领域打下了坚实的基础。下面，我们通过这些问题，简单对比传统解法和复变课程知识下的解法，来简要说明复变课程工具的强大作用。

一、三角函数问题

三角函数问题是数学中的基础概念，在解析几何、代数、微积分等领域有广泛应用。研究三角函数问题有助于深化对周期性现象的理解，例如在物理学、工程学和天文学中，周期性现象的描述和分析都离不开三角函数［3］。此外，三角函数还在信号处理、图像处理、通信等领域中扮演着重要的角色［45］，因此对三角函数问题的深入研究对于这些应用领域的发展具有重要意义。

【问题1】计算：cos5π7+cos3π7+cosπ7.

高中解法：

利用积化和差公式可得：

cosπ7sinπ7=12sin2π7-sin0，cos3π7sinπ7

=12sin4π7-sin2π7，cos5π7sinπ7=12sin6π7-sin4π7

加起来可得cosπ7sinπ7+cos3π7sinπ7+cos5π7sinπ7=12sin6π7.

又因为sin6π7=sinπ7，上式两边除以sinπ7，可得cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.

复变函数给出的新观念：记z=cosθ+isinθ，因为zz=z2=cos2θ+sin2θ=1，则有1z=z=cosθ-isinθ，上述两式相加再除以2，可得cosθ=12z+1z=z2+12z.又因为z=cosθ+isinθ，由乘幂公式有zn=cosnθ+isinnθ，同理可得cosnθ=12zn+1zn=z2n+12zn.

因此，可设z=cosπ7+isinπ7，由乘幂公式有z7=-1，于是cosπ7=z2+12z，cos3π7=z6+12z3，cos5π7=z10+12z5。所以：

cos5π7+cos3π7+cosπ7=z10+12z5+z6+12z3+z2+12z

=z10+z8+z6+z4+z2+12z5

=12z5·1-z121-z2=12·1-z12z5-z7=12·1-（-z5）z5-（-1）=12

总结：我们借助复变函数的欧拉公式和乘幂公式（棣莫弗定理），能有效地把三角函数转化为有理函数，并且把三角函数的求和、求不等式等各种各样的问题，都转化为有理函数的对应问题，从而实现问题的简化和统一。因为有理函数的问题已经被研究得比较全面，解决问题的工具也非常丰富，所以复变函数课程提供的这种解题思路，能很好地解决三角函数的复杂问题。

二、递推数列问题

数列问题涉及数学分析中的极限、收敛性等重要概念，在概率论、微积分、实变函数等课程中具有重要地位。研究数列问题有助于深化对数学规律和模式的理解，对于探索数学中的规律性和变化性具有重要的意义。数列也與数学中如极限、级数、递推关系等重要概念和定理密切相关，因此对数列问题的深入研究对于这些数学理论的发展和应用具有重要意义。另外，数列问题在实际应用中也有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域中［6］，数列的模型和分析都发挥着重要作用。因此，对数列问题的研究不仅有助于深化数学理论，也对应用数学的发展产生积极影响。

【问题2】已知x1=2、x2=1，且满足xn+2=xn+1-xn（n∈N），求x2023和xn.

高中解法：由已知可得：

x1=2，x2=1，x3=-1，x4=-2，x5=-1，x6=1，x7=2，x8=1

因此{xn}是一个周期为6的数列，又因为2023≡1mod6，则x2023=x1=2，并且有：

xn=2（n≡1mod6）1（n≡2mod6）-1（n≡3mod6）-2（n≡4mod6）-1（n≡5mod6）1（n≡0mod6）

复变函数给出的新观念：设数列{xn}的前两项x1、x2已知，且满足xn+2=pxn+1+qxn（二阶线性递推数列），则称方程λ2=pλ+q为该数列的特征方程。该方程若有两个不同的根a、b，则称这两个根为该数列的特征根。此时数列的通项公式可表示为xn=A·an-1+B·bn-1.

由x1=A+Bx2=A·a+B·b，解得A=x2-bx1a-b和B=x2-ax1b-a。因此数列的通项公式为xn=x2-bx1a-b·an-1+x2-ax1b-a·bn-1.

因此，针对本例子，可得特征方程λ2=λ-1，解得a=12+ 32i、b=12- 32i，利用初值x1=2、x2=1，由公式有：

xn=1-212- 32i 3i·12+ 32in-1+1-212+ 32i- 3i·12- 32in-1

=eπ3in-1+e-π3in-1=e（n-1）π3i+e-（n-1）π3i

=cos（n-1）π3+isin（n-1）π3+cos（n-1）π3-isin（n-1）π3

=2cos（n-1）π3

故有x2023=2cos2022π3=2cos674π=2cos0=2

总结：借助代数学基本定理，实变量的一元代数方程在复数域内永远有解，所以线性递推数列的特征方程在复数域内一定有根，从而可借助复数直接求得递推数列的通项公式，系统地解决线性递推数列的通项问题。这种思路不仅解决了二次线性递推问题，理论上也解决了高次线性递推数列问题，解题思路简单且优雅，为递推数列问题的研究提供了本质性的工具。

三、定积分问题

积分问题是微积分的核心内容，涉及曲线面积、体积等重要概念，在物理学、工程学等领域有广泛应用。研究定积分问题有助于深化对微积分学中的积分概念和计算方法的理解，对于探索微积分学中的规律性和变化性具有重要的意义。定积分问题还与如牛顿莱布尼茨公式、分部积分法、换元积分法等重要数学概念和定理密切相关。另外，定积分问题在实际应用中也有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学［7］等领域中，定积分的模型和分析都发挥着重要作用。因此，对定积分问题的研究不仅有助于深化数学理论，也对应用数学的发展产生积极影响。

【问题3】计算：∫π0sinxexdx.

高数解法：使用两次分部积分公式∫bau′（x）v（x）dx=u（x）v（x）ba-∫bau（x）v′（x）dx，我们可计算得：

∫π0sinxexdx=-∫π0exd（cosx）

=-excosxπ0-∫π0cosxexdx

=eπ+e0+∫π0exd（sinx）

=eπ+e0+exsinx|π0-∫π0sinxexdx

因此，2∫π0sinxexdx=eπ+1，故∫π0sinxexdx=12（eπ+1）

复变函数给出的新观念：若复变函数f（z）在复平面上解析，则f（z）的定积分可用牛顿莱布尼兹公式求解。而且，复数域上三角函数的定义为sinz=12i（eiz-e-iz）。

因此，针对本例子，我們可设f（z）=sinzez，则有

∫π0sinxexdx=∫π0sinzezdz=∫π012i（eiz-e-iz）ezdz

=12i∫π0e（1+i）z-e（1-i）zdz

=12ie（1+i）z1+i-e（1-i）z1-iπ0

=12ie（1+i）π1+i-e（1-i）π1-i-e01+i-e01-i

=12（eπ+1）

总结：在高数中，遇到三角函数乘以指数函数的积分问题，总是需要用到分部积分公式，并且要做两次分部积分才能求解。对大部分学生来说，分部积分是比较困难的技巧。在复变函数中，借助复变函数中三角函数的定义，我们总是能把三角函数转化为指数函数，三角函数的积分问题转化为指数函数的积分问题，从而避免分部积分，实现简化。求指数函数的原函数和积分都是非常简单的，上面计算虽然看似繁杂，实则思路非常清晰，每一步也都非常容易实现。

四、常微分方程问题

常微分方程问题是数学分析中的基础概念，与动力系统、控制理论等领域有密切联系，在工程学、生物学等领域有重要应用。研究常微分方程问题有助于深化对微积分学中的微分方程概念和计算方法的理解，对于探索微积分学中的规律性和变化性具有重要的意义。常微分方程问题还与如解析解、数值解、相图、稳定性等重要数学概念和定理密切相关。另外，常微分方程问题在实际中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域中，常微分方程的模型和分析都扮演着重要的角色［8］。

【问题4】已知2x″（t）+x′（t）-x（t）=t-1，x（0）=1，x′（0）=-2，求x（t）.

高数解法：

首先，通过观察发现方程的一个特解为x（t）=-t。

其次，计算方程對应的特征方程2λ2+λ-1=0，可得λ1=12，λ2=-1，因此方程的通解可设为：

x（t）=Ae12t+Be-t+x（t）=Ae12t+Be-t-t1s

代入初值x（0）=1，x′（0）=-2，可得：

x（0）=A+B-0=1，x′（0）=12A-B-1=-2

因此A=0，B=1，原方程的解为x（t）=e-t-t.

复变函数给出的新观念：对原方程两边做拉普拉斯变换，有：

2s2Lx（t）-sx（0）-x′（0）+sLx（t）-x（0）-

Lx（t）=1s2-1s

代入初值x（0）=1，x′（0）=-2，可得2s2Lx（t）-2s+4+sLx（t）-1-Lx（t）=1-ss2.整理可得：

Lx（t）=12s2+s-11-ss2+2s-3=s2-（s+1）s2（s+1）=1s+1-1s2

对上述式子做拉普拉斯逆变换，有：

x（t）=L-11s+1+L-11s2=e-t+t

总结：在高数中，不同类型的常微分方程，需要使用不同的方法去求解，包括分离变量法、换元法、特征方程法、寻找特解法等。而且非齐次线性方程寻找特解的过程中，总是需要运气和灵感，一般的学生不容易实现。我们借助复变函数中的积分变换理论，总是能把常微分方程转化为拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的计算，只要我们熟记积分变换的微分性质和常见的变换结果，就能用统一的一种方式来解决所有的线性常微分方程问题。

结语

通过对比三角函数问题、数列问题、积分问题和常微分方程问题的传统解法与复变函数解法，我们可以清晰地看到复变函数工具在解决这些问题方面具有独特的优势和应用。传统的解法往往局限于实数域，而复变函数课程提供了一种更加广阔和丰富的数学工具，能够更好地解决这些问题，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。因此，复变函数课程的知识和方法不仅在高等数学理论研究中具有重要意义，同时也在实际应用中发挥着重要作用。希望本研究能够为更多的人认识到复变函数的重要性和应用前景提供一些启发。

参考文献：

［1］肖涛，聂立川，郑亚勤.高等数学中可以用复变函数的方法解决的几个问题［J］.科学大众：科学教育，2008（8）：61.

［2］肖自碧，杨波.“复变函数与积分变换”课程教学改革探讨［J］.中国电力教育，2010（15）：8081.

［3］胡熙元.三角函数的广泛性应用［J］.中学生数理化（学习研究），2019（1）：20.

［4］刘志国，赵景庚，张耀辉，等.处理谐振电路的三角函数方法［J］.大学物理，2023，42（2）：1823.

［5］王军祥，曾相森，徐晨晖，等.基于图像处理技术的岩体裂隙定量识别方法研究［J］.地下空间与工程学报，2022（02）：446457.

［6］汪斌，刘家福.数列的极限及其应用分析［J］.数学的实践与认识，2006，036（008）：367373.

［7］李蕊，苏娟丽.定积分在水利工程计算中的应用研究［J］.商丘职业技术学院学报，2023，22（1）：7074.

［8］魏琪.旋转多孔层中非局部热平衡时粘弹性流体的热对流研究［C］//中国工程热物理学会传热传质学2009年学术会议.2009.

项目基金：2020年度东莞理工学院校级质量工程课程建设类项目“复变函数与积分变换”（项目编号：202002 067）；2022年度广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目“以学生为中心的《离散数学》课程教学改革与实践”

作者简介：林志明（1988— ），男，汉族，广东湛江人，博士，讲师，研究方向为代数几何及复几何；赵英翠（1992— ），女，满族，河北承德人，博士，讲师，研究方向为拓扑动力系统；潘晓衡（1983— ），男，汉族，湖南衡阳人，硕士，高级工程师，研究方向为云计算及人工智能。