浅谈工程数学教学过程中的几点心得

王蕾

【摘 要】工程数学是高等数学课程的延伸，本文阐述了它和高等数学在理论体系上的异同，并结合对自己在教学过程中一些想法，提出对一些知识点的处理建议。

【关键词】工程数学；复变函数；积分变换；教学方法

工程数学是高等数学的后续课程，是一门重要的工科专业必修课。它不仅在数学的其他分支，如常微分方程、积分方程，有着重要的应用，还在其他科学领域有着广泛的应用，如理论物理、流体力学等。

我校是医学院校，针对我校生物医学工程专业，我们在学生大二第一学期开设了工程数学这门课程，是一门必不可少的专业基础类必修课程。它为电工与电路分析、模拟电子技术、信号与系统等后续专业专业课学习提供了必要的数学工具，在整个课程体系中占有举足轻重的地位和作用。因此，如何学好工程数学这门课程是非常重要的。我校工程数学计划54学时，包括复变函数和积分变换，学时少，内容多。在教学过程中，学生也时常反应概念难懂、方法不易掌握、习题难做，容易与高等数学的知识点混淆。对此，本文结合实际授课经验和我校工程数学这门课程教学改革，浅谈教学过程中遇到的一些问题和对一些知识点的处理建议。

工程数学和高等数学既有区别又有联系。它们的研究对象都是函数，研究主线都是通过变量研究函数，从而定义极限，利用极限去研究函数的连续、导数、积分。两者的差异在于工程数学研究的函数是复变函数，高等数学研究的函数是实变函数。从实变函数到复变函数，函数的定义域与值域从实数域扩大到复数域。因此，复变函数是实变函数理论的延续和拓展，两者的区别和联系贯穿教学的始终，在教学过程中，通过类比的方式，利用高等数学的知识，理解复变函数与实变函数的区别。例如，对许多基本概念及定义进行理解时，使用类比法多做对比，找出相似点与不同点，加深对这些概念的理解。

1 复数的定义

一般称（其中，x，y是实数）是一个复数。但这个概念的本质是什么呢？类似实数可用直线上的点来表示，一个复数由一对有序实数（x，y）唯一确定，当建立直角坐标系后，平面xoy上的任意一点P（x，y）可以按照一定规则与一对有序实数（x，y）建立一一对应的关系，也可以和起点为原点，终点为P的向量建立一一对应的关系。因此，从几何角度理解，复数可以用点P或者向量来表示，也可以说复数是向量的另外一种表示方式。因此，复数的本质应该是向量，而不是“数”。“数”的本质特性是可以比较大小的，因此，可以从这个角度不难理解，复数为什么不能比较大小了。

2 复变函数的定义

复变函数是一元实变函数的直接推广，它的定义与一元实函数的定义形式完全相同，但是复变函数的自变量和因变量都取自复数，其与两个二元实变函数相对应，因此，复变函数在几何上就可以看成是z平面上的一个点集G到平面上一个点集的映射。因而，无法用直观的图形来表示函数关系，若要直角坐标系画出，需要四维空间，而一元实变函数在几何上表示的是一条平面曲线。这是复变函数与实变函数定义上的一个不同。在向学生讲解复变函数的几何特性时，可以从简单的例子出发，例如，函数可以先介绍点与点的对应，然后是点集与点集的对应，如Z平面上的曲线在该函数作用下的图像。复变函数与实变函数另外一个不同在于复变函数可以是多值函数，例如，开方函数可以将Z平面上的一点映射为平面上的两个点。

3 复变函数的极限与连续

复变函数与一元实变函数的极限、连续在定义形式上相似，许多基本性质与运算法则也相同，但本质上与二元实变函数一致。定理证明[1-2]，一个复变函数的极限存在充要条件是它的实部函数与虚部函数的极限都存在；一个复变函数在某一点连续充要条件是它的实部函数与虚部函数在点是连续的。因此，研究复变函数的极限和连续等问题可以转化为两个二元实变函数的极限与连续问题。其次，复变函数中自变量的变化趋势与实变函数的自变量的变化趋势也有所不同，复变函数中自变量的变化趋势指的是以任何方式任何路径区域，不仅仅是左右两个方向趋于，而实变函数的自变量的变化趋势是指从左右两个方向趋于。因此，复变函数的极限要求更高、更严格。而连续是基于极限这个基础的，所以复变函数连续也要比实变函数连续要求更高。

4 解析函数

解析函数是复变函数的一个重要研究对象。函数解析是比可导（可微）更强的一个概念，复变函数在一点处解析，不仅要求在该点可导，还要求在该点的领域内可导。因此，复变函数在一点解析，一定是可导的，反之，不一定成立。在区域D内每点都解析的函数称为区域D上的解析函数。判断复变函数在某一点可导的充要条件是它的实部函数和虚部函数在这一点可导，且满足柯西-黎曼方程。要判断函数在这一点的解析性，一般只能通过定义。其次，要判断一个复变函数在区域D内的充要条件是它的实部函数和虚部函数在区域D内可导且在区域D内满足柯西-黎曼方程。这里主要利用了开区域的定义，因为开区域每个点都是其内点，故若函数在开区域D内处处可导，则在D内处处满足上述两个条件。因此，对于D内任意一点，必存在该点的一个邻域，使得函数在该邻域内处处可导。故由函数解析的定义可得，函数在区域D内的每一点处解析。

5 复变函数的积分

从形式上看，复变函数的积分是实变函数定积分的一种自然推广。但其本质上是复平面上的，它可以与二元实函数的线积分联系在一起。相对应就有了柯西-古萨基本定理，在此基础上，得到了一系列推广定理如：复合闭路定理、闭路变形原理等。柯西积分公式的证明基于柯西-古萨定理。其重要性在于解析函数在区域内部的值可以通过其在边界上的值通过积分得到。

综上所述，工程数学中蕴含了丰富的数学方法，特别是类比的数学方法。工程数学中很多问题可以通过一定的技巧转化为高等数学的问题，很多的结论可以通过与高等数学的知识类比得到。但是，它们在概念上也有一定的差异，因此，在教学过程中，要注重与高等数学知识衔接，比较和探究它们的异同，概括它们的原理，使得学生在掌握新概念的同时，领悟概念间的内在联系，从而加深学生对知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力。

【参考文献】

[1]王锦森.复变函数[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]钟玉泉.复变函数轮[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

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[5]朱永刚.工科复变函数课程教学改革浅议[J].科技信息，2009（2）：80-80.

[责任编辑：田吉捷]