复变函数教学的探索与实践

黄喜娇+秦志芳

【摘 要】 复变函数是一门比较抽象的数学学科，它不像数学分析的有些概念有现实的几何意义和几物理意义，实际应用也比较少，为激发学生的学习兴趣，结合课程本身的特点，本文主要从创设问题情境、运用类比法，采用启发式教学、增加互动环节，培养发散思维三方面进行探讨。

【关键词】 复变函数；思维能力；实践

【中图分类号】 G64.30 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2016）36-0-01

复变函数是数学分析的后继课程，里面的许多概念、定理等是数学分析的概念、定理在复数域中的推广，笔者结合自身的教学经验，尝试大学数学教学改革中的一些方法，探讨了一些基本问题，总结了一些教学手段和规律，具体如下：

第一、创设问题情境

在复变函数的教材中，有些章节的内容，一开始就会给出定理，如果直接讲解定理学生不容易理解更不容易接受，所以对于这样的内容，教师可以用一个例子或者一个实际问题引出概念或定理，激发学生的好奇心，培养他们探究的习惯，逐步引导学生学习。比如，在讲柯西积分公式：

（是解析区域中的点）之前，我们可以利用函数的解析性得到，在区域内的圆周上，的值随圆的半径的减小而逐渐接近于在圆心的函数值，随之可以得到，这样在柯西积分公式的证明中就比较容易理解为什么等式的证明转化为证明极限了。当然，在复变函数的教学中，恰当的插入数学概念的背景及应用，可以促进学生对数学价值的认识，构筑数学与人文科学之间的桥梁，为课堂增加色彩，增强学习气氛，避免课堂枯燥沉闷，提高课堂效率。

第二、运用类比法，采用启发式教学

《复变函数》是《数学分析》的后继课程，二者在内容上有相似之处，又有区别之分，实数域内有些内容可以直接推广到复数域，但有些是不可以的，所以在上课的时候，让他们发现这些内容的区别与联系，这样在教学过程中在比较中回顾旧知识，同时也在比较中学习新知识，每一个环节总是在启发学生主动思考，逐步培养同学们的类比思维方法。比如，在实数域内，恒成立，但在复数域内，也即在复数域内不再成立，同样不再成立；在实数域内无周期，但在复数域内，是为周期的周期函数，其他的性质实数域与复数域内一致，在复变函数中这样的例子有很多，所以运用类比的方法可以提高学生的学习兴趣，减少内容的冗余量。

第三、增加互动环节，培养学生发散思维

课堂上教师可以以课堂讨论、提问的方式引导学生对所学知识进行概括与总结，让学生将知识经过自己头脑的分析，从不同角度进行总结归纳。对于习题，启发学生对于一个问题从多个角度思考，举一反三，培养他们的发散思维。比如，已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的虚部或实部，课本上介绍了两种方法，但第一种方法比较复杂，第二种方法利用方程相对简单，后来又补充了一种方法——积分法，这种方法非常简单，但这种方法需要把转化为的函数，对于个别学生来说可能有点困难，同学们可以根据自己的学习水平，选择自己熟练的方法做题，其他方法可根据自己掌握的知识进行研究。

第四、引导学生自主学习、独立思考、总结和探索的能力

独立思考是学生学好任何一门学科知识的前提，也是理解和掌握知识的必要条件。课堂上，如果只是教师讲解，而学生没有经过独立思考，就不可能很好地消化所学的知识，也不可能真正深入理解其中的奥妙，使这些知识成为自己真正掌握的知识。通过思考、讨论、总结，学生不但加深了对知识的理解、掌握，还学会了真正的思考，体会了独立思考的成就感，从而使他们勤于思考、乐于思考，加强了学习的动力。教师在上新课或讲习题时，不易讲解太细，要给学生留出思考和探究的余地，否則的话，学生看似听懂了、学会了，实则难以内化为学生自己的观点，不利于培养学生独立思考的能力。简单知识的推导、论证、实数域与复数域内知识的对比以及区别和联系、知识点及方法的归纳、总结等，可以留给学生去做，这样，既锻炼学生自主学习的能力，又能培养学生自主学习的兴趣及归纳、探索的能力。

第五、注重复变函数的应用，激发学生的学习兴趣

复变函数作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于流体力学、弹性力学、理论物理及自动控制理论等研究中。在力学专业—非线性振动的学习中，对描述非线性振动系统的微分方程化简等内容都要用到复变函数的一些基本知识来处理。复变函数的应用，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.在复变函数中，刘维尔定理和留数是非常重要的知识，不仅在复变函数中有很多应用，而且在其他的课程中应用也比较广泛。比如在高等代数中，可以应用复变函数中的刘维尔定理（有界整函数必为常数）证明代数学基本定理（在平面上，次多项式至少有一个零点。在数学分析中，并不是所有可积的函数其原函数都可以用初等函数表示出来，因此计算积分的值比较困难，对于有些积分可以利用复变函数的留数知识来计算。

总之，在复变函数的教学中，教师应尽可能的进行背景解释和应用方面的举例，有利于学生进一步对概念的理解。运用类比的方法、进行启发式教学，有利于学生对新知识的理解与掌握，培养学生归纳、探索的能力；把理论背景渗透到教学中有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的抽象思维能力和实际应用的能力。在以后的教学中，我们应结合自身的实践经验、学生的特点及课程的特点，不断完善复变函数的教学方法及教学模式。

参考文献：

[1]钟玉泉.《复变函数论》[M].北京：高等教育出版社，2015，12.

[2]周鉴，李昀鸿.对高师院校复变函数教学的思考[J].通化师范学院学报，2012，（12）.

[3]田瑞兰，杨新伟，孙海珍》.浅谈《复变函数》在力学专业中的应用[J].科技创新教育，2010（5）